Verstehen

     


Das Verstehen, die Meinung, fällt aus unsrer Betrachtung heraus.





     

     Das Verstehen fängt aber erst mit dem Satz an. [& darum interessiert es uns nicht].

     


     Wie es keine Metaphysik gibt, so gibt es keine Metalogik. Das Wort “Verstehen”, der Ausdruck “einen Satz verstehen”, ist auch nicht metalogisch.

, sondern ein Ausdruck wie    jeder   andre der Sprache.





     


     Auf die Frage “was meinst Du”, muß zur Antwort kommen: p; und nicht “ich meine das, was ich mit ‘p’ meine”.



     


      // Gesprochenes // kann man nur durch die Sprache erklären, darum kann man    die Sprache   in diesem Sinne nicht erklären.


     


     Alles was ich in der Sprache tun kann, ist    etwas   sagen: das    eine   sagen. (Das eine sagen im Raume dessen, was ich hätte sagen können.)





     


     “Etwas habe ich aber doch gemeint, als ich das sagte!” Gut, — aber wie können wir, was es ist, herausbringen? Doch wohl nur dadurch, daß er es uns sagt. Wenn wir nicht sein übriges Verhalten zum Kriterium nehmen sollen, dann also das, was er uns erklärt.

     Du meinst, was Du sagst.


     


“Verstehen” amorph gebraucht.
     “Verstehen” mehrdeutig.


     


     Könnte man aber antworten: “ich habe etwas mit dieser Bewegung gemeint, was ich nur durch diese Bewegung ausdrücken kann”?


     


     Ich sehe eine deutsche Aufschrift und eine chinesische. — Ist die chinesische etwa ungeeignet etwas mitzuteilen? — Ich sage, ich habe Chinesisch nicht gelernt. Aber das Lernen der Sprache fällt als bloße Ursache, Geschichte, aus der Gegenwart heraus. Nur auf seine Wirkungen kommt es an, und die sind Phänomene, die eben nicht eintreten, wenn ich das Chinesische sehe.| // anschaue. // (Warum sie nicht eintreten, ist ganz gleichgültig.)

     


     “ Geben wir denn den Worten, die uns gesagt werden, willkürliche Interpretationen? Kommt nicht das Erlebnis des Verstehens

mit dem Erlebnis des Hörens der Zeichen, wenn wir ‘die Sprache der Andern verstehen’?”

     


     Wenn mir jemand etwas sagt und ich verstehe es, so geschieht mir dies ebenso, // wie, daß ich, was er sagt, höre.// Und hier ist Verstehen das Phänomen welches sich einstellt wenn ich einen deutschen Satz höre & welches dieses Hören vom Hören eines Satzes einer mir nicht geläufigen Sprache unterscheidet.






     


     Ich verstehe einen Befehl als Befehl, d.h., ich sehe in ihm nicht nur diese Struktur von Lauten oder Strichen, sondern sie hat — sozusagen — einen Einfluß auf mich. Ich reagiere auf einen Befehl (auch ehe ich ihn befolge) anders, als etwa auf eine Mitteilung oder Frage.








     


     (Beim Lesen einer schleuderhaften Schrift kann man erkennen, was es heißt, etwas in das gegebene Bild| // Gebilde // hineinsehen.| // … erkennen, wie man etwas in das gegebene Bild| Gebilde hineinsieht.)





     


Das Verstehen als Korrelat einer Erklärung.












     



     ((Die Schwierigkeit ist, die Grammatik des Wortes “meinen” klar zu sehen. Aber der Weg dazu ist nur der über die Antwort auf die Frage “welches ist das Kriterium dafür, daß wir etwas    so   meinen” und welcher Art ist der Ausdruck, den dieses “   so  ” vertritt. Die Antwort auf die Frage “wie ist das gemeint” stellt die Verbindung zwischen zwei sprachlichen Ausdrücken| // zwischen zwei Sprachen // her. Also fragt auch die Frage nach dieser Verbindung. Der Gebrauch der Hauptwörter “Sinn”, “Bedeutung”, “Auffassung” und anderer Wörter verleitet uns zu glauben, daß dieser Sinn etc. dem Zeichen so gegenübersteht, wie das Wort, der Name, dem Ding, das sein Träger ist. So daß man sagen könnte: “der Pfeil hat eine ganz bestimmte Bedeutung, ist in einer ganz bestimmten Weise gemeint, die ich nur faute de mieux wieder durch ein Zeichen ausdrücken muß”. Die Meinung, die Intention wäre quasi seine Seele, die ich am lieb-
sten

     


     Was die Erklärung des Pfeiles betrifft, so ist es klar, daß man sagen kann: “Dieser Pfeil bedeutet| // sagt // nicht, daß Du dorthin (mit der Hand zeigend) gehen sollst, sondern dahin.” — Und ich würde diese Erklärung natürlich verstehen. —
     “Das müßte man (aber) dazuschreiben”.

     


Das Verstehen des Befehls, die Bedingung dafür, daß wir ihn befolgen. Das Verstehen des Satzes die Bedingung dafür, daß wir uns nach ihm richten.

     



     “Das Verständnis eines Satzes kann nur die Bedingung dafür sein, daß wir ihn anwenden können. D.h., es kann nichts sein, als diese|die Bedingung und es muß die Bedingung der Anwendung sein.”



     

     Das Verstehen einer Beschreibung kann man, mit dem Zeichnen eines Bildes nach dieser Beschreibung vergleichen. (Und hier ist wieder das Gleichnis ein besonderer Fall dessen, wofür es ein Gleichnis ist.) Und es würde| wird auch in vielen Fällen als der Beweis des Verständnisses aufgefaßt.


     


     Man könnte es? in gewissen Fällen geradezu als Bedingung| Kriterium des Verstehens setzen, daß man den Sinn des Satzes muß zeichnen können.| zeichnerisch darstellen können. —




     


     Wenn man mir sagt “bringe eine gelbe Blume” und ich stelle mir vor, wie ich eine gelbe Blume hole, so kann das ein Zeichen dafür sein, daß ich den Befehl verstanden habe. Aber ebenso, wenn ich ein Bild des Vorgangs malte. — Warum? Wohl, weil das, was ich tue, mit Worten des Befehls beschrieben werden muß. Oder soll ich sagen, ich habe tatsächlich einen (dem ersten) verwandten Befehl ausgeführt.









     


…





     


     “Ich kann den Befehl nicht ausführen, weil ich nicht verstehe, was Du meinst. — Ja, jetzt verstehe ich Dich”.
     Was ging da vor, als ich plötzlich den Andern Verstand? Ich konnte mich natürlich irren, und daß ich den Andern verstand, war eine Hypothese. Aber es fiel mir etwa plötzlich eine Deutung ein, die mir einleuchtete. Aber war diese Deutung etwas anderes, als ein Satz einer Sprache?

     
     Es konnten mir auch vor diesem Verstehen mehrere Deutungen vorschweben, für deren eine ich mich endlich entscheide. Aber das Vorschweben der Deutungen war das Vorschweben von Ausdrücken einer Sprache. (?)


     


Deuten.
Deuten wir jedes Zeichen?




     


     Denken wir uns einen Zerstreuten, der auf den Befehl “rechtsum” sich nach links gedreht hätte und nun, an die Stirne greifend, sagte “ach so — ‘rechtsum’!” und rechtsum machte.




     



     Man sagt: ein Wort verstehn heißt, wissen wie es gebraucht wird.
     Was heißt es, das zu wissen? Dieses Wissen haben wir sozusagen im Vorrat.



     


     Es ist so, wie wenn ich mir im Werkzeugkasten der Sprache Werkzeuge zum künftigen Gebrauch herrichtete. Ein Werkzeug ist ja auch das Abbild seines Zwecks.

     




     


     Ich sage: Hier ist zwar nichts Rotes um mich, aber wenn hier etwas wäre, so    könnte   ich es erkennen. —







     


Bedeutung


     


Der Begriff der Bedeutung stammt aus einer primitiven Auffassung der Sprache her.



     


     Ich will damit sagen: Augustinus beschreibt wirklich einen Kalkül; nur ist nicht alles, was wir Sprache nennen, dieser Kalkül.






     


     “Bedeutung” kommt von “deuten”. [gemeint ist „hindeuten”]

     


     Was wir Bedeutung nennen, muß mit der primitiven Gebärden- (Zeige-) Sprache zusammenhängen.




     


     Die Wörter haben offenbar ganz verschiedene Funktionen im Satz. Und diese Funktionen scheinen uns ausgedrückt in den Regeln, die von den Wörtern gelten.





     


Bedeutung der Ort des Wortes im grammatischen Raum.




     



     können das Wort durch ein anderes ersetzen, das die gleiche Bedeutung hat. Damit ist gleichsam ein Platz für das Wort fixiert und man kann ein Wort für das andere setzen, wenn man es an den gleichen Platz setzt.


     


den Platz des Wortes halten? So daß an einer Vorstellung quasi ein Haken ist, — und hänge ich an    den   ein Wort, so ist ihm damit| dadurch der Platz angewiesen?

     Oder: Wenn ich mir den Platz merke, was merke ich mir da?


     


     Der Ort des|eines Wortes in der Sprache| Grammatik ist seine Bedeutung.

     



     Wäre es nicht ähnlich wenn ich mich entschlösse die Formen der Schachfiguren zu ändern oder etwa eine Figur die wir jetzt „Rössel” nennen würden als Königsfigur zu nehmen?| die Figur eines Pferdchens als König zu nehmen? Wie würde es sich nun zeigen daß das hölzerne Pferdchen Schachkönig ist? Kann ich hier nicht sehr gut von einem Wechsel der Bedeutung reden?


     



     Wir verstehen unter “Bedeutung des Namens” nicht den Träger des Namens.






     



     “Wenn ich nun auch sage|wir auch sagen, der Träger des Namens ist nicht seine Bedeutung, so bestimmt doch der Träger die Bedeutung; und wenn ich, auf ihn zeigend, sage ‘das ist N’, so ist die Bedeutung von ‘N’ bestimmt.”
     Aber es bestimmt hier schon das richtige Verstehen des Wortes ‘Träger’ in dem besondern Fall (Farbe, Gestalt, Ton, etc.) die Bedeutung bis auf eine letzte Bestimmung.

     


     Wenn ich sage “die Farbe    dieses   Gegenstands heißt ‘violett’”, so muß ich die Farbe mit den ersten Worten “die Farbe dieses Gegenstands” schon benannt haben, sie schon zur Taufe gehalten haben, damit der Akt der Namengebung ?—das sein kann, was er ist—?. Denn ich könnte auch sagen “der Name dieser Farbe (der Farbe dieses Dings) ist von Dir zu bestimmen”, und der den Namen gibt, müßte nun schon wissen, wem er ihn gibt (an welchen Platz der Sprache er ihn stellt).

     


Ich könnte so erklären: die Farbe dieses Flecks heißt “rot”, die Form “Kreis”.
     Und hier stehen die Wörter “Farbe” und “Form” für Anwendungsarten (grammatische Regeln) und sind| // bezeichnen // in Wirklichkeit Wortarten, wie “Eigenschaftswort”, “Hauptwort”. Man könnte sehr wohl in der (gewöhnlichen?) Grammatik neben diesen Wörtern die Wörter “Farbwort”, “Formwort”, “Klangwort” einführen. (Daß aber nicht jemand einwendet: “warum dann nicht auch ‘Baumwort’, ‘Buchwort’”!)

     


     Der Name, den ich einem Körper gebe, einer Fläche, einem Ort, einer Farbe, hat jedes Mal andere Grammatik. Der Name “a” in “a ist gelb” hat eine andere Grammatik, wenn a der Name eines Körpers und wenn es der Name einer Fläche eines Körpers ist; ob nun ein Satz “dieser Körper ist gelb” sagt, daß die Oberfläche des Körpers gelb ist, oder daß er durch und durch gelb ist. “Ich zeige auf a” hat verschiedene Grammatik, je nachdem a ein Körper, eine Fläche, eine Farbe ist etc.. Und so hat auch das hinweisende Fürwort “dieser” andere Bedeutung (d.h. Grammatik), wenn es sich auf Hauptwörter verschiedener Grammatik bezieht.| // Hauptwörter mit verschiedener Grammatik bezieht.//

     



     Die Bedeutung eines Wortes ist das, was die (grammatische) Erklärung der Bedeutung erklärt.



     



     Veranlassen wir es dadurch nicht, Worten einen Sinn beizulegen, ohne daß wir sie durch ein anderes Zeichen ersetzen, also ohne diesen Sinn auf andere Weise auszudrücken? Veranlassen wir es nicht gleichsam, für sich etwas zu tun, dem kein äußerer Ausdruck gegeben wird, oder wozu der äußere Ausdruck nur im Verhältnis einer Hindeutung, eines Signals, steht. Die Bedeutung ließe sich nicht aussprechen, sondern nur auf sie von ferne hinweisen. Sie ließe sich gleichsam nur verursachen. Aber welchen Sinn hat es dann überhaupt, wenn wir von dieser Bedeutung reden? (Schlag und Schmerz)









     



     Mißverständnis nenne ich das was durch eine Erklärung zu beseitigen ist. Die Erklärung der Bedeutung eines Wortes schließt Mißverständnisse aus.












     


“Die Bedeutung eines Zeichens ist durch seine Wirkung (die Assoziationen, die es auslöst etc.) gegeben.”









     


     In welchem Sinne sagt man, man kennt die Bedeutung des Wortes A noch ehe man den Befehl, in dem es vorkommt, befolgt hat? Und in wiefern kann man sagen, man hat die Bedeutung durch die Befolgung des Befehls kennen gelernt? Können die beiden Bedeutungen mit einander in Widerspruch stehen?





     


     Unsere Weise von den Wörtern zu reden, können wir durch das beleuchten, was Sokrates im “Kratylos” sagt. Kratylos: “Bei weitem und ohne rage ist es vorzüglicher, Sokrates, durch ein Ähnliches darzustellen, was jemand darstellen will, als durch das erste beste.” — Sokrates: “Wohlgesprochen, …”.





     


     Es ist wirklich “the meaning of meaning” was wir untersuchen: Nämlich| Oder die Grammatik des Wortes “Bedeutung”.

     


Bedeutung als Gefühl, hinter dem Wort stehend; durch eine Geste ausgedrückt.




     


Man tritt mit der hinweisenden Erklärung der Zeichen nicht aus der Sprachlehre heraus.



     


     Soweit die Bedeutung der Wörter in der Tatsache (Handlung) zum Vorschein kommt, kommt sie (schon) in der Beschreibung der Tatsache zum Vorschein. (Sie wird also ganz in der Sprache| Sprachlehre bestimmt.)
     (In dem, was sich hat voraussehen lassen; worüber man schon vor dem Eintreffen der Tatsache reden konnte.)





     



     “Primäre & sekundäre” Zeichen


     


     Wort & Muster.
     Hinweisende Definition



     


     Nicht die Farbe Rot tritt an Stelle des Wortes “rot”, sondern die Gebärde, die auf einen roten Gegenstand hinweist, oder das rote Täfelchen.

     

     Nun sage ich aber: “Es gilt mit Recht als ein Kriterium des Verstehens| // Verständnisses // des Wortes “rot”, daß Einer einen roten Gegenstand auf Befehl aus anders|anderen gefärbten herausgreifen kann; dagegen ist das richtige Übersetzen des Wortes “rot” ins Englische oder Französische

kein Beweis des Verstehens. Also| Darum ist das rote Täfelchen ein primäres Zeichen für “rot”, dagegen jedes Wort ein sekundäres| // abgeleitetes // Zeichen.” ((Aber das zeigt nur, was ich mit dem “Verstehen des Wortes ‘rot’” // meine//. Und was heißt “es gilt    mit Recht   …”? Heißt es: Wenn ein Mensch einen roten Gegenstand auf Befehl etc. etc., dann hat er erfahrungsgemäß auch das Wort ‘rot’ verstanden. Wie man sagen kann, gewisse Schmerzen gelten mit Recht als Symptom dieser und dieser Krankheit? So ist es natürlich nicht gemeint. Also soll es wohl heißen, daß die Fähigkeit rote Gegenstände herauszugreifen der spezifische Test dessen ist, was wir Verständnis des Wortes ‘rot’ nennen. Dann bestimmt diese Angabe also, was wir unter diesem Verständnis meinen. Aber dann fragt es sich noch: wenn wir das Übersetzen ins Englische etc. als Kriterium ansähen, wäre es nicht auch das Kriterium von dem, was wir ein Verständnis des Wortes nennen? Es gibt nun den Fall, in welchem wir sagen: ich weiß nicht, was das Wort ‘rot’| //‘rouge’// bedeutet, ich weiß nur, daß es das Gleiche bedeutet, wie das englische ‘red’. So ist es, wenn ich die beiden Wörter in einem Wörterbuch auf der gleichen Zeile gesehen habe, und dies ist die Verifikation des Satzes und sein Sinn. Wenn ich dann sage “ich weiß nicht, was das Wort ‘rot’| //‘rouge’// bedeutet”, so bezieht sich dieser Satz auf eine Möglichkeit der Erklärung dieser Bedeutung und ich könnte, wenn gefragt “wie stellst Du Dir denn vor, daß Du erfahren könntest, was das Wort bedeutet”, Beispiele solcher Erklärungen geben (die die Bedeutung des Wortes “Bedeutung” beleuchten würden). Diese Beispiele wären dann entweder der Art, daß statt des unverstandenen Worts ein verstandenes — etwa das deutsche — gesetzt würde, oder daß die Erklärung von der Art wäre “   diese   (Pfeil) Farbe heiß ‘violett’”. Im ersten Falle wäre es für mich ein Kriterium dafür, daß er das Wort ‘rouge’ versteht, daß er sagt, es entspreche dem deutschen ‘rot’. “Ja”, wird man sagen, “aber nur, weil Du schon weißt, was das deutsche ‘rot’ bedeutet”. — Aber das bezieht sich ja ebenso auf die hin-

weisende Definition. Das Hinweisen auf das rote Täfelchen ist auch nur darum| // dann // ein Zeichen des Verständnisses, weil| // wenn // vorausgesetzt wird, daß er die Bedeutung    dieses   Zeichens versteht| // kennt//, was etwa soviel heißt, als daß er das Zeichen auf bestimmte Weise verwendet. — Es gibt also wohl| // allerdings // den Fall wo Einer sagt “ich weiß, daß dieses Wort dasselbe bedeutet wie jenes, weiß aber nicht, was es bedeutet (sie bedeuten)”. Willst Du den ersten Teil dieses Satzes verstehen, so frage Dich: “wie konnte er es wissen?” — willst Du den zweiten Teil verstehen, so frage: “wie kann er erfahren, was das Wort bedeutet?” —

     


     Welches ist denn das Kriterium unseres Verständnisses: das Aufzeigen des roten Täfelchens, wenn gefragt wurde “welches von diesen Täfelchen ist rot”, — oder, das Wiederholen der hinweisenden Definition? “das (Pfeil) ist ‘rot’”?


     



     Die Lösung beider Aufgaben betrachten wir als Zeichen des Verständnisses. Hören wir jemand das Wort ‘rot’ gebrauchen und zweifeln daran, daß er es versteht, so können wir ihn zur Prüfung fragen

“welche Farbe nennen wir ‘rot’”. Anderseits: wenn wir jemandem die hinweisende Erklärung gegeben hätten “diese (Pfeil) Farbe heißt ‘rot’” und nun sehen wollten, ob er diese Erklärung richtig verstanden hat, so würden wir nicht von ihm verlangen, daß er sie wiederholt, sondern wir gäben ihm etwa die Aufgabe, aus einer Anzahl von Dingen die roten herauszusuchen. In jedem Fall ist das, was wir ‘Verständnis’ nennen, eben dadurch| // durch das // bestimmt, was wir als Probe des Verständnisses ansehen (durch die Aufgaben bestimmt, die wir zur Prüfung des Verständnisses stellen). ))


     


((Da gibt es jedenfalls zwei verschiedene Fälle: Es kann die Tabelle mit grün gegenüber ‘rot’ etc. so gebraucht werden, wie wir die Tabelle in der gewöhnlichen Anordnung gewöhnlich gebrauchen. Wir würden also etwa den, der sie gebraucht, von dem Wort ‘rot’ nicht auf das gegenüberliegende Täfelchen blicken sehen, sondern auf das rote, das schräg darunter steht (aber wir müßten auch diesen Blick nicht sehen) und finden, daß er dann statt des Wortes ‘rot’ in einem Ausdruck das rote Täfelchen einsetzt. Wir würden dann sagen, die Tabelle sei nur anders angeordnet (nach einem andern räumlichen Schema), aber sie verbinde die Zeichen, wie die gewohnte. — Es könnte aber auch sein, daß der, welcher die Tabelle benützt, von der einen Seite horizontal zur andern blickt und nun in irgend welchen Sätzen das Wort ‘rot’ durch ein grünes Täfelchen ersetzt; aber nicht etwa auf den Befehl “gib mir das rote Buch” ein grünes bringt, sondern ganz richtig das rote (d.h. das, welches auch wir ‘rot’ nennen). Dieser hat nun die Tabelle anders benützt, als der Erste, aber doch so, daß ‘rot’ die gleiche Bedeutung für ihn hatte, wie für uns. (Zu einer Tabelle gehört übrigens wesentlich die Tätigkeit des Nachschauens| Aufsuchens in der Tabelle.) Es ist nun offenbar der zweite Fall, welcher uns interessiert und die Frage ist: kann ein grünes Täfelchen als    Muster   der roten Farbe dienen? Und da ist es klar, daß dies (in    einem   Sinn) nicht möglich ist. Ich kann mir eine Abmachung denken, wonach Einer, dem ich eine grüne Tafel zeige und sage, male mir diese Farbe, mir ein Rot malt; wenn ich dasselbe sage und zeige ihm blau, so hat er gelb zu malen u.s.w. immer die komplementäre Farbe; und daher kann ich mir auch denken, daß Einer meinen Befehl auch ohne eine vorhergehende Abmachung so deutet. Ich kann mir ferner denken, daß die Abmachung gelautet hätte “auf den Befehl ‘male mir diese Farbe’, male immer eine gelblichere, als ich Dir zeige”; und wieder kann ich mir die Deutung auch ohne Verabredung denken. Aber kann man sagen, daß einer ein rotes Täfelchen genau kopiert, indem er einen bestimmten Ton von grün (oder ein anders Rot als das des Täfel-

chens) malt und zwar so, wie er eine gezeichnete Figur, nach verschiedenen Projektionsmethoden, verschieden und genau kopieren kann? — Ist also hier der Vergleich zwischen Farben und Gestalten richtig, und kann ein grünes Täfelchen einerseits als der Name einer bestimmten Schattierung von rot stehen und anderseits als ein Muster dieses Tones? wie ein Kreis als der Name einer bestimmten Ellipse verwendet werden kann, aber auch als ihr Muster. — Kann man also dort wie hier von verschiedenen Projektionsmethoden sprechen, oder gibt es für das Kopieren einer Farbe nur    eine   solche: das Malen der gleichen Farbe? Wir meinen diese Frage so, daß sie nicht dadurch verneint wird, daß uns die Möglichkeit gezeigt wird, mittels eines bestimmten Farbenkreises und der Festsetzung eines Winkels von einem Farbton auf irgend einen andern überzugehn. Das, glaube ich, zeigt nun, in wiefern das rote Täfelchen gegenüber dem Wort ‘rot’ in einem andern Fall ist, als das grüne. Übrigens bezieht sich, was wir hier für die Farben gesagt haben, auch auf die Formen von Figuren, wenn das Kopieren ein Kopieren nach dem Augenmaß und nicht eines mittels Meßinstrumenten ist. — Denken wir uns nun aber doch einen Menschen, der vorgäbe “er könne die Schattierungen von Rot in Grün kopieren” und auch wirklich beim Anblick des roten Täfelchens mit allen (äußeren) Zeichen des genauen Kopierens einen grünen Ton mischte und so fort bei allen ihm gezeigten roten Tönen. Der wäre für uns auf derselben Stufe, wie Einer, der der auf die gleiche Weise (durch genaues Hinhorchen) Farben nach Violintönen mischte. Wir würden in    dem   Fall sagen: “Ich weiß nicht,    wie   er es macht”; aber nicht in dem Sinne, als verstünden wir nicht die verborgenen Vorgänge in seinem Gehirn oder seinen Muskeln, sondern, wir verstehen nicht, was es heißt “dieser Farbton sei|ist eine Kopie dieses Violintones”. Es sei denn, daß damit nur gemeint ist, daß ein bestimmter Mensch erfahrungsgemäß einen bestimmten Farbton mit einem bestimmten Klang assoziiert (ihn zu sehen behauptet, malt, etc.). Der Unterschied zwischen dieser Assoziation und dem Kopieren, auch wenn ich selbst beide Verfahren kenne, besteht darin| // zeigt sich darin//, daß es für die assoziier-

te Gestalt keinen Sinn hat, von Projektionsmethoden zu reden, und daß ich von dem assoziierten Farbton sagen kann “jetzt fällt mir bei dieser Farbe (oder diesem Klang) diese Farbe ein, vor 5 Minuten war es eine andere”, etc.. Wir könnten auch niemandem sagen “Du hast nicht richtig assoziiert”, wohl aber “Du hast nicht richtig kopiert”. Und die Kopie einer Farbe — wie ich das Wort gebrauche — ist nur eine; und es hat keinen Sinn, (hier?) von verschiedenen Projektionsmethoden zu reden.))

     



     Es ist die Frage: Wenn sich die Regel, das Muster stehe für die Komplementärfarbe, ihrem Wesen nach nur auf die Farben (oder Wörter) blau, rot, grün, gelb bezieht, ist sie dann nicht identisch mit der, welche das grüne Zeichen als Wort für “rot” und umgekehrt etc. festsetzt? Denn eine Regel| // Allgemeinheit //, die ihrem logischen Wesen nach einem logischen Produkt äquivalent ist, ist nichts andres, als dieses logische Produkt. (Denn man kann nicht sagen: hier ist das grüne Zeichen; nun hole mir ein Ding von der komplementären Farbe,    welche immer das sein mag  . D.h., “die komplimentäre Farbe von rot” ist keine Beschreibung von grün wie „das Produkt von 2 ×2” keine Beschreibung von 4.) Die Bestimmung, die Komplementärfarbe als Bedeutung des Täfelchens zu nehmen, ist dann wie ein Querstrich in einer Tabelle; ein Querstrich in der Grammatik der Farben gezogen. … Es ist klar daß ich mit Hilfe einer solchen Regel eine Tabelle herstellen| konstruieren kann, ohne noch aus der Grammatik herauszutreten, also vor jeder Anwendung der Sprache. Anders wäre es, wenn die Regel (R) hieße: das Täfelchen bedeutet immer einen etwas dunkleren Farbton, als sein eigener| // der seine // ist. Man muß nur wieder auf den verschiedenen Sinn der Farb- und der Gestaltprojektion achten (und bei der letzteren wieder auf den Unterschied der Abbildung nach visuellen Kriterien und| von der Übertragung mit Meßinstrumenten). Das Kopieren nach der Regel R ist ‘kopieren’ in einem andern Sinne als dem, in welchem das Hervorbringen des gleichen Farbtons so genannt wird. Es handelt sich also nicht um zwei Projektionsmethoden vergleichbar, etwa, der

Parallel- und der Zentralprojektion, durch die ich eine geometrische Figur mit Zirkel und Lineal in eine andere projizieren kann. (Die Metrik der Farbtöne.)
     Wenn ich das berücksichtige, so kann ich also in dem veränderten Sinn des Wortes “Muster” (der dem veränderten Sinn des Worts “kopieren” entspricht) das hellere Täfelchen zum Muster des dunkleren Gegenstandes nehmen.

     



      Könnten wir nicht zur hinweisenden Erklärung von ‘rot’ ebensowohl auf ein grünes, wie auf ein rotes Täfelchen zeigen? denn, wenn diese Definition nur ein Zeichen statt des andern setzt, so sollte dies doch aufs gleiche hinauslaufen| // keinen Unterschied machen//. — Wenn die Erklärung nur ein Wort für ein andres setzt, ist es auch gleichgültig| // so macht es auch keinen//. Bringt aber die Erklärung das Wort mit einem Muster in Zusammenhang, so ist es nun nicht unwesentlich, mit welchem Täfelchen das Zeichen verbunden wird (denke auch wieder daran, daß eine Farbe der andern nicht im gleichen Sinn zum Muster dienen kann, wie ihr selbst). “Aber dann gibt es also willkürliche Zeichen und solche, die nicht willkürlich sind!” — Aber denken wir nur an die Verständigung durch Landkarten, Zeichnungen, und Sätze anderseits: die Sätze sind so wenig willkürlich, wie die Zeichnungen. Aber die Worte sind willkürlich. (Vergleiche die Abbildung / = o , — = x.) Wird denn aber ein Wort eigentlich als Wort gebraucht, wenn ich es nur in Verbindung mit einer Tabelle gebrauche, die den Übergang zu Mustern macht? Ist es also nicht falsch, zu sagen, ein Satz sei ein Bild, wenn ich doch nur ein Bild nach ihm und der Tabelle zusammenstelle? Aber so ist also doch der Satz und die Tabelle zusammen ein Bild. Also zwar nicht adbcb allein, aber dieses Zeichen zusammen mit      Aber es ist offenbar, daß auch adbcb ein Bild von genannt werden kann. Ja aber, ist nicht doch das Zeichen adbcb ein willkürlicheres Bild von als dieses Zeichen von der Ausführung der Bewegung? Etwas ist auch an dieser Übertragung willkürlich

(die Projektionsmethode) und wie sollte ich bestimmen, was willkürlicher ist.
     Ich vergleiche also die Festsetzung der Wortbedeutung durch die hinweisende Definition, der Festsetzung einer Projektionsmethode zur Abbildung räumlicher Gebilde. Dies ist freilich nicht mehr als| wie ein Vergleich. Ein ganz guter Vergleich, aber er enthebt uns nicht der Untersuchung des Funktionierens der Worte, ?—getrennt von dem Fall der räumlichen Projektion—?. Wir können allerdings sagen — d.h. es entspricht ganz dem Sprachgebrauch — , daß wir uns durch Zeichen verständigen, ob wir Wörter oder Muster gebrauchen; aber das Muster ist kein Wort, und das Spiel, sich nach Worten zu richten, ein anderes als das, sich nach Mustern (zu?) richten. (Wörter sind der Sprache nicht wesentlich.) Kann man aber vielleicht sagen, daß Muster ihr wesentlich wären? (Muster sind der Benützung| // dem Gebrauch // von Mustern wesentlich, Worte, der Benützung| // dem Gebrauch // von Worten.)

     


     ?—Vergiß hier auch nicht, daß die Wortsprache nur    eine   unter vielen möglichen Sprachen ist—? und es Übergänge von ihr in die andern gibt. Untersuche die Landkarte darauf| auf das hin, was in ihr dem Ausdruck der Wortsprache entspricht.

     


     ‘Primär’ müßte eigentlich heißen: unmißverständlich.

     


     Es klingt wie eine lächerliche Selbstverständlichkeit, wenn ich sage, daß der, welcher glaubt die Gebärden| // Gesten // seien die primären Zeichen, die allen andern zu Grunde liegen, außer Stande wäre, den gewöhnlichsten Satz durch Gebärden zu ersetzen.

     


     Regeln der Grammatik, die eine “Verbindung zwischen Sprache und Wirklichkeit” herstellen, und solche, die es nicht tun. Von der ersten Art etwa: “diese Farbe nenne ich ‘rot’”, — von der zweiten: … “non-non-p = p”. Aber über diesen Unterschied besteht ein Irrtum: der Unterschied scheint prinzipieller Art zu sein; und die Sprache wesentlich etwas, dem eine Struktur gegeben, und was dann der Wirklichkeit aufgepaßt wird.

     


     “Ich will nicht verlangen, daß in der erklärenden

Tabelle das rote Täfelchen, horizontal gegenüber dem Wort ‘rot’ stehen soll, aber irgend ein Gesetz des Lesens der Tabelle muß es doch geben. Denn sonst verliert ja die Tabelle ihren Sinn”. Ist es aber gesetzlos, wenn die Tabelle so aufgefaßt wird, wie die Pfeile andeuten? “Aber muß dann nicht eben das Schema vorher gegeben werden?” Nur, sofern auch das Schema früher gegeben wird.

     

     ““Wird aber dann nicht wenigstens eine gewisse Regelmäßigkeit im Gebrauch gefordert?! Würde es angehen, wenn wir einmal eine Tabelle nach diesem, einmal nach jenem Schema zu gebrauchen hätten?    Wie soll man denn wissen  , wie man diese Tabelle zu gebrauchen hat?”” — Ja, wie weiß man es denn    heute  ? Die Zeichenerklärungen haben doch irgend einmal| // irgendwo // ein Ende.


     


     Ist das Zeigen mit dem Finger unserer Sprache wesentlich? Es ist gewiß ein merkwürdiger Zug unserer Sprache, daß wir Wörter hinweisend erklären: das ist ein Baum, das ist ein Pferd, das ist grün, etc..

((Überall auf der Erde| // bei den Menschen // finden sich Brettspiele, die mit kleinen Klötzchen auf Feldern gespielt werden. Überall auf der Erde findet sich eine Schrift| // eine Zeichensprache//, die aus geschriebenen Zeichen auf einer Fläche besteht.))

     



     Ich bestimme die Bedeutung eines Worts, indem ich es als Name eines Gegenstandes erkläre, und auch, indem ich es als gleichbedeutend mit einem andern Wort erkläre. Aber habe ich denn nicht gesagt, man könne ein Zeichen nur durch ein anderes Zeichen erklären? Und das ist gewiß so, sofern ja die hinweisende Erklärung “das (Pfeil) ist N” ein Zeichen ist. Aber ferner bildet hier auch der Träger von “N”, auf den gezeigt wird, einen Teil des Zeichens. Denn:
/dieser (Pfeil) hat es getan/ = /N hat es getan/.
Dann heißt aber ‘N’ der Name von diesem Menschen, nicht vom Zeichen “dieser (Pfeil)”, von dem ein Teil auch dieser Mensch ist. Und zwar spielt der Träger in dem Zeichen eine ganz besondere Rolle, verschieden von der eines andern Teiles eines Zeichens. (Eine Rolle, nicht ganz ungleich der des Musters.)

     



      Die hinweisende Erklärung eines Namens ist nicht nur äußerlich verschieden von einer Definition wie “1+1 = 2”, indem etwa das eine Zeichen in einer Geste meiner Hand, statt in einem Laut- oder Schriftzeichen besteht, sondern sie unterscheidet sich von dieser logisch; wie die Definition, die das Wort dem Muster beigesellt, von der eines Wortes durch ein Wort. Es wird von ihr in andrer Weise Gebrauch ge.

     



     Wenn ich also einen Namen hinweisend definiere und einen zweiten durch ihn| // den ersten//, so steht dieser zu jenem in anderem Verhältnis | // ist dieser zu jenem in anderer Beziehung//, als zum Zeichen, das in der hinweisenden Definition gegeben wurde. d.h., dieses letztere ist seinem Gebrauch nach wesentlich von dem Namen verschieden und daher die Ver-

baldefinition und die hinweisende Definition, ‘Definitionen’ in verschiedenem Sinne des Worts.

     



     Ich kann von primären und sekundären Zeichen sprechen — in    einem   bestimmten Spiel, einer bestimmten Sprache. — Im Musterkatalog    kann   ich die Muster die primären Zeichen und die Nummern die sekundären nennen. Was soll man aber in einem Fall, wie dem der gesprochenen und geschriebenen Buchstaben sagen? Welches sind hier die primären, welches die sekundären Zeichen?
     Die Idee ist doch die: Sekundär ist ein Zeichen dann, wenn, um mich danach zu richten, ich eine Tabelle brauche, die es mit einem andern (primären) Zeichen verbindet, über welches ich mich erst nach dem sekundären richten kann.
     Die Tabelle garantiert mir die Gleichheit aller Übergänge nicht, denn sie zwingt mich ja nicht, sie immer gleich zu gebrauchen. Sie ist da wie ein Feld, durch das Wege führen, aber ich kann ja auch querfeldein gehen.
     Ich mache den Übergang in der Tabelle bei jeder Anwendung von Neuem. Er ist nicht, quasi, ein für allemal in der Tabelle gemacht. (Die Tabelle    verleitet   mich höchstens, ihn so zu machen.)


     


Das was uns am Zeichen interessiert; die Bedeutung, die für uns maßgebend ist, ist das, was in der Grammatik des Zeichens niedergelegt ist.




     



     Satz

     Sinn des Satzes

     


‘Satz’ & ‘Sprache’ verschwimmende Begriffe.


     

     Oder wir müssen sagen: Vom Satzbegriff| // Satz // kann nur in einem grammatischen System| innerhalb eines grammatischen Systems gesprochen werden. | //… kann nur in der Erklärung eines grammatischen Systems die Rede sein.//















     

     Hier ist auch der Unsinn in der “experimentellen Theorie der Bedeutung” ausgesprochen. Denn die Bedeutung ist in der Grammatik festgelegt.

     

     Wie verhält sich die Grammatik des Wortes “Satz” zur Grammatik der Sätze?

     

     “Satz” ist offenbar die Überschrift der Grammatik der Sätze. In einem Sinne aber auch die Überschrift der Grammatik überhaupt, also äquivalent den Worten “Grammatik” und “Sprache”.


     


     Es scheint unsere Frage noch zu erschweren, daß auch die Worte “Welt” und “Wirklichkeit” Äquivalente des Wortes “Satz” sind.

     
     Aber es ist doch lächerlich, die Welt, oder die Wirklichkeit, abgrenzen zu wollen. Wem soll man sie denn entgegenstellen. Und so ist es mit der Bedeutung des Wortes “Tatsache”.
     Aber man gebraucht ja diese Wörter auch nicht als Begriffswörter.










     


     Könnten wir etwas ‘Sprache’ nennen, was nicht wirklich angewandt würde? Könnte man von Sprache reden, wenn nie eine gesprochen worden wäre? (Ist denn Sprache ein Begriff, wie ‘Kentaur’, |, vergleichbar mit dem Begriff ‘Kentaur’, der besteht, auch wenn es nie ein solches Wesen gegeben hat?) (Vergleiche damit ein Spiel, das nie gespielt wurde, eine Regel, nach der nie gehandelt wurde.)

     


     Was tut der, der eine neue Sprache konstruiert (erfindet)? nach welchem Prinzip geht er vor? Denn dieses Prinzip ist der Begriff ‘Sprache’.

     


     Eine Sprache erfinden, heißt, eine Sprache konstruieren. Ihre Regeln aufstellen. Ihre Grammatik verfassen.

     

     Erweitert jede erfundene Sprache den Begriff der Sprache?

     

     Was für das Wort “Sprache” gilt, muß auch für den Ausdruck “System von Regeln” gelten. Also auch für das Wort “Kalkül”.



     

     Immer wieder hat mein u.s.w. eine Grenze.

     


     Was nenne ich “Handlung”, was “Sinneswahrnehmung”?




     


     Aber warum zerbreche ich mir über den Begriff ‘Sprache’ den Kopf, statt Sprache zu gebrauchen?!

     


     Dieses Kopfzerbrechen ist nur dann berechtigt, wenn wir einen allgemeinen Begriff    haben  .












     



     Die Logik redet von Sätzen & Wörtern im gewöhnlichen Sinn, nicht von Sätzen & Wörtern in irgend einem abstrakteren| abstrakten Sinn.












     

     Und Deine Skrupel sind Mißverständnisse.


     

     Deine Fragen beziehen sich auf Wörter, so muß ich von Wörtern reden.


     

      Man sagt: Es kommt doch nicht auf das| // auf's // Wort an, sondern auf seine Bedeutung, und denkt dabei immer an die Bedeutung, als ob sie nun eine Sache von der Art des Worts wäre, allerdings vom Wort verschieden. Hier ist das Wort, hier die Bedeutung. (Das Geld, und die Kuh die man dafür kaufen kann. Anderseits aber: das Geld, und sein Nutzen.)


     



     Satz & Satzklang




     

     Es fragt sich also, ob wir außer diesem irreführenden Satzklang noch einen allgemeinen Begriff vom Satz haben. (Ich rede jetzt von dem, was durch ‘&’, ‘⌵’, ‘C’, zusammengehalten wird.)


     


     Hat es einen Sinn, zu sagen: “Ich habe so viele Schuhe, als eine Wurzel der Gleichung x³+2x-3 = 0 Einheiten hat”? Hier könnte es scheinen, als hätten wir eine Notation, der wir es eventuell nicht ansehen können, ob sie Sinn hat oder nicht.
     Wenn der Ausdruck “die Wurzel der Gleichung F(x) = 0” eine Beschreibung im Russellschen Sinne wäre, so hätte der Satz “ich habe n Äpfel und n+2 = 6” einen andern Sinn, als der: “ich habe 4 Äpfel”.
     Wir haben in dem ersten Satz ein außerordentlich lehrreiches Beispiel dafür, wie eine Notation auf den ersten Blick einwandfrei erscheinen kann, nämlich so, als verstünden wir sie; und daß wir in Wirklichkeit einen unsinnigen Satz nach Analogie eines sinnvollen gebildet haben und nur    glauben  , die Regeln des ersteren zu übersehen. So ist “ich habe n Schuhe und n²=4” ein sinnvoller Satz; aber nicht “ich habe n Schuhe und n²=2”.


     



     Was als Satz gelten soll, ist in der Grammatik bestimmt.







     


     Man kann natürlich nicht sagen, ‘Satz’ sei dasjenige, wovon man ‘wahr’ und ‘falsch’ aussagen könne das würde nur dann etwas bestimmen, wenn diese Worte in einer bestimmten Weise gemeint sind| //…wenn diese Worte in einer bestimmten Weise gemeint sind, d.h. bereits eine bestimmte Grammatik haben. Und eben im Zusammenhang mit einem Satz. Alles, was man machen kann, ist hier, wie in allen diesen Fällen, das grammatische Spiel bestimmen…, seine Regeln angeben und es dabei bewenden lassen.


     


     Was ein Satz ist, wird durch die Grammatik bestimmt. D.h., innerhalb der Grammatik.
     (Dahin zielte auch meine “allgemeine Satzform”.)





     


     Kann man den Begriff des “Satzes” festlegen? oder die allgemeine Form des Gesetzes? — Warum nicht! Wie man ja auch den Begriff ‘Zahl’ festlegen könnte, etwa durch das Zeichen “/0,x,x+1/”. Es steht mir ja frei, nur das Zahl zu nennen; und so steht es mir auch frei, eine analoge Vorschrift zur Bildung von Sätzen oder Gesetzen zu geben und das Wort “Satz” oder “Gesetz” als ein Äquivalent dieser Vorschrift zu gebrauchen. Wehrt man sich dagegen und sagt, es sei doch klar, daß damit nur gewisse Gesetze von andern abgegrenzt worden seien, so antworte ich: Ja, Du kannst freilich nicht eine Grenze ziehen, wenn Du von vornherein entschlossen bist, keine anzuer-

kennen! — Sollen die “Sätze” den unendlichen logischen Raum erfüllen, so kann von keiner allgemeinen Satzform die Rede sein. Es fragt sich dann natürlich: Wie gebrauchst Du nun das Wort “Satz”? im Gegensatz wozu? — Etwa im Gegensatz zu “Wort”, “Satzteil”, “Buchtitel”, “Erzählung”, etc..


     


     (Ein Satz der von allen Sätzen oder allen Funktionen handelt. Was stellt man sich darunter vor?| // Was meint man damit? // Es wäre wohl ein Satz der Logik. Denken wir nun daran, wie der Satz non2np = p bewiesen wird.)




     



     Die grammatischen Regeln bestimmen den Sinn des Satzes, & ob eine Wortzusammenstellung Sinn hat oder nicht.




     


     Welcher Art nun sind die Regeln, welche sagen, daß die und die Zusammenstellungen von Wörtern keinen Sinn haben? Sind sie von der Art derjenigen Vorschriften, welche etwa sagen, daß es keine Spielstellung im Schach ist, wenn zwei Figuren auf dem gleichen Feld stehen, oder wenn eine Figur auf der Grenze zwischen zwei Feldern steht, etc.? Diese Sätze sind wieder wie gewisse Handlungen, ?—wie wenn man etwa ein Schachbrett—? aus einem größeren Stück karierten Papiers herausschneidet. Sie ziehen eine Grenze. — Was heißt es denn, zu sagen: “diese Wortzusammenstellung heißt nichts”. Von einem Namen kann man sagen “diesen Namen habe ich niemandem gegeben” und das Namengeben ist eine bestimmte Handlung (Umhängen|umhängen eines Täfelchens).
     Denken wir an die Darstellung einer Reise auf der Erde durch eine Linie in der Projektion der zwei Halbkugeln und daß wir sagen: ein Linien-

stück, das auf der Zeichenebene die Grenzkreise der Projektionen verläßt, ist in dieser Darstellung sinnlos. Man könnte auch sagen: nichts ist darüber ausgemacht worden.



     



     Der Sinn des Satzes keine Seele



     


     Der Sinn eines| des Satzes ist nicht pneumatisch, sondern ist das, was auf die Frage nach der Erklärung des Sinnes zur Antwort kommt. Und — oder — der eine Sinn unterscheidet sich vom andern, wie die Erklärung des einen von der Erklärung des andern.


     

     Welche Rolle der Satz im Kalkül spielt, das ist sein Sinn.


     


     Der Sinn steht (also) nicht    hinter   ihm (wie der psychische Vorgang der Vorstellungen etc.).






     



     Ähnlichkeit von Satz & Bild



     

     Ich kann die Beschreibung des Gartens in ein gemaltes Bild, das Bild in eine Beschreibung übersetzen.





     


     Wenn man die Sätze als Vorschriften auffaßt, um Modelle zu bilden, wird ihre

Bildhaftigkeit noch deutlicher.







     



     Sätze mit Genrebildern
verglichen.

     


     (Verwandt damit: Verstehen eines Bildes)




     


Wenn ich ein Genrebild ansehe, so halte ich die gemalten Menschen darin nicht für wirkliche Menschen, andererseits ist ihre Ähnlichkeit mit Menschen für das Verständnis des Bildes wesentlich.



     



      Die Illustration in einem Buch ist dem Buch nichts fremdes, sondern gesellt sich hinzu wie ein verwandter Behelf einem andern, — wie etwa ein Reibahle dem Bohrer.
      (Wenn einen die Häßlichkeit eines Menschen abstößt, so kann sie im Bild, im gemalten, gleichfalls abstoßen, aber auch in der Beschreibung, in den Worten.)


     



     Mit dem Satz scheint die Realität wesentlich übereinstimmen oder nicht übereinstimmen zu können. Er scheint sie zu fordern sich mit ihm zu vergleichen.






     


      Ich sagte, der Satz wäre wie ein Maßstab an die Wirklichkeit angelegt: Aber der Maßstab ist, wie alle richtigen Gleichnisse des Satzes, ein besonderer Fall eines Satzes. Und auch er bestimmt nichts, solange man nicht mit ihm mißt. Aber Messen ist Vergleichen (und muß heißen, Übersetzen).





     


      Gut, ich sage: wenn ich meine Uhr herausziehe, wird sie mir jetzt entweder    dieses   Bild der Zeigerstellung bieten, oder nicht. Aber wie kann ich es ausdrücken, daß ich mich für eine dieser Annahmen entscheide?

      Jeder Gedanke ist der Ausdruck eines Gedankens.











     



     Das Symbol (der Gedanke), scheint als solches unbefriedigt zu sein.


     


      Der Plan ist als Plan etwas Unbefriedigtes. (Wie der Wunsch, die Erwartung, die Vermutung u.s.f..)
      Ich möchte manchmal mein Gefühl dem Plan gegenüber als eine Innervation bezeichnen. Aber auch die Innervation an sich ist nicht unbefriedigt, ergänzungsbedürftig.


     


      In wiefern kann man den Wunsch als solchen, die Erwartung ‘unbefriedigt’ nennen? Was ist das Urbild| // Vorbild // der Unbefriedigung? Ist es der leere Hohlraum (in den etwas hineinpaßt)? Und würde man von einem leeren Raum sagen, er sei unbefriedigt? Wäre    das   nicht auch eine Metapher? Ist es nicht ein gewisses Gefühl, das wir Unbefriedigung nennen? Etwa der Hunger. Aber der Hunger enthält nicht das Bild seiner Befriedigung.


     


      Die Hohlform ist nur unbefriedigt in dem System, in dem auch die entsprechende Vollform vorkommt.| // … in dem auch die Vollform vorkommt.//


     


      Ich meine, man kann das Wort “unbefriedigt” nicht schlechtweg von einer Tatsache gebrauchen. Es kann aber in einem System eine Tatsache beschreiben helfen. Ich könnte z.B. // festsetzen//, daß ich den Hohlzylinder ‘den unbefriedigten Zylinder’ nennen werde, den entsprechenden Vollzylinder,    seine   Befriedigung.


     

      Aber man kann nicht sagen, daß der Wunsch ‘p möge der Fall sein’ durch die Tatsache p befriedigt wird es sei denn als Zeichenregel: /der Wunsch p möge der Fall sein/ = /der Wunsch der durch die Tatsache p befriedigt wird/.


     



     Ein Satz ist ein Zeichen in einem System von Zeichen. Er ist eine Zeichenverbindung von mehreren möglichen & im Gegensatz zu den andern möglichen. Gleichsam eine Zeigerstellung im Gegensatz zu andern möglichen.

     


     Einen Satz verstehen heißt, eine Sprache verstehen.













     



     Sich vorstellen können, wie es wäre als Kriterium dafür, daß ein Satz Sinn hat.

     

     Was heißt es, wenn man sagt: “ich kann mir das Gegenteil davon nicht vorstellen”, oder “wie wäre es denn, wenn's anders wäre”; z.B. wenn jemand gesagt hat, daß meine Vorstellungen privat seien, oder daß nur ich selbst wissen kann, ob ich Schmerz empfinde, und dergleichen.

     

     Wenn ich mir nicht vorstellen kann, wie es anders wäre, so kann ich mir auch nicht vorstellen, wie es    so   sein kann.
     “Ich kann mir nicht vorstellen” heißt nämlich hier nicht, was es im Satz “ich kann mir keinen Totenkopf vorstellen” heißt. Ich will damit nicht auf eine mangelnde Vorstellungskraft deuten.




     



      Wenn es Sinn hat, zu sagen “ich kann mir vorstellen, daß p der Fall ist”, so hat es Sinn zu sagen “p ist der Fall”.





     



     „Ich weiß, daß es möglich ist, weil …” diese Ausdrucksform ist von Fällen hergenommen wie: „Ich weiß, daß es möglich ist, die Tür mit diesem Schlüssel aufzusperren, weil ich es schon einmal getan habe”. Vermute ich also in dem Sinn daß dieser Farbenübergang möglich sein wird, weil ich mir ihn vorstellen kann?! Muß es nicht vielmehr heißen: der Satz „der Farbenübergang ist möglich” heißt dasselbe wie der: „ich kann ihn mir vorstellen” oder: der erste Satz folgt aus dem zweiten? — Wie ist es damit: „Das A-B-C läßt sich laut hersagen, weil ich es mir im Geiste vorsagen kann”?
     „Ich kann mir vorstellen wie es wäre”, oder — was wieder ebenso gut ist —: „ich kann es aufzeichnen, wie es wäre, wenn p der Fall ist” gibt eine Anwendung des Satzes (p). Es sagt etwas über den Kalkül, in

welchem wir p verwenden.


     



     „Logische Möglichkeit & Unmöglichkeit”. Das Bild des ‘Könnens’ ultraphysisch angewandt.
     Ähnlich: „Das ausgeschlossene Dritte”.



     


     Ich versuche etwas, kann es aber nicht. — Was heißt es aber: “etwas nicht versuchen können”?



     



     Logische Möglichkeit & Sinn.
Kann man fragen: „wie müssen die grammatischen Regeln für die Wörter beschaffen sein damit sie einem Satz Sinn geben?”?


     


     Der Gebrauch des Satzes, das ist sein Sinn.


     


     Ich sage z.B. „auf diesem Tisch steht jetzt keine Vase, aber es könnte eine da stehn; dagegen ist es sinnlos| unsinnig zu sagen der Raum könnte vier Dimensionen haben.” Aber wenn der Satz dadurch sinnvoll wird, daß er mit den grammatischen Regeln im Einklang ist, nun so machen wir eben die Regel, die den Satz, unser Raum habe vier Dimensionen, erlaubt. Wohl, aber damit ist nun die Grammatik dieses Ausdrucks

noch nicht festgelegt. Nun müssen erst noch weitere estimmungen darüber gemacht werden wie ein solcher Satz zu gebrauchen ist, wie er etwa verifiziert wird.


     


     Wenn man auch den Satz als Bild des beschriebenen Sachverhalts auffaßt & sagt der Satz zeige eben wie es ist, wenn er wahr wäre, er zeige also die Möglichkeit des behaupteten Sachverhalts, so kann der Satz doch bestenfalls tun was ein gemaltes oder modelliertes Bild tun kann| tut, & er kann also jedenfalls nicht das hinstellen | [erzeugen] was nun eben nicht der Fall ist. Also hängt es ganz von unserer Grammatik ab was möglich genannt wird & was nicht, nämlich eben, was sie

zuläßt. Aber das ist doch willkürlich! — Gewiß, aber nicht mit jedem Gebilde kann ich etwas anfangen; d.h.: nicht jedes Spiel ist nützlich & wenn ich versucht bin etwas ganz Nutzloses als Satz zuzulassen so geschieht es weil … ich mich durch eine Analogie dazu verleiten lasse & nicht sehe daß mir für meinen Satz noch die wesentlichen Regeln der Anwendung fehlen. So ist es z.B. wenn man von einer unendlichen Baumreihe redet & sich fragt, wie es denn zu verifizieren sei, daß eine Baumreihe unendlich ist & was etwa die Beziehung dieser Verifikation zu der des Satzes „die Baumreihe hat 100 Bäume” ist.


     



     Elementarsatz.




     


     Die Idee, Elementarsätze zu konstruieren (wie dies z.B. Carnap versucht hat), beruht auf einer falschen Auffassung der logischen Analyse. Sie betrachtet das Problem dieser Analyse als das,

eine    Theorie   der Elementarsätze zu finden. Sie lehnt sich an das an, was, in der Mechanik z.B., geschieht, wenn eine Anzahl von Grundgesetzen gefunden wird, aus denen das ganze System von Sätzen hervorgeht.

     

     Meine eigene Auffassung war falsch: teils, weil ich mir über den Sinn der Worte “in einem Satz ist ein logisches Produkt    versteckt  “ (und ähnlicher) nicht klar war, zweitens, weil auch ich dachte, die logische Analyse müsse verborgene Dinge an den Tag bringen (wie es die chemische und physikalische tut).


     


     Man kann den Satz “dieser Ort ist jetzt rot” (oder “dieser Kreis ist jetzt rot”, etc.) einen Elementarsatz nennen, wenn man damit sagen will, daß er weder eine Wahrheitsfunktion anderer Sätze ist, noch als solche definiert (ist?). (Ich sehe hier von Verbindungen der Art p & (q·⌵·~q) und analogen ab.)
     Aus “a ist jetzt rot” folgt aber “a ist jetzt nicht grün” und die Elementarsätze in diesem Sinn sind also nicht von einander unabhängig, wie

die Elementarsätze in meinem seinerzeit beschriebenen Kalkül, von dem ich annahm, der ganze Gebrauch der Sätze müsse sich auf ihn zurückführen lassen; — verleitet durch einen falschen Begriff von diesem “zurückführen” | // von dieser Zurückführung//.

     



     “Wie ist die Möglichkeit von p in der Tatsache, daß ~p der Fall ist, enthalten?”
     “Wie enthält z.B. der schmerzlose Zustand die Möglichkeit der Schmerzen?”


     


⋎
     Fähigkeit voraus Schmerzen zu fühlen und das kann keine “physiologische Fähigkeit” sein — denn wie wüßte man sonst, wozu es die Fähigkeit ist — sondern eine logische Möglichkeit. — Ich beschreibe meinen gegenwärtigen Zustand durch die Anspielung auf Etwas, was nicht der Fall ist. Wenn diese Hinweisung zu der Beschreibung nötig ist (und nicht bloß eine Verzierung), so muß in meinem gegenwärtigen Zustand etwas liegen, was diese Erwähnung (Hinweisung) nötig macht. Ich vergleiche diesen Zustand mit einem anderen, also muß er mit ihm vergleichbar sein. Er muß auch im Schmerzraum liegen, wenn auch an einer andern Stelle. — Sonst würde mein Satz etwa heißen, mein gegenwärtiger Zustand hat mit einem schmerzhaften    nichts zu tun  ; etwa, wie ich sagen würde, die Farbe dieser Rose hat mit der Eroberung Galliens durch Cäsar nichts zu tun. D.h. es ist kein Zusammenhang vorhanden. Aber ich meine gerade, daß zwischen meinem jetzigen Zustand und einem schmerzhaften ein Zusammenhang besteht.” Ich meine nur was ich sage.      In wiefern ist aber Schmerzlosigkeit ein Zustand. Was nenne ich einen “Zustand”?





     


     Wenn ich nur etwas Schwarzes sehe und sage, es ist nicht rot, wie weiß ich, daß ich nicht Unsinn rede, d.h. daß es rot sein kann, daß es ot gibt? Wenn nicht rot eben ein anderer Teilstrich auf dem Maßstab ist, auf dem auch schwarz einer ist. Was ist der Unterschied zwischen “das ist nicht rot” und “das ist nicht abrakadabra”? Ich muß offenbar wissen, daß “schwarz”, welches den tatsächlichen Zustand beschreibt (oder beschreiben hilft) das ist, an dessen Stelle in der Beschreibung “rot” steht.

     


     Das Gefühl ist, als müßte ~p, um p zu verneinen es erst in gewissem Sinne wahr machen. Man fragt “   was   ist nicht der Fall”. Dieses muß dargestellt werden, kann aber doch nicht so dargestellt werden, daß p wirklich wahr gemacht wird.




     



     Sehen wir die Sache vom Standpunkt des gesunden Menschenverstandes an. Wir sind versucht zu sagen; “ich habe jetzt in der Hand keine Schmerzen” heiß nur etwas, wenn ich weiß wie es ist, wenn man Schmerzen in der Hand hat. Was heißt es, das zu wissen? Was ist unser Kriterium dafür, daß man es weiß? Nun, ich würde sagen: “ich habe schon öfters Schmerzen gehabt”, “ich habe öfters Schmerzen an dieser Stelle gehabt” oder “ich habe zwar nicht an dieser Stelle Schmerzen gehabt, aber an andern Stellen meines Körpers”. Es könnte gefragt werden: Worin besteht die Erinnerung an Deine vergangenen Schmerzen? fühlst Du sie in einer Art schattenhafter Weise wieder? Aber sei diese Erfahrung (des Sich-Erinnerns) wie immer, sie ist eine bestimmte Erfahrung & ich nenne sie die Erinnerung “an Schmerzen die ich gehabt habe” & dies zeigt eben, wie ich das Wort “Schmerzen” & den Ausdruck der Vergangenheit gebrauche.


     


     Die Verneinung enthält eine Art Allgemeinheit durch das Gebiet von Möglichkeiten die sie offen läßt.
     Aber freilich muß auch die Bejahung sie enthalten und nur einen andern Gebrauch von ihr machen.

     


      ~p schließt p aus; was es dann    zuläßt  , hängt von der Natur d.h. der Grammatik des p ab.


     


      “~p” schließt einfach p aus. Was dann    statt   p der Fall sein kann, folgt aus dem Wesen des Ausgeschlossenen.


     



     “Wie kann das Wort ‘nicht’ verneinen?”
     Das Wort “nicht” erscheint uns wie ein Anstoß zu einer komplizierten Tätigkeit des Verneinens.
















     



     “Ich brauche im negativen Satz das intakte Bild des positiven Satzes.”



     



      Die Idee der Negation ist nur ein einer Zeichenerklärung verkörpert & soweit wir eine solche Idee besitzen, besitzen wir sie nur in der Form so einer Erklärung. Denn wenn man fragen kann „was meinst Du damit| [ mit diesem Zeichen]”, so ist die Antwort nur eine Zeichenerklärung (irgendeiner Art).
     Den Begriff der Negation| Verneinung besitzen wir nur in einem Symbolismus. Und darum kann man nicht sagen: „auf die & die Art kann man die Negation nicht darstellen, weil diese Art nicht eindeutig wäre” — als handelte es sich um die Beschreibung eines Gegenstandes, die nicht eindeutig gegeben worden wäre. Wenn der ymbolismus nicht erkennen läßt, was verneint wurde, so verneint er nicht; wie ein Schachbrett ohne Felder kein schlechtes d.h. unpraktisches Schachbrett ist, son

dern keins. Und wenn ich glaubte, auf| mit einem Brett ohne Felder Schach spielen zu können, so habe ich das Spiel einfach mißverstanden & werde etwa jetzt darauf| auf das Mißverständnis aufmerksam gemacht.
     Ein Symbolismus, der die Negation “nicht darstellen kann”, ist kein Symbolismus der Negation.


     



     Ich glaube, ein Teil der Schwierigkeit rührt vom Gebrauch der Wörter „ja” & „nein” her (auch „wahr” & „falsch”). Diese beiden lassen es so erscheinen, als wäre ein Satz & sein Gegenteil im Verhältnis zweier Pole zu einander oder zweier entgegengesetzter Richtungen. Während schon, daß ~~p = p ist, eine doppelte Bejahung aber keine Verneinung ist, zeigen kann, daß dieses Bild falsch ist.


     


     Wenn gefragt würde: ist die Negation| // Verneinung // in der Mathematik, etwa in non(2+2 = 5), die gleiche, wie die nicht-mathematischer Sätze? so müßte erst bestimmt werden, was als Charakteristikum der| // dieser // Verneinung als solcher aufzufassen ist. Die Bedeutung eines Zeichens liegt ja in den Regeln, nach denen es verwendet wird| // in den Regeln, die seinen Gebrauch vorschreiben //. Welche dieser Regeln machen das Zeichen “non” zur Verneinung? Denn es ist klar, daß gewisse Regeln, die sich auf “non” beziehen, für beide Fälle die gleichen sind; z.B. ~~p = p. Man könnte ja auch fragen: ist die Verneinung eines Satzes “ich sehe einen roten Fleck” die gleiche, wie die von “die Erde bewegt sich in einer Ellipse um die Sonne”; und die Antwort müßte auch sein: Wie hast Du “Verneinung” definiert, durch welche Klasse von Regeln? — daraus wird sich ergeben, ob wir in beiden Fällen “die gleiche Verneinung” haben. Wenn die Logik allgemein von der Verneinung redet, oder einen Kalkül mit ihr treibt, so ist die Bedeutung des Verneinungszeichens nicht weiter festgelegt, als die Regeln seines Kalküls. Wir dürfen hier nicht vergessen, daß ein Wort seine Bedeutung nicht als etwas, ihm ein für allemal verliehenes, mit sich herumträgt, sodaß wir sicher sind, wenn wir nach dieser Flasche greifen, auch die bestimmte Flüssigkeit, etwa Spiritus, zu erwischen.| //… auch die bestimmte Flüssigkeit, z.B. Spiritus, in der Hand zu halten.//


     



     Ist die Zeit den Sätzen wesentlich?
     Vergleich von: Zeit & Wahrheitsfunktionen.











     



     Diskutiere : …

Der Unterschied zwischen der Logik des Inhalts und der Logik der Satzform überhaupt. Das eine erscheint gleichsam bunt, das andere matt. Das einescheint von dem zu handeln, was das Bild darstellt, das andere, wie der Rahmen des Bildes ein Charakteristikum der Bildform zu sein.


     



      Zeile Daß alle Sätze die Zeit in irgend einer Weise enthalten, scheint uns zufällig, im Vergleich damit, daß auf alle Sätze die Wahrheitsfunktionen anwendbar sind.      Das scheint mit ihrem Wesen als Sätzen zusammenzuhängen, das andere mit dem Wesen der vorgefundenen Realität.

     


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⇐ Wesen der Hypothese


     
























     Eine Hypothese könnte man offenbar durch Bilder erklären. Ich meine, man könnte z.B. die Hypothese “hier liegt ein Buch” durch Bilder erklären, die das Buch im Grundriß, Aufriß und verschiedenen Schnitten zeigen.



     


     Drücken wir z.B. den Satz, daß eine Kugel sich in einer bestimmten Entfernung von unseren Augen befindet mit Hilfe eines Koordinatensystems und er Kugelgleichung aus, so hat diese Beschreibung eine größere Mannigfaltigkeit, als die einer Verifikation durch das Auge. Jene Mannigfaltigkeit entspricht nicht    einer   Verifikation, sondern einem    Gesetz  , welchem Verifikationen gehorchen.




     


     Darstellung einer Linie als Gerade mit Abweichungen. Die Gleichung der Linie enthält einen Parameter, dessen Verlauf die Abweichungen von der Geraden ausdrückt. Es ist nicht wesentlich, daß die-

se Abweichungen “gering” seien. Sie können so groß sein, daß die Linie einer Geraden nicht ähnlich sieht. Die “Gerade mit Abweichungen” ist nur eine Form der Beschreibung. Sie erleichtert es mir, einen bestimmten Teil der Beschreibung auszuschalten, zu vernachlässigen, wenn ich will. (Die Form “Regel mit Ausnahmen”.)





     

     Ist es nicht klar, daß es nur am Mangel von entsprechenden Übereinkommen liegt, wenn ich das, was ich — z.B. — zeichnerisch darstelle, durch Worte| // mit Worten // wiedergeben kann?



     


      Der Vorgang einer Erkenntnis in einer wissenschaftlichen Untersuchung (in der Experimentalphysik etwa) ist freilich nicht der einer Erkenntnis im Leben außerhalb … des Laboratoriums; aber er ist ein    ähnlicher   und kann, neben den andern gestellt| // gehalten//, diesen beleuchten.









     


     Die Hypothese wird, mit    der   Facette an die Realität angelegt, zum Satz.



     


     Wenn ich sagte “ich sah einen Sessel”; so widerspricht dem (in    einem   Sinne) nicht der Satz “es war keiner da”. Denn den ersten Satz würde ich auch in der Beschreibung eines Traums verwenden und niemand würde mir dann mit den Worten des zweiten widersprechen. Aber die Beschreibung des Traums mit jenen Worten wirft ein Licht auf den Sinn der Worte “   ich sah  ”.      In dem Satz “es war ja keiner da” kann das “da” übrigens verschiedene Bedeutung haben.




     


     Ich stimme mit den Anschauungen neuerer Physiker überein, wenn sie sagen, daß die Zeichen in ihren Gleichungen keine “Bedeutungen” mehr haben, und daß die Physik zu keinen solchen Bedeutungen gelangen könne, sondern bei den Zeichen stehen bleiben müsse: sie sehen nämlich nicht, daß diese Zeichen insofern Bedeutung haben — und nur insofern — als ihnen, auf welchen Umwegen immer, das beobachtete Phänomen entspricht, oder nicht entspricht.



     


empty
Wahrscheinlichkeit



     


     Man gibt die Hypothese nur um einen immer höheren Preis auf.


     

     Die Induktion ist ein Vorgang nach einem ökonomischen Prinzip.


     

     Die Hypothese steht mit der Realität gleichsam in einem loseren Zusammenhang, als dem der Verifikation.

     


     Die Frage der Einfachheit der Darstellung durch eine bestimmte angenommene Hypothese hängt, glaube ich, unmittelbar mit der Frage der Wahrscheinlichkeit zusammen.





     


     Wir können unser altes Prinzip auf die Sätze, die eine Wahrscheinlichkeit ausdrücken, anwenden und sagen, daß wir ihren Sinn erkennen werden, wenn wir bedenken, was sie verifiziert.      Wenn ich sage “das wird wahrscheinlich eintreffen”, wird dieser Satz durch das Eintreffen verifiziert, oder durch das Nichteintreffen falsifiziert? Ich glaube, offenbar nein. Dann sagt er auch nichts darüber aus. Denn, wenn ein Streit darüber entstünde, ob es wahrscheinlich ist oder nicht, so würden immer nur Argumente aus der Vergangenheit herangezogen werden. Und auch dann nur, wenn es bereits bekannt wäre, was eingetroffen ist.



     


     Wenn Leute sagen, der Satz “es ist wahrscheinlich, daß p eintreffen wird” sage etwas über das Ereignis p, so vergessen sie, daß es auch wahrscheinlich bleibt, wenn das Ereignis p    nicht   eintrifft.


     

     Wir sagen mit dem Satz “p wird wahrscheinlich eintreffen” zwar etwas über die Zukunft, aber nicht etwas “   über   das Ereignis p”, wie die grammatische Form der Aussage uns glauben macht.


     

     Wenn ich nach dem Grund einer Behauptung frage, so ist die Antwort auf diese Frage nicht für den Gefragten und eben    diese   Handlung (die Behauptung), sondern allgemein gültig.


     

     Wenn ich sage: “das Wetter deutet auf Regen”, sage ich etwas über das zukünftige Wetter? Nein, sondern über das gegenwärtige,

mit Hilfe eines Gesetzes, welches das Wetter zu einer Zeit mit dem Wetter zu einer späteren| // in einer früheren // Zeit in Verbindung bringt. Dieses Gesetz muß bereits vorhanden sein, und mit seiner Hilfe fassen wir gewisse Aussagen über unsere Erfahrung zusammen. —      Aber dasselbe könnte man dann auch für historische Aussagen behaupten. Aber es war ja auch vorschnell, zu sagen, der Satz “das Wetter deutet auf Regen” sage nichts über das zukünftige Wetter. Das kommt darauf an, was man darunter versteht “etwas über etwas auszusagen”. Der Satz sagt eben seinen Wortlaut!      Der Satz “p wird wahrscheinlich eintreten” sagt| // Er sagt // nur etwas über die Zukunft in einem Sinn, in welchen seine Wahr- und Falschheit gänzlich unabhängig ist von dem, was in der Zukunft geschehen wird.


     

     Wenn wir sagen, “das Gewehr zielt jetzt auf den Punkt P”, so sagen wir nichts darüber, wohin der Schuß treffen wird. Der Punkt auf den es zielt, ist ein    geometrisches   Hilfsmittel zur Angabe seiner Richtung. Daß wir gerade dieses Mittel verwenden, hängt allerdings mit gewissen Erfahrungen | // Beobachtungen // zusammen (Wurfparabel, etc.), aber diese treten jetzt nicht in die Beschreibung der Richtung ein.


     


     Die Galstone'sche Photographie, das Bild einer Wahrscheinlichkeit. Das Gesetz der Wahrscheinlichkeit, das Naturgesetz, was man sieht, wenn man blinzelt.


     


     Was heißt es: “die Punkte, die das Experiment liefert, liegen durchschnittlich auf einer Geraden”? oder: “wenn ich mit einem guten Würfel würfle, so werfe ich durchschnittlich alle 6 Würfe eine 1”? Ist dieser Satz mit    jeder   Erfahrung, die ich etwa mache, vereinbar? Wenn er das ist, so sagt er nichts. Habe ich (vorher) angegeben, mit welcher Erfahrung er nicht mehr vereinbar ist, welches die Grenze ist, bis zu der die Ausnahmen von der Regel gehen dürfen, ohne die Regel umzustoßen? Nein. Hätte ich aber nicht eine solche Grenze aufstellen können? Gewiß. — Denken wir uns, die Grenze wäre so gezogen: wenn unter 6 aufeinander folgenden Würfen 4 gleiche auftreten, ist der Würfel schlecht. Nun fragt man aber: “Wenn das aber nur selten genug geschieht, ist er dann nicht doch gut?” — Darauf lautet die Antwort: Wenn ich das Auftreten von 4 gleichen Würfen unter 6 aufeinander folgenden für eine bestimmte Zahl von Würfen erlaube, so ziehe ich damit eine    andere   Grenze, als die erste war. Wenn ich aber sage “jede Anzahl gleicher aufeinander folgender Würfe ist erlaubt, wenn sie nur selten genug auftritt, dann habe ich damit die Güte des Würfels im strengen Sinne als unabhängig von den Wurfresultaten erklärt. Es sei denn, daß ich unter der Güte des Würfels nicht eine Eigenschaft des Würfels, sondern eine Eigenschaft einer bestimmten Partie im Würfelspiel verstehe. Denn dann kann ich allerdings sagen: Ich nenne den Würfel in einer Partie gut, wenn unter den N Würfen der Partie nicht mehr als log N gleiche aufeinander folgende vorkommen. Hiermit wäre aber eben kein Test zur Überprüfung von Würfeln gegeben, sondern ein Kriterium zur Beurteilung einer Partie des Spiels.


     

     Man sagt, wenn der Würfel ganz gleichmäßig und

sich selbst überlassen ist, dann muß die Verteilung der Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 unter den Wurfresultaten gleichförmig sein, weil    kein Grund vorhanden ist  , weshalb die eine Ziffer öfter vorkommen sollte als die andere.      Stellen wir nun aber die Wurfresultate statt durch die Ziffern 1 —|bis 6 durch die Worte der Funktion (x-3)² für die Argumente 1 bis 6 dar, also durch die Ziffern 0, 1, 4, 9. Ist ein Grund vorhanden, warum eine    dieser   Ziffern öfter in den neuen Wurfresultaten fungieren soll, als eine andere? Dies lehrt uns, daß das Gesetz a priori der Wahrscheinlichkeit eine Form von Gesetzen ist, wie die der Minimumgesetze der Mechanik etc.. Hätte man durch Versuche herausgefunden, daß die Verteilung der Würfe 1 bis 6 mit einem regelmäßigen Würfel so ausfällt, daß die Verteilung der Werte (x-3)² eine gleichmäßige wird, so hätte man nun    diese   Gleichmäßigkeit als die Gleichmäßigkeit a priori erklärt.      So machen wir es auch in der kinetischen Gastheorie: wir stellen die Verteilung der Molekülbewegungen in der Form irgend einer gleichförmigen Verteilung dar;    was   aber gleichförmig verteilt ist — so wie an andrer Stelle    was   zu einem Minimum wird — wählen wir so, daß unsere Theorie mit der Erfahrung übereinstimmt.


     

     “Die Moleküle bewegen sich bloß nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit”, das soll heißen: die Physik tritt ab, und die Moleküle bewegen sich jetzt quasi bloß nach Gesetzen der Logik. Diese Meinung ist verwandt der, daß das Trägheitsgesetz ein Satz a priori ist; und auch hier redet man davon, was ein Körper tut, wenn er sich selbst überlassen ist. Was ist das Kriterium dafür, daß er sich selbst überlassen ist? Ist es am Ende das, daß er sich gleichförmig in einer Geraden bewegt? Oder ist es ein anderes. Wenn das letztere, dann ist es eine Sache der Erfahrung,

ob das Trägheitsgesetz stimmt; im ersten Fall aber war es gar kein Gesetz, sondern eine Definition. Und Analoges gilt von einem Satz: “wenn die Teilchen sich selbst überlassen sind, dann ist die Verteilung ihrer Bewegungen die und die”. Welches ist das Kriterium dafür, daß sie sich selbst überlassen sind? etc..


     

     /Wenn die Messung ergibt, daß der Würfel genau und homogen ist, — ich nehme an, daß die Ziffern auf seinen Flächen die Wurfresultate nicht beeinflussen — und die werfende Hand bewegt sich regellos — folgt daraus die durchschnittlich gleichmäßige Verteilung der Würfe 1 bis 6? Woraus sollte man die schließen? Über die Bewegung beim Werfen hat man keine Annahme gemacht und die Prämisse der| // Annahme der // Genauigkeit des Würfels ist doch von ganz anderer Art| // Multiplizität//, als eine durchschnittlich gleichförmige Verteilung von Resultaten. Die Prämisse ist gleichsam einfärbig, die Konklusion gesprenkelt. Warum hat man gesagt, der Esel werde zwischen den beiden gleichen Heubündeln verhungern, und nicht, er werde durchschnittlich so oft von dem einen, wie von dem andern fressen| // er werde von beiden durchschnittlich gleich oft fressen//? /


     


     Zu sagen, die Punkte, die dieses Experiment liefert, liegen durchschnittlich auf dieser Linie, z.B. einer Geraden, sagt etwas Ähnliches wie: “aus dieser Entfernung gesehen, scheinen sie in einer Geraden zu liegen”.      Ich kann von einer Linie| // Strecke // sagen, der allgemeine Eindruck ist der einer Geraden; aber nicht: “die Linie| Strecke schaut gerade aus, denn sie kann das Stück einer Linie sein, die mir als Ganzes| Ganze den Eindruck der Geraden macht”. (Berge auf der Erde und auf dem Mond. Erde eine Kugel.)


     


     Das Experiment des Würfelns dauert eine gewisse Zeit, und unsere Erwartungen über die zukünftigen Ergebnisse des Würfelns können sich nur auf Tendenzen gründen, die wir in den Ergebnissen des Experiments wahrnehmen. D.h., das Experiment kann nur die Erwartung begründen, daß es    so   weitergehen wird, wie (es?) das Experiment gezeigt hat. Aber wir können nicht erwarten, daß das Experiment, wenn fortgesetzt, nun Ergebnisse liefern wird, die mehr als die des wirklich ausgeführten Experiments mit einer vorgefaßten Meinung über seinen Verlauf übereinstimmen. Wenn ich also z.B. Kopf und Adler werfe und in den Ergebnissen des Experiments keine Tendenz der Kopf- und Adler-Zahlen finde, sich weiter einander zu nähern, so gibt das Experiment mir keinen Grund zur Annahme, daß seine Fortsetzung eine solche Annäherung zeigen wird. Ja die Erwartung dieser Annäherung muß sich selbst auf einen bestimmten Zeitpunkt beziehen, denn man kann nicht sagen, man erwarte, daß ein Ereignis    einmal   — in der unendlichen Zukunft — eintreten werde.


     


     Alle “begründete Erwartung” ist Erwartung, daß eine bis jetzt beobachtete Regel weiterhin| // weiter // gelten wird.      (Die Regel aber muß beobachtet worden sein und kann nicht selbst wieder bloß erwartet werden.)


     

     Die Logik der Wahrscheinlichkeit hat es mit dem Zustand der Erwartung nur soweit zu tun, wie die Logik überhaupt, mit dem Denken.


     

Von der Lichtquelle Q wird ein Lichtstrahl ausgesandt, der die Scheibe AB trifft, dort einen Lichtpunkt erzeugt und dann die Scheibe AC trifft. Wir haben nun keinen Grund zur Annahme, der Lichtpunkt auf AB werde rechts von der Mitte M liegen, noch zur entgegengesetzten; aber auch keinen Grund anzunehmen, der Lichtpunkt auf AC werde auf    der   und nicht auf jener Seite von der Mitte m liegen.| // Wir haben nun keinen Grund, anzunehmen, daß der Lichtpunkt auf AB eher auf der einen Seite der Mitte M, als auf der andern liegen wird; aber auch keinen Grund, anzunehmen, der Lichtpunkt auf AC werde auf der einen und nicht auf der andern Seite der Mitte m liegen. // Das gibt also widersprechende Wahrscheinlichkeiten. Wenn ich nun eine Annahme über den Grad der Wahrscheinlichkeiten mache, daß der eine Lichtpunkt im Stück AM liegt,

— wie wird diese Annahme verifiziert. Wir denken| meinen doch, durch einen Häufigkeitsversuch. Angenommen nun, dieser bestätigt die Auffassung, daß die Wahrscheinlichkeiten für das Stück AM und BM gleich sind (also für Am und Cm verschieden), so ist sie damit als die richtige erkannt und erweist sich also als eine physikalische Hypothese. Die geometrische Konstruktion zeigt nur, daß die Gleichheit der Strecken AM und BM    kein   Grund zur Annahme gleicher Wahrscheinlichkeit war.


     


     Wenn ich annehme, die Messung ergebe, daß der Würfel genau und homogen ist, und die Ziffern auf seinen Flächen die Wurfresultate nicht beeinflussen, und die Hand, die ihn wirft, bewegt sich ohne bestimmte Regel; folgt daraus die| // eine // durchschnittlich gleichförmige Verteilung der Würfe 1 bis 6 unter den Wurfergebnissen? — Woraus sollte sie hervorgehen? Daß der Würfel genau und homogen ist, kann doch keine    durchschnittlich gleichförmige   Verteilung von Resultaten begründen. (Die Voraussetzung ist sozusagen homogen, die Folgerung wäre gesprenkelt.) Und über die Bewegung beim Werfen haben wir ja keine Annahme gemacht. (Mit der Gleichheit der beiden Heubündel hat man zwar begründet, daß der Esel in ihrer Mitte verhungern (werde); aber nicht, daß er ungefähr gleich oft von jedem fressen werde.) — Mit unseren Annahmen ist es auch vollkommen vereinbar, daß mit dem Würfel 100 Einser nacheinander geworfen werden, wenn Reibung, Handbewegung, Luftwiderstand so zusammentreffen. Die Erfahrung, daß das nie geschieht, ist eine, die diese Faktoren betrifft| // ist eine diese Faktoren betreffende //. Und die Vermutung der gleichmäßigen Verteilung der Wurfergebnisse ist eine Vermutung über das Arbeiten dieser Faktoren| // Einflüsse//.      Wenn man sagt, ein gleicharmiger Hebel, auf den symmetrische Kräfte wirken, müsse in Ruhe bleiben, weil keine Ursache vorhanden ist, weshalb er sich eher auf die eine als auf die andre Seite neigen sollte, so heißt das nur, daß, wenn wir gleiche Hebelarme und symmetrische Kräfte

konstatiert haben und nun der Hebel sich nach der einen Seite neigt, wir dies aus den uns bekannten — oder von uns angenommenen — Voraussetzungen nicht erklären können. (Die Form, die wir “Erklärung” nennen, muß auch asymmetrisch sein; wie die Operation, ?—die aus “a+b” “2a+3b” macht—?.) Wohl aber können wir die andauernde Ruhe des Hebels aus unsern Voraussetzungen erklären. — Aber auch eine schwingende Bewegung, die durchschnittlich gleich oft von der Mitte| // Mittellage // nach rechts und nach links gerichtet ist? Die schwingende Bewegung nicht, denn in der ist ja wieder Asymmetrie. Nur die Symmetrie in dieser Asymmetrie. Hätte sich der Hebel gleichförmig nach rechts gedreht, so könnte man analog sagen: Mit der Symmetrie der Bedingungen kann ich die Gleichförmigkeit der Bewegung, aber nicht ihre Richtung erklären.      Eine Ungleichförmigkeit der Verteilung der Wurfresultate ist mit der Symmetrie des Würfels    nicht   zu erklären. Und nur insofern erklärt diese Symmetrie die Gleichförmigkeit der Verteilung. — Denn man kann natürlich sagen: Wenn die Ziffern auf den Würfelflächen keine Wirkung haben, dann kann ihre Verschiedenheit nicht eine Ungleichförmigkeit der Verteilung erklären; und gleiche Umstände können selbstverständlich nicht Verschiedenheiten erklären; soweit also könnte man auf eine Gleichförmigkeit schließen. Aber woher dann überhaupt verschiedene Wurfresultate? Gewiß, was diese| // Was diese // erklärt, muß nun auch ihre durchschnittliche Gleichförmigkeit erklären. Die Regelmäßigkeit des Würfels stört nur eben diese Gleichförmigkeit nicht.


     

     Angenommen, Einer der täglich im Spiel würfelt, würde etwa eine Woche lang nichts als Einser werfen, und zwar mit Würfeln, die nach allen anderen Arten| // Methoden // der Untersuchung| // Prüfung // sich als gut erweisen, und wenn ein Andrer sie wirft, auch die gewöhnlichen Resultate geben| // liefern //. Hat er nun Grund, hier ein Naturgesetz anzu

nehmen, dem gemäß er immer Einser wirft| // werfen muß//; hat er Grund zu glauben, daß das nun so weiter gehen wird, — oder (vielmehr) Grund anzunehmen, daß diese Regelmäßigkeit nicht lange mehr andauern kann| // wird//? Hat er also Grund das Spiel aufzugeben, da es sich gezeigt hat, daß er nur Einser werfen kann; oder weiterzuspielen, da es jetzt nur um so wahrscheinlicher ist, daß er beim nächsten Wurf eine höhere Zahl werfen wird? — In Wirklichkeit wird er sich weigern, die Regelmäßigkeit als ein Naturgesetz anzuerkennen; zum mindesten wird sie lang andauern müssen, ehe er diese Auffassung in Betracht zieht. Aber warum? — “Ich glaube, weil so viel frühere Erfahrung seines Lebens gegen ein solches Gesetz spricht, die alle sozusagen — erst überwunden werden muß, ehe wir eine ganz neue Betrachtungsweise annehmen.


     

     Wenn wir aus der relativen Häufigkeit eines Ereignisses auf seine relative Häufigkeit in der Zukunft Schlüsse ziehen, so können wir das natürlich nur nach der bisher tatsächlich beobachteten Häufigkeit tun. Und nicht nach einer, die wir aus der beobachteten durch irgend einen Prozeß der Wahrscheinlichkeitsrechnung erhalten haben. Denn die berechnete Wahrscheinlichkeit stimmt    mit jeder beliebigen   tatsächlich beobachteten Häufigkeit überein, da sie die Zeit offen läßt.


     

     Wenn sich der Spieler, oder die Versicherungsgesellschaft, nach der Wahrscheinlichkeit richten, so richten sie sich nicht nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung, denn nach dieser allein kann man sich nicht richten, da,    was immer   geschieht, mit ihr in Übereinstimmung zu bringen ist; sondern die Versicherungsgesellschaft richtet sich nach einer tatsächlich beobachteten Häufigkeit. Und zwar ist das natürlich eine absolute Häufigkeit.


     


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     Der Begriff “ungefähr”


     Problem des ‘Sandhaufens’

























     

     Träte nun auch bei dem Experiment zur Bestimmung der Grenzen kein Schwanken ein, so lange wir tatsächlich das Experiment weiterführen, so müssen wir doch damit einmal aufhören und das Ergebnis wird immer nur sein, daß eine gewisse Länge noch erlaubt, eine andere schon unerlaubt ist. Hier führt uns wieder die|eine falsche Vorstellung vom Unendlichen irre, wenn wir den Prozeß| // wenn wir die endlose Möglichkeit dieses Prozesses // dieser Untersuchung uns abgeschlossen denken und nun von einem Grenzpunkt reden, als gäbe es hier ein Gesetz, eine geometrische Konstruktion, der der Grenzpunkt entspräche.

     



      Denken wir uns folgendes psychologisches Experiment: Wir zeigen dem Subjekt zwei Linien G1, G2, durch welche quer die Gerade A gezogen ist. Das Stück dieser Geraden, welches zwischen G1 und G2 liegt, werde ich die Strecke a nennen. Wir ziehen nun in beliebiger Entfer nung von a und parallel dazu b und fragen, ob er die Strecke b größer sieht als a, oder die beiden Längen nicht mehr unterscheidet. Er antwortet, b erscheine größer als a. Darauf nähern wir uns a, indem wir die Distanz von a zu b mit unsern Meßinstrumenten halbieren und ziehen c. “Siehst Du c größer als a?” — “Ja”. Wir halbieren die Distanz c—a und ziehen d. “Siehst Du d größer als a?” — “Ja”. Wir halbieren a—d. “Siehst Du e größer als a?” — “Nein”. Wir halbieren daher e—d. “Siehst Du f größer als e?” — “Ja”. Wir halbieren also e—f und ziehen h. Wir könnten uns so auch von der linken Seite der Strecke a nähern, und dann sagen, daß einer gesehenen Länge a im euklidischen Raum nicht    eine   Länge, sondern ein Intervall von Längen entspricht, und in ähnlicher Weise    einer   gesehenen Lage eines Strichs (etwa des Zeigers eines Instruments) ein Intervall von Lagen im euklidischen Raum: aber dieses Intervall hat nicht scharfe Grenzen. Das heißt: es ist nicht von Punkten begrenzt, sondern von konvergierenden Intervallen, die nicht gegen einen Punkt konvergieren. (Wie

die Reihe der Dualbrüche, die wir durch Werfen von Kopf und Adler erzeugen.) Das Charakteristische zweier Intervalle, die so nicht durch Punkte sondern    unscharf   begrenzt sind, ist, daß auf die Frage, ob sie einander übergreifen oder getrennt voneinander liegen, in gewissen Fällen die Antwort lautet: “unentschieden”. Und daß die Frage, ob sie einander berühren, einen Endpunkt miteinander gemein haben, immer sinnlos ist, da sie ja keine Endpunkte haben. Man könnte aber sagen: sie haben    vorläufige   Endpunkte. In dem Sinne, in welchem die Entwicklung von π ein vorläufiges Ende hat. An dieser Eigenschaft des ‘unscharfen’ Intervalls ist natürlich nichts geheimnisvolles, sondern das etwas Paradoxe klärt sich durch die doppelte Verwendung des Wortes “Intervall” auf.      Es ist dies der gleiche Fall, wie der der doppelten Verwendung des Wortes “Schach”, wenn es einmal die Gesamtheit der jetzt geltenden Schachregeln bedeutet, ein andermal: das Spiel, welches N.N. in Persien erfunden hat und welches sich so und so entwickelt hat. In einem Fall ist es unsinnig, von einer Änderung| // Entwicklung // der Schachregeln zu reden, im andern Fall nicht. Wir können “Länge einer gemessenen Strecke” entweder das nennen, was bei einer bestimmten Messung, die ich heute um 5 Uhr durchführe, herauskommt, — dann gibt es für diese Längenangabe kein “± etc.” —, oder etwas, dem sich Messungen nähern etc.; in den zwei Fällen wird das Wort “Länge” mit ganz verschiedener Grammatik gebraucht. Und ebenso das Wort “Intervall”, wenn ich einmal etwas Fertiges, einmal etwas sich Entwickelndes ein Intervall nenne.
I) die Intervalle liegen getrennt
II) sie liegen getrennt und berühren
      sich vorläufig
III) unentschieden
IV) unentschieden
V) unentschieden
VI) sie übergreifen
VII) sie übergreifen

Wir können uns aber nicht wundern, daß nun ein Intervall so seltsame Eigenschaften haben soll: da wir eben das Wort “Intervall” jetzt in einem nicht gewöhnlichen Sinn gebrauchen. Und wir können nicht sagen, wir haben neue Eigenschaften gewisser Intervalle entdeckt. Sowenig wie wir neue Eigenschaften des Schachkönigs entdecken würden, wenn wir die Regeln des Spiels änderten, aber die Bezeichnung “Schach” und “König” beibehielten. (Vergl. dagegen Brouwer, über das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten.)      Jener Versuch ergibt also wesentlich, was wir ein “unscharfes” Intervall genannt haben; dagegen wären natürlich andere Experimente möglich| // denkbar//, die statt dessen ein scharfes Intervall ergeben. Denken wir etwa, wir bewegten ein Lineal von der Anfangsstellung b, und parallel zu dieser, gegen a hin, bis in unserm Subjekt irgend eine bestimmte Reaktion einträte: dann könnten wir den Punkt, an dem die Reaktion beginnt, die Grenze unseres Streifens nennen. — So könnten wir natürlich auch ein Wägungsresultat “das Gewicht eines Körpers” nennen und es gäbe dann in diesem Sinn eine absolut genaue Wägung, d.i. eine, deren Resultat nicht die Form “G ± g” hat. Wir haben damit unsere Ausdrucksweise geändert, und müssen nun sagen, daß das Gewicht des Körpers schwankt und zwar nach einem uns unbekannten Gesetz. (Die Unterscheidung zwischen “absolut genauer” Wägung und “wesentlich ungenauer” Wägung ist eine grammatische| Der Unterschied zwischen “absolut genauer” Wägung und “wesentlich ungenauer” Wägung ist ein grammatischer und bezieht sich auf zwei verschiedene Bedeutungen des Ausdrucks “Ergebnis der Wägung”.)


     


     Die Unbestimmtheit des Wortes “Haufen”. Ich könnte definieren: ein Körper von gewisser Form und Konsistenz etc. sei ein Haufe, wenn sein Volumen K m3 beträgt, oder mehr; was darunter liegt, will ich ein Häufchen nennen. Dann gibt es kein größtes Häufchen; das heißt: dann ist es sinnlos, von dem “größten Häufchen” zu reden. Umgekehrt könnte ich bestimmen: Haufe solle alles das sein, was größer als K m3 ist, und dann

hätte der Ausdruck “der kleinste Haufe” keine Bedeutung. Ist aber diese Unterscheidung nicht müßig? Gewiß, — wenn wir unter dem Volumen ein Messungsresultat im gewöhnlichen Sinne verstehen; denn dieses Resultat hat die Form “V ± v”.| // Gewiß, — wenn wir unter dem Resultat der Messung des Volumens einen Ausdruck von der Form “V ± v” verstehen.// Sonst aber könnte die| // wäre diese // Unterscheidung so unbrauchbar sein, wie| // Unterscheidung nicht müßiger sein als // die, zwischen einem Schock Äpfel und 61 Äpfeln.




     



      Das augenblickliche Verstehn & die Anwendung des Worts in der Zeit





















     


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Ein Wort verstehen = es anwenden können.
Eine Sprache verstehen: Einen Kalkül beherrschen.








     


Ist nicht das, was mich rechtfertigt, nur, daß ich mich erinnere, früher Schach gespielt zu haben? Und etwa, daß ich, aufgefordert zur Probe die Regeln im Geiste durchfliegen kann?
↔





     



     Etwas tun    können   hat ja eben jenen schattenhaften Charakter, das heißt, es erscheint wie| als ein Schatten des wirklichen| tatsächlichen Tuns, gerade wie der Sinn des Satzes als Schatten seiner Verifikation| // als Schatten einer Tatsache // erscheint; oder das Verständnis des Befehles als Schatten seiner Ausführung. Der Befehl “wirft, gleichsam, seinen Schatten schon voraus”, oder, im Befehl “wirft die Tat ihren Schatten voraus”. — Die-

ser Schatten aber,    was immer   er sein mag, ist, was er ist, und nicht das Ereignis. Er ist in sich selbst abgeschlossen und weist nicht weiter als er selbst reicht.


     


     Kannst Du das Alphabet? Bist Du sicher? — Ja! — Ist das damit vereinbar, daß Du versuchen wirst es herzusagen und stecken bleiben wirst? —    Ja  !

     


     Das ist doch der gleiche Fall wie: “Kannst Du Deinen Arm heben?” In welchem Falle würde ich dies verneinen müssen, oder bezweifeln? Solche Fälle sind leicht zu denken.      Als Bestätigung dessen, daß wir den Arm heben können, sehen wir etwa ein Zucken mit den Muskeln an, oder eine kleine Bewegung des Arms. Oder die geforderte| Die Bestätigung dessen, daß wir den Arm heben können, sehen wir etwa in einem Zucken mit den Muskeln, oder einer kleinen Bewegung des Arms. Oder in der gefordeten Bewegung selbst, jetzt ausgeführt, als Kriterium dafür, daß ich sie gleich darauf ausführen    kann  .


     


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     Wie begleitet das Verstehen des Satzes das Aussprechen oder Hören des Satzes?

     





















     Das schwierigste Problem scheint der Gegensatz, das Verhältnis, zu sein zwischen dem Operieren mit der Sprache in der Zeit| // im Lauf der Zeit // und dem momentanen Erfassen des Satzes.


     

     Aber    wann   erfassen oder verstehen wir den Satz?!    Nachdem   wir ihn ausgesprochen haben? — Und wenn, während wir ihn aussprechen; ist das Verstehen ein artikulierter Vorgang, wie das Bilden des Satzes, oder ein unartikulierter? Und wenn ein artikulierter: muß er nicht projektiv mit dem andern verbunden sein? Denn sonst wäre seine Artikulation von der ersten unabhängig.


     


     “Er sagt das, und    meint   es”: Vergleiche das einerseits mit: “er sagt das, und schreibt    es   nieder”; anderseits mit:

“er schreibt das und unterschreibt    es  ”.






     


     Man würde etwa (so?) sagen: Ich sage ja nicht nur “zeichne einen Kreis”, sondern ich wünsche doch, daß der Andre etwas tut. (Gewiß!) Und dieses Tun ist doch etwas anderes als das Sagen, und ist eben das Außerhalb worauf ich weise| // worauf der Satz weist//.


     


     Das Verstehen eines Satzes der Wortsprache ist dem Verstehen eines musikalischen Themas (oder Musikstückes) viel verwandter, als man glaubt. Und zwar so, daß das Verstehen des sprachlichen Satzes näher als man denkt dem liegt, was man gewöhnlich das Verständnis des musikalischen Ausdrucks nennt. — Warum pfeife ich das gerade    so  ? warum bringe ich den Wechsel der Stärke und des Zeitmaßes gerade auf dieses ganz bestimmte ? Ich möchte sagen: “weil ich weiß, was das alles heißt” — aber was heißt es denn? — Ich wüßte es nicht zu sagen, außer durch eine Übersetzung in einen Vorgang vom gleichen Rhythmus.




     

     Wenn nun “das Wort ‘gelb’ verstehen” heißt, es anwenden können, so besteht| ist die gleiche Frage: Wann    kannst   Du es anwenden. Redest Du von einer Disposition? Ist es eine Vermutung?


     


     Augustinus: “   Wann   messe ich einen Zeitraum? Ähnlich meiner Frage:    Wann kann   ich Schach spielen.


     


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Zeigt sich die Bedeutung eines Wortes in der Zeit? Wie der tatsächliche Freiheitsgrad eines Mechanismus.
     Enthüllt sich die Bedeutung des Worts erst nach & nach wie seine Anwendung fortschreitet?







     


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Begleitet eine Kenntnis der grammatischen Regeln den Ausdruck des Satzes, wenn wir ihn — seine Worte — verstehn?




     


     Was heißt die Frage: Ist das dasselbe ‘non’, für welches die Regel ~~~p = ~p gilt?


     


     “Meinst Du das ‘non’ so, daß ich aus nonp ~~~p schließen kann?”



     



      Wenn das Schachspiel durch seine Regeln definiert ist, so gehören diese Regeln zur Grammatik des Wortes „Schach”.
     Kann man eine Intention haben, ohne sie auszudrücken? Kann man die Absicht haben, Schach zu spielen (in dem Sinne, in welchem man apodiktisch sagt “ich hatte die Absicht Schach zu spielen;    ich muß      es doch wissen  ”), ohne einen Ausdruck dieser Absicht? — Könnte man da nicht fragen: Woher weißt Du, daß das, was Du hattest,    diese   Absicht war?      Ist die Absicht Schach zu spielen etwa wie die Vorliebe für das Spiel, oder für eine Person. Wo? man auch fragen könnte: Hast Du diese Vorliebe die ganze Zeit oder etc., und die Antwort ist, daß “eine Vorliebe haben” gewisse Handlungen, Gedanken und Gefühle einschließt und andere ausschließt.


     

     Muß ich nicht sagen: “Ich weiß, daß ich die Absicht hatte,    denn   ich habe mir gedacht ‘jetzt komme ich endlich zum Schachspielen’” oder etc. etc..


     

     Es würde sich mit der Absicht in diesem Sinne auch vollkommen vertragen, // wenn // ich beim ersten Zug darauf käme, daß ich alle Schachregeln vergessen habe, und zwar so, daß ich nicht etwa sagen könnte “ja, als ich den Vorsatz hatte| // faßte//, da hatte| // habe // ich sie noch gewußt”.


     


     Es wäre wichtig, den Fehler allgemein auszudrücken, den ich in allen diesen Betrachtungen zu machen neige| // geneigt bin//. Die falsche Analogie, aus der er entspringt.


     


     Ich glaube, jener Fehler liegt in der Idee, daß die Bedeutung eines Wortes eine Vorstellung ist, die das Wort begleitet.      Und diese Konzeption hat wieder mit der des Bewußt-Seins zu tun.| // Und diese Konzeption steht wieder mit der des Bewußt-Seins in Verbindung.// Dessen, was ich immer “das Primäre” nannte.














     

     Und so geht es in allen solchen Fällen. Wenn etwa jemand sagt: “aber ich meine doch wirklich, daß der Andere Zahnschmerzen hat; nicht, daß er sich bloß so benimmt”. Immer muß man antworten: “Gewiß” und zugeben, daß auch wir diese Unterscheidung machen müssen.| //daß diese Unterscheidung besteht.//

     



     “Jetzt sehe ich's erst, er zeigt immer auf die Leute, die dort vorübergehen”. Er hat ein System verstanden: wie Einer, dem ich die Ziffern 1, 4, 9, 16 zeige und der sagt “ich versteh' jetzt das System, ich kann jetzt selbst weiterschreiben”. Aber was ist diesem Menschen geschehen, als er das System plötzlich verstand?




     


     Gewiß, der Vorgang des “jetzt versteh' ich …!” ist ein ganz spezifischer, aber es    ist   eben auch ein ganz spezifischer Vorgang, wenn wir auf einen bekannten Kalkül stoßen, wenn wir “weiter wissen”.      Aber dieses Weiter-Wissen ist eben auch    diskursiv   (nicht intuitiv).



     




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     Die grammatischen Regeln — & die Bedeutung eines Wortes.
     Ist die Bedeutung, wenn wir sie verstehen, ‘auf einmal’ erfaßt; & in den grammatischen Regeln gleichsam ausgebreitet?

     

















     Und doch ist noch etwas unklar| // nicht klar //, was sich z.B. in der dreifachen Verwendung des Wortes ‘ist’ zeigt. Denn, was heißt es, wenn ich sage, daß im Satz ‘die Rose ist rot’ das ‘ist’ eine andere Bedeutung hat, als in ‘zweimal zwei ist vier’? Wenn man sagt, es heiße, daß verschiedene Regeln von diesen beiden Wörtern gelten, so muß man zunächst sagen, daß wir hier nur    ein   Wort haben. Zu sagen aber: von diesem gelten in einem Fall    die   Regeln im anderen jene, ist Unsinn.      Und das hängt wieder mit der Frage zusammen, wie wir uns denn aller Regeln bewußt sind, wenn wir ein Wort in einer bestimmten Bedeutung gebrauchen, und doch die Regeln die Bedeutung ausmachen?



































     

     Und doch kann man eben nur sagen, der andere Satz ist nicht mit diesem ausgesprochen, auch nicht schattenhaft. (Und wird vielleicht nie aus-
gesprochen werden.)


     


     Statt der Betrachtung der Negation, könnte ich auch die eines Pfeiles setzen und z.B. sagen: wenn ich ihn zweimal um 180˚ drehe, zeigt er wieder, wohin er jetzt zeigt: welcher Satz dem ~~p = p entspricht. Wie ist es nun hier mit der Darstellung des Wesens dieses Pfeils durch die Sprache? Jener Satz muß doch unmittelbar von diesem Wesen abgeleitet| // abgelesen // sein und es also darstellen.      Oder nehmen wir den Fall eines Quadrats und eines Rechtecks und die Sätze, daß das Quadrat durch eine Vierteldrehung mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann; das Rechteck aber erst durch eine halbe Drehung.


     


     Es frägt sich: Was ist das für ein Satz “das Wort ‘ist’ in ‘die Rose ist rot’ ist dasselbe, wie in ‘das Buch ist rot’, aber nicht dasselbe, wie in ‘zweimal zwei ist vier’”? Man kann nicht antworten, es heiße, verschiedene Regeln gelten von den beiden Wörtern, denn damit geht man im Zirkel. Wohl aber heißt es, das Wort ist in seinen verschiedenen Verbindungen durch zwei Zeichen ersetzbar, die nicht für einander einzusetzen sind. Ersetze ich dagegen das Wort in den beiden ersten Sätzen durch zwei verschiedene Wörter, so darf ich sie für einander einsetzen.









     



     Jedes Zeichen der Negation ist gleichwertig jedem andern, denn “
p!
W!
F!
F
W
ist ebenso ein Komplex von Strichen, wie das Wort “nicht”, und zur Negation wird es nur durch die Art, wie es ‘   wirkt  ’. Hier aber ist nicht die Wirkung im Sinne der Psychologie (das Wort ‘Wirkung’ also nicht kausal) gemeint, sondern die Form seiner Wirkung.



     


     Du sagst, das Hinweisen auf einen roten Gegenstand ist das primäre Zeichen für ‘rot’. Aber das Hinweisen auf einen roten Gegenstand ist nicht mehr, als die bestimmte Handbewegung gegen einen roten Gegenstand, und ist vorläufig gar kein Zeichen. Wenn Du sagst, Du meinst: das Hinweisen auf den roten Gegenstand    als Zeichen verstanden   — so sage ich: das Verständnis, auf das es uns ankommt, ist kein Vorgang, der das Hindeuten begleitet (etwa ein Vorgang im Gehirn) und wenn Du doch so einen Vorgang meinst, so ist dieser an sich wieder kein Zeichen. ((Die Idee ist hier immer wieder, daß die Meinung, die Interpretation, ein Vorgang sei, der das Hinweisen begleitet und ihm sozusagen die Seele gibt (ohne welche es tot wäre). |Das scheint besonders dort so, wo ein Zeichen die ganze Grammatik zusammenzufassen scheint, daß wir sie aus ihm ableiten können, und es scheint, daß sie in ihm enthalten wäre, wie die Perlenschnur in einer Schachtel und wir sie nur herausziehen müßten. (Aber

dieses Bild ist es eben, was| welches uns irreführt.) Als wäre das Verständnis ein momentanes Erfassen von etwas, wovon später nur die Konsequenzen gezogen werden; und zwar so, daß diese Konsequenzen bereits in einem ideellen Sinn existieren, ehe sie gezogen wurden. Als ob also der Würfel schon die ganze Geometrie des Würfels enthielte und ich sie nun nur noch auszubreiten habe| hätte. Aber welcher Würfel? Der Gesichtswürfel, oder ein Eisenwürfel? Oder gibt es einen ideellen Würfel? — Offenbar schwebt uns der Vorgang vor, wenn wir aus einer Zeichnung, Vorstellung (oder einem Modell) Sätze der Geometrie ableiten. Aber welche Rolle spielt dabei| hier das Modell? Doch wohl die des Zeichens. Des Zeichens, welches eine bestimmte Verwendungsart hat und nur durch dieses bezeichnet.| mit welchem ein bestimmtes Spiel gespielt wird. Es ist allerdings interessant und merkwürdig, wie dieses Zeichen verwendet wird, wie wir, etwa, die Zeichnung des Würfels wieder und wieder bringen| verwenden mit immer anderen Zutaten. Einmal sind die Diagonalen gezogen, einmal Würfel aneinander gereiht, etc. etc.. Und es ist dieses Zeichen (   mit der Identität eines| des Zeichens  ), welches wir für jenen Würfel nehmen, in dem die geometrischen Gesetze bereits liegen. (Sie liegen in ihm so wenig, wie im Schachkönig die Dispositionen, in gewisser Weise benützt zu werden.) Die geometrischen Gesetze    konstituieren   den Begriff des Würfels (sie geben eine Konstitution, eine Verfassung). Was ich seinerzeit über den “Wortkörper” geschrieben habe, ist der klare Ausdruck des besprochenen Irrtums.))


     


Wesen der Sprache


     


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Lernen, Erklärung, der Sprache
Kann man die Sprache durch eine Erklärung gleichsam aufbauen, zum Funktionieren bringen?




















     



     Wenn ich also auch dem Schriftzug “p” den Namen A gebe und daher schreibe: „non-p = A ist falsch”, so hat das nur einen Sinn, d.h. die rechte Seite kann nur verstanden werden, wenn A für uns als    Satzzeichen   steht. Dann aber ist nichts gewonnen: zum mindesten keine    Erklärung   des Mechanismus der Negation.










     


     Das Wort ‘Teekanne’ hat doch Bedeutung; gewiß, im Gegensatz zum Worte ‘Abrakadabra’, nämlich in der deutschen Sprache. Aber wir könnten ihm natürlich auch eine Bedeutung geben; das wäre ein Akt ganz analog dem, wenn ich ein Täfelchen mit der Aufschrift ‘Teekanne’ an eine Teekanne hänge. Aber was habe ich hier anders als eine Teekanne mit einer Tafel, auf der Striche zu sehen sind? Also wieder nichts logisch Interessantes. Die Festsetzung der Bedeutung eines Wortes kann nie (wesentlich) anderer Art sein.

     



     Man kann fragen, “was hast Du gemeint” (etwa mit dieser Handbewegung oder auch: mit diesem Satz| diesen Worten). Aber auch “hast Du etwas mit dieser Handbewegung (mit diesen Worten) gemeint. Und die zweite Frage verhält sich zur ersten nicht, wie die Frage “bist Du verliebt” zu “wen liebst Du”.
     Auf die Frage “was hast Du gemeint?” kommt ein Satz ein weiteres Zeichen zur Antwort; und wäre dieser Satz gleich anfänglich statt des ersten nach dessen Sinn gefragt wurde ausgesprochen worden, so hätte doch gesagt werden können: “hast Du etwas mit diesen Worten gemeint” oder “hast Du diese Worte gemeint” (& nicht nur gesagt).

     


Ich kann fragen “wie meinst Du diesen Satz (dieses Zeichen) wie verstehst Du ihn”, oder ich darf so nicht fragen; & wenn ich dann dennoch |trotzdem vom Meinen und Verstehen rede so meine ich damit einen Vorgang der das Aussprechen, Hören, Schreiben, etc. des Satzes begleitet.

     

Wir können in diesem Sinne die Frage hast Du mich verstanden (etwa nach dem Befehl “geh' ins Nebenzimmer & hole einen Stuhl” apodiktisch bejahen oder verneinen.

     


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Wie wirkt die einmalige Erklärung der Sprache das Verständnis?

































     



     ((Ist es so, daß eine Erklärung, eine Tabelle, zuerst so gebraucht werden kann, daß man sie “nachschlägt”; daß man sie dann gleichsam im Kopf nachschlägt, d.h., sie sich vor das innere Auge ruft (oder dergleichen); und daß man endlich ohne diese Tabelle arbeitet, also so, als wäre sie nie da gewesen. In diesem letzten Fall spielt man also ein anderes Spiel. Denn es ist nun nicht so, daß jene Tabelle ja doch im Hintergrund steht und man immer auf sie zurückgreifen kann; sie ist aus unserm Spiel ausgeschieden und wenn ich auf sie ‘zurückgreife’, so tue ich, was der Erblindete tut, der etwa auf den Tastsinn zu-

rückgreift. Eine Erklärung ist das Anlegen| die Konstruktion |Anfertigung einer Tabelle und sie wird Geschichte, wenn ich die Tabelle nicht mehr benütze.| Eine Erklärung fertigt eine Tabelle an und sie wird zur Geschichte, wenn ich die Tabelle nicht mehr benütze. Ich muß unterscheiden zwischen den Fällen: wenn ich mich einmal nach einer Tabelle richte, und ein andermal in Übereinstimmung mit der Tabelle (der Regel, welche die Tabelle ausdrückt) handle, ohne die Tabelle zu benützen. — Die Regel, deren Erlernung uns veranlaßte, jetzt so und so zu handeln, ist als Ursache unserer Handlungsweise Geschichte und für uns ohne Interesse. Sofern sie aber eine allgemeine Beschreibung unserer Handlungsweise ist, ist sie eine Hypothese. Es ist die Hypothese, daß diese zwei Leute, die am |über dem Schachbrett sitzen , so und so handeln werden (wobei auch ein Verstoß gegen die Spielregeln unter die Hypothese fällt, denn diese sagt dann etwas darüber aus, wie sich die Beiden benehmen werden, wenn sie auf diesen Verstoß aufmerksam werden). Die Spieler können aber die Regel auch benützen, indem sie in jedem besonderen Fall nachschlagen, was zu tun ist; hier tritt die Regel in die Spielhandlung selbst ein und verhält sich zu ihr nicht, wie eine Hypothese zu ihrer Bestätigung. “Hier gibt es aber eine Schwierigkeit. Denn der Spieler, welcher ohne Benützung des Regelverzeichnisses spielt, ja, der nie eins gesehen hätte, könnte dennoch, wenn es verlangt würde, ein Regelverzeichnis anlegen und zwar nicht — behavioristisch — indem er durch wiederholte Beobachtung feststellte, wie er in diesem und in jenem Fall gehandelt hat| //handelt //, sondern, indem er, vor einem Zug stehend, sagt: ‘in diesem Fall    zieht man so  ’”. — Aber wenn das so ist, so zeigt es doch nur, daß er unter gewissen Umständen eine Regel aussprechen wird, nicht, daß er von ihr beim Zug expliziten Gebrauch gemacht hat. Daß er ein Regelverzeichnis anlegen würde, wenn man es verlangte| wird, wenn man es verlangt, ist eine Hypothese und wenn man eine Disposition, ein Vermögen, ein Regelverzeichnis anzulegen annimmt, so ist es eine psychische Disposition auf gleicher Stufe mit einer physiologischen. Wenn gesagt wird, diese Disposition

charakterisiert den Vorgang des Spiels, so charakterisiert sie ihn als einen psychischen oder physiologischen, was er tatsächlich ist. (Im im Studium des Symbolismus gibt es keinen Vordergrund und Hintergrund, nicht ein sichtbares| // greifbares// Zeichen und ein es begleitendes unsichtbares| // ungreifbares// Vermögen, oder Verständnis.)

     



     Wie wirkt nun die hinweisende Erklärung? Sie lehrt den Gebrauch eines Zeichens; und das Merkwürdige ist nur, daß sie ihn auch für die Fälle zu lehren scheint, in denen ein Zurückgehen auf das hinweisende Zeichen nicht möglich ist. Aber geschieht das nicht, indem wir, quasi, die in der hinweisenden Definition gelernten Regeln in bestimmter Weise transformieren? (Wenn z.B. der Mann, der mir vorgestellt wurde, abwesend ist und ich nun trotzdem seinen Namen gebrauche, dessen Gebrauch mir durch die Vorstellung — hinweisende Erklärung — erklärt wurde.) Wenn ich ihn nun brauche, z.B. der Mann, der mir vorgestellt wurde, abwesend ist und ich nun trotzdem seinen Namen gebrauche, dessen Gebrauch mir durch die Vorstellung — hinweisende Erklärung — erklärt wurde.) Wenn ich ihn nun brauche,    in wiefern mache ich da von der hinweisenden Erklärung, Gebrauch  ? Offenbar nicht in der Weise, in welcher ich in der Anwesenheit des Menschen von ihr Gebrauch machen konnte. Es gibt ein Spiel, worin ich immer statt des Namens das hinweisende Zeichen geben kann, und eins, in welchem das nicht mehr möglich ist. (Und wir müssen nur daran festhalten, daß die Erklärung, als fortwirkende    Ursache   unseres Gebrauchs von Zeichen, uns nicht interessiert, sondern nur, sofern wir von ihr in unserm Kalkül Gebrauch machen können.) Eine Schwierigkeit in der Erklärung des Gebrauchs der hinweisenden Definition macht es daß wir| Es macht eine Schwierigkeit in der Erklärung des Gebrauchs der hinweisenden Definition, daß wir verschiedene Kriterien der Identität anwenden (also das Wort “Identität” in verschiedener Weise gebrauchen), je nachdem, ob ein Ding sich vor unsern Augen bewegt, oder unserm Blick entschwindet und vielleicht wieder erscheint. Das ist wichtig, denn für den zweiten Fall gibt uns die hinweisende Definition eigentlich nur ein    Muster   und tut nur, was auch der Hinweis auf ein Bild tut. Das drückt sich darin aus, daß die gegebene hinweisende Erklärung nichts nützt, wenn wir vergessen haben, wie der Mensch, auf den gezeigt wurde, aussah. ))

     


Es ist möglich, daß Einer die Bedeutung des Wortes “blau” vergißt. Was hat er da vergessen?: Wie äußert sich das?
     Da gibt es verschiedene Fälle: Er zeigt etwa auf verschieden gefärbte Täfelchen & sagt: “ich weiß nicht mehr, welche von diesen man ‘blau’ nennt”. Oder aber, er weiß überhaupt nicht mehr, was es |das Wort bedeutet, und nur, daß es ein deutsches Wort ist [ein Wort der deutschen Sprache ist].
     Wenn wir ihn nun fragen: “weißt Du, was das Wort ‘blau’ bedeutet”, und er sagt “ja”; da konnte er verschiedene Kriterien anwenden, um sich “zu überzeugen”, daß er die Bedeutung wisse. (Denken wir wieder an die entsprechenden Kriterien dafür, daß er das Alphabet hersagen kann.) Vielleicht rief er sich ein blaues Vorstellungsbild vor die Seele, vielleicht sah er nach einem blauen Gegenstand im Zimmer, vielleicht fiel ihm das englische Wort “blue” ein, oder er dachte an einen “blauen <…> Fleck”, den er sich geholt hatte, etc., etc..
     Wenn nun gefragt würde: wie kann er sich denn zur Probe seines Verständnisses ein blaues Vorstellungsbild vor die

Seele rufen denn wie kann ihm das Wort ‘blau’ zeigen, welche Farbe aus dem Farbenkasten seiner Vorstellung er zu wählen hat, — so ist zu sagen, daß es sich eben so zeigt, daß das Bild vom Wählen, etwa, eines blauen Gegenstandes mittels eines blauen Mustertäfelchens hier unpassend|ungeeignet ist & der Vorgang eher mit dem zu vergleichen ist, wenn beim Drücken eines Knopfes, auf dem das Wort “blau” geschrieben steht, automatisch ein blaues Täfelchen vorspringt, oder, wenn der Mechanismus versagt, nicht vorspringt. Man könnte nun sagen: Der, welcher die Bedeutung des Wortes “blau” vergessen hat & aufgefordert wurde, einen blauen Gegenstand aus anderen auszuwählen fühlt beim Ansehen dieser Gegenstände, daß die Verbindung zwischen dem Wort „blau” und jenen Farben nicht mehr besteht (unterbrochen ist). Und die Verbindung wird wieder gemacht |hergestellt, wenn wir ihm die Erklärung des Wortes wiederholen. Aber wir konnten die Verbindung auf mannigfache Weise wieder herstellen: Wir konnten ihm einen blauen Gegenstand zeigen und die hinweisende Definition geben, oder ihm sagen

“erinnere Dich an Deinen ‘blauen Fleck’”, oder wir konnten ihm das Wort “blue” zuflüstern, etc. etc.. Und wenn ich sagte, wir konnten die Verbindung auf diese verschiedenen Arten herstellen, so liegt nun der Gedanke nahe, daß ich ein bestimmtes Phänomen, welches ich die Verbindung zwischen Wort und Farbe, oder das Verständnis des Wortes nenne, auf alle diese verschiedenen Arten hervorgerufen habe; wie ich etwa sage, daß ich die Enden zweier Drähte durch Drahtstücke verschiedener Länge und Materialien leitend miteinander verbinden kann. Aber von so einem Phänomen, etwa dem Entstehen eines blauen Vorstellungsbildes, muß keine Rede sein und das Verständnis wird sich dann dadurch zeigen, daß er etwa die blaue Kugel aus den andern tatsächlich auswählt, oder sagt, er könne es nun tun, wolle es aber nicht; etc., etc. etc.. Wir können dann immer ein Spiel festsetzen, welches    eine   Möglichkeit so eines Vorgangs darstellt, und müssen nicht vergessen, daß in Wirklichkeit hundert verschiedene und ihre Kreuzungen mit den Worten “die Bedeutung vergessen”, “sich an die Bedeutung erinnern”, “die Bedeutung kennen” beschrieben werden.

     



     
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Kann man etwas Rotes nach dem Wort “rot” suchen? braucht man ein Bild dazu?
Verschiedene Suchspiele.










































     


      Ich kann die Bedeutung der Zeichen, , durch die Tabelle erklären; aber diese Tabelle wieder erklären, indem ich sie so schreibe
     
und sie einer anderen entgegenstelle:
     


     


     Denken wir an das laute Lesen nach der Schrift (oder

das Schreiben nach dem Gehör). Wir könnten uns natürlich eine Art Tabelle denken, nach der wir uns dabei richten könnten. Aber wir richten uns nach keiner. Kein Akt des Gedächtnisses, nichts, vermittelt zwischen dem geschriebenen Zeichen und dem Laut.

     


     (Das Wort ‘rot’ ist ein Stein in einem Kalkül und das rote Täfelchen ist auch einer.)

     



      Es ist ein anderes Spiel, mit einem Täfelchen herumgehen, es an die Gegenstände anzulegen und so die Farbengleichheit zu prüfen; und anderseits: ohne ein solches Muster nach Wörtern in einer Wortsprache handeln.
     Man denkt nun: Ja, das erste Spiel verstehe ich; das ist ja ganz einfach: Der erste Schritt ist der, von einem geschriebenen Wort auf das gleiche geschriebene Wort des Musters; der zweite ist der Übergang von dem Wort auf dem Mustertäfelchen zu der Farbe auf dem    gleichen   Täfelchen; und der dritte, das Vergleichen von Farben. Jeden Schritt dieses Kalküls gehen wir also auf einer Brücke. (Wir sind geführt, der Schritt ist vorgezeichnet.)
     Aber wir sind doch hier nur insofern geführt, als wir uns führen lassen. Auf diese Weise    kann   ich alles, und    muß   ich nichts eine Führung nennen. — Und am Schluß tu ich, was ich tue und das ist Alles.
     Aber ein Unterschied bleibt doch: Wenn ich gefragt werde “warum nennst Du gerade diese Farbe ‘rot’”, so würde ich tatsächlich antworten: weil sie auf dem gleichen Täfelchen mit dem Wort ‘rot’ steht. Würde ich aber in dem zweiten Spiel gefragt “warum nennst Du diese Farbe ‘rot’ ”, so gäbe es darauf keine Antwort und die Frage hätte keinen Sinn. — Aber im ersten Spiel hat die Frage keinen Sinn: “warum nennst Du    die   Farbe ‘rot’, die auf dem gleichen Täfelchen mit dem Wort ‘rot’ steht”. So handle ich eben (und man kann dafür wohl eine Ursache angeben, aber keinen Grund). Das Gedächtnis ist jedenfalls nicht immer die letzte Instanz.
     Bedenke vor allem: Wie weiß man, daß das Täfelchen rot bleibt? Braucht man dazu wieder ein Bild? Und wie ist es mit dem? etc.. Woran erkennt er das Vorbild als Vorbild?


     

     (Ein Grund läßt sich nur    innerhalb   eines Spiels angeben.)

     


     Die Kette der Gründe kommt zu einem Ende und zwar dem Ende in diesem Spiel| // und zwar (an?) ? der Grenze des Spiels+ . //


     

     Man kann sagen: Die Regeln des Spiels sind die, die gelehrt werden, wenn das Spiel gelehrt wird. — Nun wird z.B. dem Menschen, der lesen lernt, tatsächlich gelehrt: das ist ein a, das ist ein e, etc.; also, könnte man sagen, gehören diese Regeln, gehört diese Tabelle mit zum Spiel. — Aber erstens: lehrt man denn auch den Gebrauch dieser Tabelle? und    könnte   man ihn, anderseits, nicht lehren? Und zweitens kann doch das Spiel    wirklich   auf zwei verschiedene Arten gespielt werden.
     Man kann nun fragen: ist es denn aber auch noch ein Spiel, wenn Einer die Buchstaben abbc sieht und    irgend etwas   macht? Und wo hört das Spiel auf, und wo fängt es an?
     Die Antwort ist natürlich: Spiel ist es, wenn es nach einer Regel vor sich geht. Aber was ist noch eine Regel und was keine mehr?
     Eine Regel kann ich nicht anders geben, als durch ihren Ausdruck; denn auch Beispiele, wenn sie Beispiele sein sollen, sind ein Ausdruck für die Regel, wie jeder andre.
     Wenn ich also sage: Spiel nenne ich es nur, wenn es einer Regel gemäß geschieht und die Regel ist eine Tabelle, so kann ich nicht die Verwendungsart| // die Art des Gebrauches // dieser Tabelle garantieren, denn ich kann sie nur durch eine weitere Tabelle festlegen, oder durch Beispiele. Diese Beispiele tragen nicht weiter, als sie selbst gehen| // reichen // und die zweite Tabelle ist im gleichen Fall wie die erste.
     Ich könnte auch sagen: was ist das Schachspiel andres (oder was ist vom Schachspiel andres vorhanden), als Regelverzeichnisse (gesprochen, geschrieben, etc.) und die Beschreibung einer Anzahl von Schachpartien?
     Es steht mir (danach) natürlich frei, ‘Spielregel’ nur ein Ding von bestimmt festgelegter Form zu nennen.

     


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„Die Beziehung| Verbindung zwischen Sprache & Wirklichkeit” ist durch die Worterklärungen hergestellt| gemacht, welche wieder zur Sprachlehre gehören: So daß die Sprache in sich geschlossen, autonom, bleibt.






















     


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Die Sprache nicht als Einrichtung definiert, die einen bestimmten Zweck erfüllt.

     Die Grammatik kein Mechanismus, der durch seinen Zweck gerechtfertigt ist.


















     


     Aber wie ist es: Ich gehe diesen Weg, um dorthin zu kommen; ich drehe den Hahn auf, um Wasser zu erhalten, ich winke, damit jemand zu mir kommt und endlich teile ich ihm meinen Wunsch mit, damit er ihn erfüllt! ((D.h.: War also die Mitteilung meines Wunsches nicht nur das Ziehen eines Hebels und der Sinn meiner Mitteilung ihr Zweck?))


     

     Aber was geht vor sich, wenn ich den Hahn aufdrehe,    damit   Wasser herausfließt? Was geschieht, ist, daß ich den Hahn aufdrehe, und daß dann Wasser herauskommt, oder nicht. Was geschieht, ist also, daß ich den Hahn aufdrehe. —

Was auf das Wort “damit” folgt, die Absicht, ist darin nicht enthalten. Ist sie vorhanden, so muß sie ausgedrückt sein und sie kann nur dann bereits durch das Aufdrehen des Hahnes ausgedrückt sein, wenn das Teil einer Sprache ist.
















     



     
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Die Sprache funktioniert als Sprache nur durch die Regeln nach denen wir uns in ihrem Gebrauch richten, wie das Spiel nur durch seine Regeln ein Spiel ist.





















     

     Muß denn nicht die Regel der Sprache — daß also dieses Zeichen    das   bedeutet — irgendwo niedergelegt sein?
     
     Freilich auch:    Mehr   als die Regel niederlegen, kann ich nicht.
      Ist die Regel niedergelegt, so ist es eben eine andere Sprache, als wenn sie nicht niedergelegt ist.










     


     ‘Ich verstehe diese Worte’ (die ich etwa zu mir selbst sage), ‘ich meine etwas damit’, ‘sie haben einen Sinn’ muß immer dasselbe heißen, wie: ‘sie sind nicht ad hoc erfundene Laute, sondern Zeichen aus einem System’. Ich spiele ein Spiel mit ihnen .



     


     Denn, wenn wir einen Befehl befolgen, so deuten wir die Worte nicht willkürlich.
     D.h. wieder, wir müssen die Unterscheidung anerkennen zwischen dem ‘Befolgen eines Befehls’ und einem ‘willkürlichen Zuordnen einer Handlung’.



     


     Sage ich jemandem “bringe eine rote Blume” und er bringt eine, und nun frage ich “warum hast Du mir eine von dieser Farbe gebracht?” — und er: “diese Farbe nenne ich| heißt doch ‘rot’”: so ist dies Letzte ein Satz der Grammatik. Er rechtfertigt eine Anwendung des Worts.


     

     Fehlt dieser Satz| // diese Regel//, so ist die Grammatik des Worts (seine Bedeutung) eine andere.




     


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     Funktionieren des Satzes an einem Sprachspiel erläutert.























     


     Ein einfaches Sprachspiel ist z.B. dieses: Man spricht zu einem Kind (es kann aber auch ein Erwachsener sein), indem man das elektrische Licht in einem Raum andreht: “Licht”, dann, indem man es abdreht: “Finster”; und tut das etwa mehrere Male mit Betonung und variierenden Zeitlängen. Dann geht man etwa in das Nebenzimmer, dreht von dort aus das Licht im ersten an und bringt das Kind dazu, daß es mitteilt, ob es licht oder finster ist.| // daß es mitteilt: “Licht”, oder “Finster”.//
     Soll ich da nun “Licht” und “Finster” ‘Sätze’ nennen? Nun, wie ich will. — Und wie ist es mit der ‘Übereinstimmung mit der Wirklichkeit’?

     

     Wenn ich bestimmte einfache Spiele beschreibe, so geschieht es nicht, um mit ihnen nach und nach die wirklichen Vorgänge der ausgebildeten Sprache — oder des Denkens — aufzubauen, was nur zu Ungerechtigkeiten führt, — sondern ich stelle die Spiele als solche hin, und lasse sie ihre aufklärende Wirkung auf die besonderen Probleme ausstrahlen.

     


     Man könnte eben sagen: “die Worte ‘Licht’, ‘Finster’ sind hier als Sätze gemeint und sind nicht einfach Wörter”. Das heißt, sie sind hier nicht so gebraucht, wie wir sie in der gewöhnlichen Sprache gebrauchen (obwohl wir tatsächlich auch oft    so   sprechen). Aber wenn ich plötzlich ohne sichtbaren Anlaß das Wort “Licht” isoliert ausspreche, so wird man allerdings sagen: “was heißt das? das ist doch kein Satz” oder: “Du sagst ‘Licht’, nun was soll's damit?” Das Aussprechen des Wortes “Licht” ist in diesem Fall sozusagen noch ?— kein (kompletter) Zug des Spiels, das, wie wir annehmen, der Andre spielt.


     

     Wie unterscheidet sich nun “Licht”, wenn es den Wunsch nach Licht ausdrückt, von “Licht”, wenn es konstatiert, daß es im Zimmer licht ist? Daß wir es in jedem Fall anders    meinen  ? Und worin besteht das? In bestimmten Vorgängen, die das Aussprechen begleiten, oder in einem bestimmten Benehmen, das ihm vorangeht, eventuell es begleitet, und ihm folgt?


     

     Wenn ein Mann im Ertrinken “Hilfe!” schreit, — konstatiert er die Tatsache, daß er Hilfe bedarf? daß er ohne Hilfe ertrinken wird? — Dagegen gibt es den Fall, in dem man, quasi, sich beobachtend, sagt “ich hätte (oder: habe) jetzt den Wunsch nach …”.


     


      Ich sage das Wort “Licht!”, — der Andere fragt mich:

“was meinst Du?” — und ich sage| // antworte //: “Ich meinte, Du sollst Licht machen”. — Wie war das, als ich es    meinte  ? Sprach ich den “kompletten Satz” in der Vorstellung unhörbar aus, oder den entsprechenden in einer andern Sprache? (Ja, das    kann   vorkommen oder auch nicht.) Die Fälle, die man alle mit dem Ausdruck “ich meinte” zusammenfaßt, sind    sehr mannigfach  .


     

     Nun kann man ruhig annehmen: ‘ich meinte, Du solltest Licht machen’ heißt, daß mir dabei ein Phantasiebild von Dir in dieser Tätigkeit vorgeschwebt hat, und ebensogut: der Satz heißt, daß mir dabei die Worte des vollständigen Satzes in der Phantasie gegenwärtig waren, oder, daß eins von diesen beiden der Fall war; — nur muß ich wissen, daß ich damit eine Festsetzung über die Worte “ich meinte” getroffen habe und eine engere als die ist, welche dem tatsächlichen allgemeinen Gebrauch des Ausdrucks entspricht.


     

     Wenn das Meinen für uns irgend eine Bedeutung, Wichtigkeit, haben soll, so muß dem System der Sätze ein System der Meinungen zugeordnet sein,    was immer   für Vorgänge die Meinungen sein sollen.


     

     Inwiefern stimmt nun das Wort “Licht” im obigen Symbolismus oder Zeichenspiel mit einer Wirklichkeit überein, — oder nicht überein?
     Wie gebrauchen wir überhaupt das Wort “übereinstimmen”? — Wir sagen “die beiden Uhren stimmen überein”, wenn sie die gleiche Zeit zeigen, “die beiden Maßstäbe stimmen überein”, wenn gewisse Teilstriche zusammenfallen,

“die beiden Farben stimmen überein”, wenn etwa ihre Zusammenstellung uns angenehm ist. Wir sagen “die beiden Längen stimmen überein”, wenn sie gleich sind, aber auch, wenn sie in einem von uns gewünschten Verhältnis stehen. Und, daß sie “übereinstimmen” heißt dann nichts andres, als daß sie in diesem Verhältnis — etwa 1:2 — stehen. So muß also in jedem Fall erst festgesetzt werden, was unter “Übereinstimmung” zu verstehen ist. — So ist es nun auch mit der Übereinstimmung einer Längenangabe mit einer Länge. Wenn ich sage: “dieser Stab ist 2m lang”, so kann ich z.B. erklären| // eine Erklärung geben//, wie man nach diesem Satz mit einem Maßstab die Länge des Stabes kontrolliert, wie man etwa nach diesem Satz einen Meßstreifen für den Stab erzeugt. Und ich sage nun, der Satz stimmt mit der Wirklichkeit überein, wenn der auf diese Weise konstruierte Meßstreifen mit dem Stab übereinstimmt. Diese Konstruktion eines Meßstreifens illustriert übrigens, was ich in der “Abhandlung” damit meinte, daß der Satz bis an die Wirklichkeit herankommt. — Man könnte das auch so klar machen: Wenn ich die Wirklichkeit daraufhin prüfen will, ob sie mit einem Satz übereinstimmt, so kann ich das auch so machen, daß ich sie nun beschreibe und sehe, ob der gleiche Satz herauskommt. Oder: ich kann die Wirklichkeit nach grammatischen Regeln in die Sprache des Satzes übersetzen und nun im Land der Sprache ?—den Vergleich durchführen—?.
     Als ich nun dem Andern erklärte: “Licht” (indem ich Licht machte), “Finster” (indem ich auslöschte), hätte ich auch sagen können und mit genau derselben Bedeutung: “das ist| // heißt// ‘Licht’” (wobei ich Licht mache) und “das ist| // heißt// ‘Finster’” etc., und auch ebensogut: “das stimmt mit ‘Licht’ überein”, “das stimmt mit ‘Finster’ überein”.


     

     Es kommt eben wieder auf die Grammatik des Wortes “Übereinstimmung” an, auf seinen Gebrauch. Und hier liegt die Verwechslung mit ‘Ähnlichkeit’ nahe, in dem Sinn, in dem zwei Personen einander ähnlich

sind, wenn ich sie leicht miteinander verwechseln kann.
     Ich kann auch wirklich nach der Aussage über die Gestalt eines Körpers eine Hohlform konstruieren, in die nun der Körper paßt, oder nicht paßt, je nachdem die Beschreibung richtig oder falsch war, und die konstruierte Hohlform gehört dann in dieser Auffassung noch zur Sprache (die bis an die Wirklichkeit herankommt).


     

     Aber auch die Hohlform macht kein finsteres Gesicht, wenn der Körper nicht in sie paßt.

     


     Wenn das Wort “Übereinstimmung mit der Wirklichkeit” gebraucht wird| // werden darf//, dann nicht als metalogischer Ausdruck, sondern als Teil eines Kalküls, als Teil der gewöhnlichen Sprache. Man kann etwa sagen: Im Sprachspiel “Licht! — Finster!” kommt der Ausdruck “Übereinstimmung mit der Wirklichkeit” nicht vor.

     


     In dem Sprachspiel “Licht — Finster” kommt keine Frage vor. — Aber wir könnten es auch mit Fragen spielen.

     


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Behauptung, Frage,
Annahme, etc.

























     


     Man hat natürlich das Recht, ein Behauptungszeichen zu verwenden, wenn man es im Gegensatz etwa zu einem Fragezeichen gebraucht. Irreleitend ist es nur, wenn man meint, daß die Behauptung nun aus zwei Akten bestehe, dem Erwägen und dem Behaupten (Beilegen des Wahrheitswertes, oder dergl.) und daß wir diese Akte nach dem geschriebenen Satz ausführen, ungefähr wie wir nach Noten Klavier spielen.
     Mit dem Klavierspielen nach Noten ist nun allerdings das laute oder auch leise, Lesen nach dem geschriebenen oder gedruckten Satz zu vergleichen und ganz analog; aber nichts, was wir ‘denken’ nennen. Ist also z.B. ein Behauptungszeichen im geschriebenen Satz, so wird wieder ein Behauptungs   zeichen   im gelesenen sein (etwa die Betonung, oder der Stimmfall). Aber nicht, als ob im geschriebenen Satz das|die Zeichen, im gedachten aber die Bedeutung anwesend wäre. —


     

     Eine Sprache (ich meine eine Sprechart) ist denkbar, in der es keine Behauptungssätze gibt, sondern nur Fragen und die Bejahung und Verneinung.

     


     Behauptung, Annahme, Frage. Man kann auf dem Schachbrett einen Zug in einer Schachpartie machen, — aber auch während eines Gesprächs über ein Schachproblem zur Illustration, oder wenn man jemand das Spiel lehrt, — etc.. Man sagt dann auch etwa: “angenommen, ich zöge    so  , …”. So ein Zug hat Ähnlichkeit mit dem, was man in der Sprache ‘Annahme’ nennt. Ich sage nun etwa “im Nebenzimmer ist ein Dieb”, — der Andre fragt mich “woher weißt Du das?” und ich antworte: “ “oh ich wollte nicht sagen, daß wirklich ein Dieb im Nebenzimmer ist, ich habe es nur in Erwägung gezogen”. — Möchte man da nicht fragen:    Was   hast Du erwogen? wie Du Dich benehmen würdest, wenn ein Dieb da wäre, oder, was für ein Geräusch es machen würde, oder, was er Dir wohl stehlen würde?
     Freges Anschauung könnte man so wiedergeben: daß die Annahme (so wie er das Wort gebraucht) das ist, was die Behauptung, daß p der Fall ist, mit der Frage, ob p der Fall ist, gemeinsam hat. Oder auch, daß die Annahme dasselbe ist wie die Frage. Man könnte auch eine Behauptung immer als eine Frage mit einer Bejahung darstellen. Statt “Es regnet”: “Regnet es? Ja!”

     


     Wenn es so etwas gäbe, wie eine Annahme im Sinne Freges, müßte dann nicht die Annahme, daß p der Fall ist gleich der sein, daß non-p der Fall ist?


     

     In dem Sinn, in welchem die Frage “ist p der Fall?” die gleiche ist wie “ist p nicht der Fall?”.

     


     Es gibt wirkliche Annahmen, die wir eben durch Sätze von der Form “angenommen p wäre (oder: ist) der Fall” ausdrücken. Aber solche Sätze nennen wir nicht vollständig und sie scheinen sehr ähnlich den Sätzen der Form| // erinnern uns an Sätze der Form// “wenn p der Fall ist, …”.

     


     Ist nun aber eine solche Annahme    ein Teil   einer Behauptung? Ist das nicht, als sagte man, die Frage, ob p der Fall ist, sei ein Teil der Behauptung, daß p der Fall ist?

     



      Ist es aber nicht auffällig, daß wir es in unsern gewöhnlich philosophisch-grammatischen Problemen nie damit zu tun haben, ob sie sich auf Behauptungen oder Fragen beziehen? (Etwa in dem Problem vom Idealismus und Realismus.)

     


     Und welcher Art ist ein Satz, wenn sich Einer eine mögliche Situation, etwa ihrer Seltsamkeit wegen, notiert? Oder: die Erzählung eines Witzes?

     



     Sprachspiel: eine Geschichte erfinden. Oder: eine Geschichte erfinden und zeichnen. — Etc..



     


     Wir können uns auch eine Sprache denken, die nur aus Befehlen besteht. So eine Sprache verhält sich zu der unseren, wie eine primitive Arithmetik zu unserer. Und wie jene Arithmetik nicht wesentlich unvollständig ist, so ist es auch die primitivere Form der Sprache nicht.










     


Gedanke
Denken
























     


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Wie denkt man den Satz ‘p’, wie erwartet (, glaubt, wünscht) man, daß p der Fall sein wird? Mechanismus des Denkens.































     


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„Was ist ein Gedanke, welcher Art muß er sein, um seine Funktion erfüllen zu können?”
     Hier will man sein Wesen aus seinem Zweck, seiner Funktion erklären.





















     


     Wir sind nicht im Bereiche der Erklärungen und jede Erklärung klingt ? uns trivial.


     

     Aber dieser Verzicht auf die Erklärung macht es so schwer zu sagen, was der Gedanke uns eigentlich bedeutet.


     

     Man kann etwa sagen: Er rechnet auf Grund von Gegebenem und endet in einer Handlung.





     


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      Ist die Vorstellung das Portrait par excellence, also grundverschieden, etwa, von einem gemalten Bild & durch ein solches oder etwas Ähnliches nicht ersetzbar? Ist sie das, was eigentlich eine bestimmte Wirklichkeit darstellt, — zugleich Bild & Meinung?

















     


     Sokrates zu Theaitetos: “Und wer vorstellt, sollte nicht etwas vorstellen?” Theaitetos: “Notwendig”. Sokrates: “Und wer etwas vorstellt, nichts

Wirkliches?” Theaitetos: “So scheint es”.

     



     “Ist die Vorstellung nur die Vorstellung, oder ist sie Vorstellung von Etwas in der Wirklichkeit?”
     Und von dieser Frage aus könnte man| // Und von dieser Frage aus könnte man…// auch die Beziehung der Vorstellung zum gemalten Bild erfassen.


     

     Die Frage könnte aber nicht heißen: “Ist die Vorstellung immer Vorstellung von etwas, was in der Wirklichkeit existiert” — denn das ist sie offenbar nicht immer —; sondern, es müßte heißen: bezieht sich die Vorstellung immer, wahr oder falsch, auf Wirklichkeit. — Denn das kann man von einem gemalten Bild nicht sagen. — Aber worin besteht dieses ‘sich auf die Wirklichkeit beziehen?’ Es ist doch wohl die Beziehung des Porträts zu seinem Gegenstand.


     

     Aber warum sollte man dann nicht sagen, daß eine Vorstellung Vorstellung eines Traumes sei?

     


     Wenn mir heute geträumt hat, daß N mich besuche und N besucht mich nun wirklich, so war darum jene Traumphantasie? keine Erwartung, und die Tatsache, daß N mich besuchte, keine Erfüllung der| einer Erwartung.


     


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     Ist das Denken ein spezifisch organischer Vorgang? Ein spezifisch menschlich-psychischer Vorgang? Kann man ihn in diesem Falle durch einen anorganischen Vorgang ersetzen, der den selben Zweck erfüllt, also sozusagen durch eine Prothese?


















     


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Ort des Denkens


























     


     “Das Denken geht im Kopf vor sich” heißt eigentlich nichts anderes, als, unser Kopf hat etwas mit dem Denken zu tun. Man sagt freilich auch: “ich denke mit der Feder auf dem Papier” und diese Ortsangabe ist mindestens so gut, wie die erste.





     


     Die Wendung “daß etwas in unserem Geist vor sich geht”, soll, glaube ich, andeuten, daß es im physikalischen Raum nicht lokalisierbar ist. Von Magenschmerzen sagt man nicht, daß sie in unserem Geist vor sich gehen, obwohl der physikalische Magen ja nicht der unmittelbare Ort der Schmerzen ist in dem Sinn, in welchem er der Ort der Verdauung ist.

     


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Gedanke & Ausdruck des
Gedankens.





















     


      Der Gedanke ist wesentlich das, was durch den Satz ausgedrückt ist, wobei ‘ausgedrückt’ nicht heißt ‘hervorgerufen’. Ein Schnupfen wird durch ein kaltes Bad hervorgerufen, aber nicht durch ein kaltes Bad ausgedrückt.















     


     Willkürlichkeit des sprachlichen Ausdrucks: Könnte man sagen: das Kind muß das Sprechen einer bestimmten Sprache zwar lernen, aber nicht das Denken, d.h. es würde von selber denken, auch ohne irgend eine Sprache zu lernen? (([D.h. Willkürlichkeit, wie sie gewöhnlich aufgefaßt wird. Sozusagen: “auf den Gedanken kommt es an, nicht auf die Worte”.))
      Ich meine aber, wenn es denkt, so macht es sich eben Bilder und diese sind in einem gewissen Sinne willkürlich, insofern nämlich, als andere Bilder denselben Dienst geleistet hätten. Und andererseits ist ja die Sprache auch natürlich entstanden, d.h., es muß wohl einen ersten Menschen gegeben haben, der einen bestimmten Gedanken zum ersten Mal in gesprochenen Worten ausgedrückt hat. Und übrigens ist das Ganze gleichgültig, weil jedes Kind, das die Sprache lernt, sie nur in dieser Weise lernt, daß es anfängt in ihr zu denken. Plötzlich anfängt; ich meine: Es gibt kein Vorstadium, in welchem das Kind die Sprache zwar schon gebraucht, sozusagen zur Verständigung gebraucht, aber noch nicht in ihr denkt.

     



      Ist es quasi eine Verunreinigung des Sinnes, daß wir ihn in einer bestimmten Sprache, mit ihren Zufälligkeiten, ausdrücken und nicht gleichsam körperlos und rein?? ∫ Nein, denn es ist wesentlich, daß ich die Idee der Übersetzung von einer Sprache in die andere verstehe.


     

     Da der Sinn eines Satzes ganz in der Sprache fixiert ist, und es auf den Sinn ankommt, so ist jede Sprache gleich gut. Der Sinn aber ist, was Sätze, die in einander übersetzbar sind, gemein haben.

     


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     Was ist der Gedanke? Was ist sein Wesen?
     “Der Gedanke, dieses seltsame Wesen.”






















     

     Der Gedanke hat aber nur eine Außenseite und kein Innen. Und ihn analysieren heißt nicht in ihn dringen.


     


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Zweck des Denkens.

Grund des Denkens.




























     


     Der Glaube, daß mich das Feuer brennen wird, ist von der Natur der Furcht, daß es mich brennen wird.


     

     Wenn man mich ins Feuer zöge, so würde ich mich wehren und nicht gutwillig gehn; und ebenso würde ich schreien: “das Feuer wird mich brennen!” und ich würde nicht schreien: “vielleicht wird es ganz angenehm sein!”


     

     Ich kalkuliere    so  , weil ich nicht anders kalkulieren kann. (Ich glaube    das  , weil ich nicht anders glauben kann.)



     


     Es läßt sich kein rationaler Grund angeben, weshalb wir denken sollten, [müßten].

     


     Ich nehme an, daß dieses Haus nicht in einer halben Stunde zusammenstürzen wird. Wann nehme ich das an? Die ganze Zeit? und was ist dieses Annehmen für eine Tätigkeit? Heißt, das annehmen, nicht (wieder) zweierlei? Einmal bezeichnet es eine hypothetische psychologische Disposition; einmal den Akt des Denkens, Ausdrückens, jenes Satzes| // des Satzes “das Haus wird nicht einstürzen”//. Im ersten Sinne ist das Kriterium dafür, daß ich jene Annahme mache| // das annehme// das, was ich sonst sage, fühle und tue; im andern Sinn, daß ich einen Satz sage, der wieder ein Glied einer Rechnung| // Kalkulation// ist. Nun sagt man: Du mußt aber doch einen Grund haben, das anzunehmen, sonst ist die Annahme ungestützt und wertlos (erinnere Dich daran, daß wir zwar auf der Erde stehen, die Erde aber nicht wieder auf irgend etwas; und Kinder glauben, sie müsse fallen, wenn sie nicht gestützt ist). Nun, ich habe auch Gründe zu meiner Annahme. Sie lauten etwa: daß das Haus schon jahrelang gestanden hat, aber nicht so lang, daß es schon baufällig sein könnte, etc.etc..    Was   ein Grund    wofür   ist (Was als Grund wofür gilt), kann von vornherein angegeben werden und beschreibt| // bestimmt// einen Kalkül, in welchem| // dem// eben das eine ein Grund des andern ist. Soll aber nun ein Grund für diesen ganzen Kalkül gegeben werden, so sehen wir, daß er fehlt. Fragt man aber, ob der Kalkül also eine willkürliche Annahme ist, so ist die Antwort, daß er so wenig ist, wie die Furcht vor dem Feuer oder einem wütenden Menschen, der sich uns nähert.
     Wenn man nun sagt: gewiß sind doch die Regeln der Grammatik,

nach denen wir vorgehen und operieren, nicht willkürlich; so müßte man zur Antwort fragen: Gut also, warum denkt denn ein Mensch wie er denkt? warum geht er denn durch diese Denkhandlungen? (gefragt ist hier natürlich nach den    Gründen  , nicht Ursachen). Nun, da lassen sich Gründe in dem Kalkül angeben; und ganz zum Schluß ist man dann versucht zu sagen: “es ist eben sehr wahrscheinlich, daß sich das Ding jetzt so verhalten wird, wie es sich immer verhalten hat”| //…daß das Ding jetzt das gleiche Verhalten zeigen wird, das es immer gezeigt hat”//, — oder dergleichen. Eine Redensart, die den Anfang des Räsonnements verhüllt und hier| // an diesem Anfang// eine ähnliche Rolle spielt, wie der Schöpfer am Beginn| // Anfang// der Welt, der| // welcher// zwar in Wirklichkeit nichts erklärt, aber ein den Menschen akzeptabler Anfang ist.| einen den Menschen akzeptablen Anfang macht.
     Das, was so schwer einzusehen ist, ist, daß,    solange   wir ein Wahr-Falsch-Spiel spielen| // daß,    solange   wir im Bereich der Wahr-Falsch-Spiele bleiben //, eine Änderung der Grammatik uns nur von einem solchen Spiel zu einem andern führen kann, aber nicht von etwas Wahrem zu etwas Falschem. Und wenn wir anderseits aus dem Bereich dieser Spiele heraustreten, so nennen wir es eben nicht mehr Grammatik, und zu einem Widerspruch mit der Wirklichkeit kommen wir wieder nicht.


     

     Denken wir uns die Tätigkeit in einem Haus, in einer Werkstätte. Da wird gehobelt, gesägt, gestrichen, etc.etc.; und außerdem gibt es da eine Tätigkeit, die man ‘ rechnen|Rechnen’ nennt, und die sich scheinbar von allen den andern unterscheidet| // von allen diesen unterscheidet//, besonders, was den| // ihren// Grund anbelangt. Wir machen da etwa ein Bild, die Tätigkeit des Rechnens (Zeichnens, etc.) verbindet Teile der andern Tätigkeit. Er setzt aus, rechnet etwas, dann mißt er und arbeitet mit dem Hobel weiter. Er setzt auch manchmal aus, um das Hobelmesser zu schleifen; aber ist

diese Tätigkeit analog der andern des Kalkulierens? — “Aber Du glaubst doch auch, daß mehr Kessel explodieren würden| // mehr Kesselexplosionen wären //, wenn die Kessel nicht berechnet würden”. “Ja, ich glaube es; — aber was will das sagen?” Folgt daraus, daß weniger    sein   werden? Und was ist denn die Grundlage dieses Glaubens?
     Wenn man nun nach dem Grund einer einzelnen Denkhandlung (Kalkülhandlung) fragt, so erhält man als Antwort die Auseinandersetzung eines Systems dem die Handlung angehört.

     



Grammatik


     



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Die Grammatik ist keiner Wirklichkeit Rechenschaft schuldig.

Die grammatischen Regeln bestimmen erst die Bedeutung (konstituieren sie) & sind darum keiner Bedeutung verantwortlich & insofern willkürlich.

























     


     Wenn man fragt “warum gibst Du Eier in diesen Teig”, so ist die Antwort etwa “weil der Kuchen dann besser schmeckt”. Also, man hört| // erfährt// eine Wirkung und sie wird als Grund gegeben.
     Wenn ich dem Holzblock eine bestimmte Form geben will, so ist der Hieb der richtige, der diese Form erzeugt. — Ich nenne aber nicht das Argument das richtige, das die erwünschten Folgen hat. Vielmehr nenne ich die Rechnung falsch, obwohl |// auch wenn// die Handlungen, die dem Resultat entspringen, zum gewünschten Ende geführt haben. (“Ich mach' den Haupttreffer, und er will mich belehren!”) Das zeigt, daß die Rechtfertigungen in den beiden Fällen verschiedene sind, und also “Rechtfertigung” verschiedenes in beiden bedeutet. In einem Fall kann man sagen: “Wart' nur, Du wirst schon sehen, daß das Richtige (d.h. hier: Gewünschte) herauskommt”; im andern ist dies keine Rechtfertigung.
     Wenn man nun von der Willkürlichkeit der grammatischen Regeln spricht, so kann das nur bedeuten, daß es die Rechtfertigung, die    in   der Grammatik als solcher gilt, nicht    für   die Grammatik gilt. Und wenn

man das Rechnen und| // aber// nicht das Kochen dem Spiel vergleicht, ?—so ist es eben aus| aus eben diesem Grund—?. Das ist aber auch der Grund, warum man das Kochen keinen Kalkül nennen würde. Wie ist es aber mit dem Aufräumen eines Zimmers, oder dem Ordnen eines Bücherschrankes, — oder dem Stricken eines bestimmten Musters? Diese Dinge kommen dem Spiel in irgendeiner Weise näher. Ich glaube, der Grund, warum man das Kochen kein Spiel zu nennen versucht ist, ist der: es gibt natürlich auch für das Kochen Regeln, aber “Kochen” bezeichnet nicht wesentlich eine Tätigkeit nach diesen Regeln, sondern eine Tätigkeit, die ein bestimmtes Resultat hat. Es ist z.B. etwa eine Regel, daß man Eier 3 Minuten lang kocht, um weiche Eier zu erhalten; wird aber durch irgend welche Umstände das gleiche Ergebnis durch 5 Minuten langes Kochen erreicht, so sagt man nun nicht “das heißt dann nicht ‘weiche Eier kochen’”. Dagegen heißt “Schachspielen” nicht die Tätigkeit, die ein bestimmtes Ergebnis hat, sondern dieses Wort bedeutet eine Tätigkeit, die nach gewissen Regeln ausgeführt wird. Die Regeln der Kochkunst hängen mit der Grammatik des Wortes “kochen” anders zusammen, als die Regeln des Schachspiels mit der Grammatik des Wortes “Schach spielen” und als die Regeln des Multiplizierens mit der Grammatik des Wortes “multiplizieren”.
     Die Regeln der Grammatik sind so (d.h. in demselben Sinne) willkürlich, & in demselben Sinne nicht willkürlich wie die Wahl einer Maßeinheit. Aber das kann doch nur heißen, daß sie von der Länge des zumessenden |Zumessenden unabhängig ist. Und daß nicht die Wahl der einen Einheit ‘wahr’, der andern ‘falsch’ ist, wie die Angabe der Länge wahr oder falsch ist. Was natürlich nur eine Bemerkung über die Grammatik des Wortes “Längeneinheit” ist.
     Man ist versucht, die Regeln der Grammatik durch Sätze zu rechtfertigen von der Art: “Aber es gibt doch wirklich 4 primäre Farben”; und gegen die Möglichkeit dieser Rechtfertigung, die nach dem Modell der Rechtfertigung eines Satzes durch (den?) Hinweis auf seine Verifikation gebaut ist, richtet sich das Wort, daß die Regeln der Grammatik willkürlich sind.

     Kann man aber nicht doch in irgend einem Sinne sagen, daß die Grammatik der Farbwörter die Welt, wie sie tatsächlich ist, charakterisiert? Man möchte sagen: kann ich nicht wirklich vergebens nach einer fünften primären Farbe suchen? (Und wenn man suchen kann, dann ist ein Finden denkbar.) Nimmt man nicht die primären Farben zusammen, weil sie eine Ähnlichkeit haben, oder zum mindesten die Farben, im Gegensatz z.B. von| // zu den// Formen oder Tönen, weil sie eine Ähnlichkeit haben? Oder habe ich, wenn ich diese Einteilung der Welt als die richtige hinstelle, schon eine vorgefaßte Idee als Paradigma im Kopf? Von der ich dann etwa nur sagen kann: “ja, das ist die Weise| // Art//, wie wir die Dinge betrachten”, oder “wir wollen eben ein solches Bild (von der Wirklichkeit) machen”. Wenn ich nämlich sage: “die primären Farben haben doch eine bestimmte Ähnlichkeit miteinander” — woher nehme ich den Begriff dieser Ähnlichkeit? D.h.: habe ich hier eine Funktion “x ähnlich mit y”, in die ich die Farben als Argumente einsetzen kann? Ist nicht so, wie der Begriff “primäre Farbe” nichts andres ist, als “blau oder rot oder grün oder gelb”, — auch der Begriff jener Ähnlichkeit nur durch die vier Farben gegeben? Ja, sind sie nicht die gleichen! — “Ja, könnte man denn auch rot, grün und kreisförmig zusammenfassen?” — Warum nicht?!
     Die Wichtigkeit in einem Spiel liegt darin, daß wir dieses Spiel spielen. Daß wir    diese   Handlungen ausführen. Es verliert seine Wichtigkeit nicht dadurch, daß es selbst nicht wieder eine Handlung in einem andern (übergeordneten) Spiel ist.
      Warum nenne ich die Regeln des Kochens nicht willkürlich; und warum bin ich versucht, die Regeln der Grammatik willkürlich zu nennen? Weil das ‘Kochen’ durch seinen Zweck definiert ist, dagegen der Gebrauch der Sprache nicht. Darum ist der Gebrauch der Sprache in einem gewissen Sinne autonom, in dem das Kochen und Waschen es nicht ist. Denn, wer sich beim Kochen nach andern als den richtigen Regeln richtet, kocht schlecht; aber wer sich nach andern Regeln als denen des Schach richtet, spielt    ein anderes Spiel   und wer sich nach andern grammatischen Regeln richtet, als den

und den, spricht darum nichts Falsches, sondern von etwas Anderem.



     


     Wer etwas dagegen hat, daß man sagt, die Regeln der Grammatik seien Spielregeln, hat in dem Sinne Recht, daß das, was das Spiel zum Spiel macht die Konkurrenz von Spielern, der Zweck der Unterhaltung und Erholung, in der Grammatik abwesend ist, etc.. Aber niemand wird leugnen, daß das Studium des Wesens der Spielregeln für das Studium der grammatischen Regeln nützlich sein muß, da    irgend   eine Ähnlichkeit zweifellos besteht. Es ist überhaupt besser, ohne ein gefaßtes Urteil oder Vorurteil über die Analogie zwischen Grammatik und Spiel, und nur getrieben von dem sicheren Instinkt, daß hier eine Verwandtschaft vorliegt, die Spielregeln zu betrachten. Und hier wieder soll man einfach berichten, was man sieht und nicht fürchten, daß man damit eine wichtige Anschauung untergräbt, oder auch, seine Zeit mit etwas Überflüssigem verliert.
     Man sieht dann vor allem, wie der Begriff des Spiels und damit der Spielregel ein an den Rändern verschwimmender ist.
     Ferner sieht man etwa Folgendes, wenn man die Regeln z.B. des Schachspiels betrachtet: Es gibt hier Sätze, die die Züge der einzelnen Figuren beschreiben; allgemeiner ausgedrückt, Regeln über Spielhandlungen. Dann aber gibt es doch die Sätze, die die Grundstellung beschreiben und solche, die das Schachbrett beschreiben.

     


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Regel & Erfahrungssatz



     


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     Sagt eine Regel, daß Wörter tatsächlich so & so gebraucht werden?

     





















      Regel und Erfahrungssatz. Ist eine Regel ein Erfahrungssatz — etwa über den Gebrauch der Sprache? Ist eine Regel des Schachspiels ein Satz darüber, wie die Menschen seit dem Ereignis der Erfindung des Schachspiels es gespielt haben; d.h. etwa mit so geformten Figuren gezogen haben? Denn, wenn davon die Rede ist, daß die Menschen das Schachspiel so gespielt haben, so muß das Schachspiel so definiert sein, daß es Sinn hat, davon auszusagen, es sei anders gespielt worden. Sonst nämlich gehören die Regeln zur Definition des Schachspiels. Daß jemand der Regel … gemäß spielt, das ist eine Erfahrungstatsache; oder: “A spielt der Regel … gemäß”, “die meisten Menschen spielen der Regel … gemäß”, “niemand spielt der Regel … gemäß” sind Erfahrungssätze. Die Regel ist kein Erfahrungssatz, sondern nur der Teil eines solchen Satzes.
     Die Regel ist die Festsetzung der Maßeinheit| // Die Regel setzt die Maßeinheit fest //, und der Erfahrungssatz sagt, wie lang ein Gegenstand ist. (Und hier sieht man, wie logische Gleichnisse funktionieren, denn die Festsetzung der Maßeinheit ist wirklich eine grammatische Regel und die Angabe einer Länge in dieser Maßeinheit ein Satz, der von der Regel Gebrauch macht.)



     


     Ferner muß sich die Regel auf die Anwendung in der Beschreibung (der Wirklichkeit) beziehen. Denn, was hat es für einen Sinn von einem Stab zu sagen “das ist das Urmeter”, wenn sich diese Aussage nicht auf Messungen mit dem Metermaß bezieht. Insofern könnten wir uns die Regel jedem Satz beigefügt denken.
     Die Regel ist eine Art vorgezeichneter Route; ein vorgezeichneter Weg.



     


     Die Regel “links gehen!” oder einfach ein Pfeil. Wie, wenn ich mir in meinem Zimmer einen Pfeil an die Wand malte — wäre der auch der Ausdruck eines Gesetzes, wie es der Pfeil auf einem Bahnhof wohl sein könnte? Um ihn zu einem Gesetz zu machen, gehört doch| // wohl// noch der übrige Apparat, dessen ?—einer Teil der Pfeil nur ist—?.
     (Sraffa) Ein Ingenieur baut eine Brücke; er schlägt dazu in mehreren Handbüchern nach; in technischen Handbüchern und in juridischen. Aus dem einen erfährt er, daß die Brücke zusammenbrechen würde, wenn er diesen Teil schwächer machen würde als etc.etc.; aus den andern, daß er eingesperrt würde, wenn er sie so und so bauen wollte| // würde//. — Stehn nun die beiden Bücher nicht auf gleicher Stufe? — Das kommt drauf an, was für eine Rolle sie in seinem Leben spielen. Das juridische Handbuch kann ja für ihn einfach ein Buch über die Naturgeschichte der ihn umgebenden Menschen sein. Vielleicht muß er auch ein Buch über das Leben der Biber nachschlagen, um zu erfahren, wie er die Brücke streichen muß, daß die Biber sie nicht annagen. — Gibt es aber nicht noch eine andere Weise, die Gesetze zu betrachten? Fühlen wir nicht sogar deutlich, daß wir sie nicht so betrachten? — Ist dies nicht die gleiche Frage, wie: — Ist ein Vertrag nur die Feststellung, daß es für die Parteien nützlich ist, so und so zu handeln? Fühlen wir uns nicht in manchen Fällen (wenn auch nicht in allen) auf andre

Weise “durch den Vertrag |die Regel? gebunden”? Kann man nun sagen: “Wer sich durch einen Vertrag oder ein Gesetz gebunden fühlt, stellt sich irrtümlicherweise das Gesetz als einen Menschen (oder Gott) vor, der ihn mit physischer Gewalt zwingt”? — Nein; denn, wenn er handelt, als ob ihn jemand zwänge, so ist doch seine Handlung jedenfalls Wirklichkeit und auch die Vorstellungsbilder, die er etwa dabei hat, sind nicht Irrtümer; und er braucht sich in nichts irren und kann doch handeln wie er handelt und sich auch vorstellen, was er sich etwa vorstellt. Die Worte “der Vertrag bindet mich” sind zwar eine bildliche Darstellung und daher mit der gewöhnlichen Bedeutung des Wortes “binden” ein falscher Satz: aber, richtig aufgefaßt, sind sie wahr (oder können es sein) und unterscheiden einen Fall von dem, in welchem der Vertrag mir bloß sagt, was zu tun mir nützlich ist. Und wenn man etwas gegen die Worte einwendet “der Vertrag (oder das Gesetz) bindet mich”, so kann man nichts sagen gegen die Worte: “ich    fühle   mich durch den Vertrag gebunden”.


     


     Die Beschreibung einer neuen, etwa übersichtlicheren, Notation (denn auf die Übersichtlichkeit kommt es    uns   an) ist dann von der gleichen Art, wie die Beschreibung einer jener Sprachen, die die Kinder erfinden oder von einander lernen, worin z.B. jeder Vokal der gewöhnlichen Sprache| // Wörter// verdoppelt und zwischen die Teile der Verdoppelung ein b gestellt wird. Hier sind wir ganz nah an's Spiel herangekommen. So eine Beschreibung oder ein Regelverzeichnis kann man als Definiens

des Namens der Sprache oder des Spiels auffassen. Denken wir auch an die Beschreibung des Zeichnens, Konstruierens, irgend einer Figur, etwa eines Sternes (welches auch in Spielen eine Rolle spielt). Sie lautet etwa so: “Man zieht eine Gerade von einem Punkt A nach einem Punkt B, etc.etc.”. Diese Beschreibung könnte ich offenbar auch| // einfach// durch eine Vorlage, d.h. Zeichnung, ersetzen.
     Das, was hier irrezuführen scheint, ist ein Doppelsinn des Wortes “Beschreibung”, wenn man einmal von der Beschreibung eines wirklichen Hauses oder Baumes etc. spricht, ein andermal| // einmal// von der Beschreibung einer Gestalt, Konstruktion, etc., einer Notation, eines Spiels. Worunter aber eben nicht ein Satz gemeint ist der sagt, daß ein solches Spiel irgendwo wirklich gespielt, oder eine solche Notation wirklich verwendet wird; vielmehr steht die Beschreibung statt der hier gebrauchten Wörter “ein solches Spiel” und “eine solche Notation”.
     Die Beschreibung einer Notation fängt (man?) charakteristischerweise| charakteristisch oft mit den Worten an: “Wir    können   auch so schreiben: …”. Man könnte fragen: “was ist das für eine Mitteilung ‘wir können … ” etc.. Man schreibt auch etwa: “übersichtlicher wird unsere Darstellung, wenn wir statt … schreiben: …; und die Regeln geben …”; und hier stehen die Regeln in einem Satz.


     

     Denken wir uns etwa ein Bild, einen Boxer in bestimmter Kampfstellung darstellend. Dieses Bild kann nun dazu gebraucht werden um jemandem mitzuteilen, wie er stehen, sich halten soll; oder, wie er sich nicht halten soll; oder, wie ein bestimmter Mann dort und dort gestanden hat| ist; etc.etc.. Man könnte dieses Bild ein Satzradikal nennen.


     

     ‘Regel’ ist in demselben Sinne ein Begriff mit ver-

schwommen Rändern, wie ‘Blatt’ oder ‘Stiel’ oder ‘Tisch’, etc..


     

     Wenn man eine Notation beschreibt, sagt man etwa: “ich will| // werde// in diesem Buch statt ‘p oder q’ ‘p ⌵ q’ schreiben”, und das ist natürlich ein kompletter Satz. Das aber, was ich ‘Regel’ nennen will, und etwa “p oder q . = . p ⌵ q” geschrieben wird, ist keiner. — Was ich ‘Regel’ nenne, soll nichts von einer bestimmten (oder auch unbestimmten) Zeit oder einem Ort der Anwendung enthalten, sich auf keine bestimmten (oder unbestimmten) Personen beziehen; sondern nur Instrument der Darstellung sein.
     Wir sagen nun: “wir gebrauchen die Wörter ‘rot’ und ‘grün’ in solcher Weise, daß es als sinnlos gilt (kontradiktorisch ist) zu sagen, am selben Ort sei zu gleicher Zeit rot und grün”. Und dies ist natürlich ein Satz. Erfahrungssatz über unsere tatsächliche Sprache.


     


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     Die strikten grammatischen Spielregeln & der schwankende Sprachgebrauch.
Die Logik normativ.
Inwiefern reden wir von idealen Fällen, einer idealen Sprache. („Logik des luftleeren Raums”.)



























     


     Wenn man sagt “N. existiert nicht”, so kann das verschiedenerlei bedeuten. Es kann heißen, daß ein Mann, der, als er lebte, diesen Namen trug, nicht, oder nicht zu einer gewissen Zeit, in einem gewissen Land existiert hat; aber auch, daß spätere Geschichtsschreiber den Charakter, den wir so (etwa “Moses”) nennen, erfunden haben, daß die und die Ereignisse nie stattgefunden haben und ihr Held also nie gelebt hat. D.h. also: kein Mensch hat Moses geheißen und diese Taten vollbracht; oder: das Ding, das Dir als Herr N vorgestellt wurde, war eine Puppe; etc.. Denken wir uns, es sagte uns Einer, er habe Moses auf der Straße gesehen. Wir würden ihn dann fragen: “wie meinst Du das: Du hast ihn gesehen? Wie wußtest Du denn, daß er es war?” und nun könnte der Andre sagen: “er hat es mir gesagt”, oder “er sah so aus, wie ich mir Moses vorstelle”, oder “er hatte diese und diese Merkmale”, etc.. Ich will doch wohl das sagen, was Russell dadurch ausdrückt, daß der Name Moses durch verschiedene Beschreibungen definiert sein kann (“der Mann, welcher ‘Moses’ hieß und zu dieser Zeit an diesem Ort lebte”, oder “der Mann — wie immer er damals genannt wurde — welcher die Israeliten durch die Wüste führte”, oder “der Mann, der als kleines Kind von der Königstochter aus dem Nil gefischt wurde”, etc.etc.). Und je nachdem wir die eine oder andere Definition annehmen, bekommt der

Satz “Moses hat existiert” einen andern Sinn und ebenso jeder andere Satz, der von Moses handelt. Man würde| könnte auch immer, wenn uns jemand sagte “N existiert nicht” fragen: “was meinst Du? willst Du sagen, daß …, oder daß … etc.?” — Wenn ich nun sage: “N ist gestorben” so hat es mit “N” gewöhnlich    etwa   folgende Bewandtnis: Ich glaube, daß ein Mensch N gelebt hat: den ich 1.) dort und dort gesehen habe, der 2.) so und so ausschaut, 3.) das und das getan hat und 4.) in der bürgerlichen Welt den Namen “N” führt. Gefragt, was ich unter “N” verstehe, würde ich alle diese Dinge, oder einige von ihnen, und bei verschiedenen Gelegenheiten verschiedene, aufzählen. Meine Definition von “N” wäre also: der Mann, von dem alles das stimmt. Wenn aber nun einiges davon sich als falsch erwiese, — wäre der Satz “N ist gestorben” nun als falsch anzusehen? auch, wenn nur etwas vielleicht ganz Nebensächliches, was ich von dem Menschen glaubte, nicht stimmen würde; — und wo fängt das Hauptsächliche an? Das kommt nun darauf hinaus, daß wir den Namen “N” in gewissem Sinne ohne feste Bedeutung gebrauchen, oder: daß wir bereit sind, die Spielregeln nach Bedarf zu verändern (make the rules as we go along). Das erinnert an das, was ich früher einmal über die Benützung der Begriffswörter, z.B. des Wortes “Blatt” oder “Pflanze”, geschrieben habe. — Und hier erinnere ich mich daran, daß Ramsey einmal betont hat, die Logik sei eine “normative Wissenschaft”. Wenn man damit meint, sie stelle ein Ideal auf, dem sich die Wirklichkeit nur nähere, so muß gesagt werden, daß dann dieses “Ideal” uns nur als ein Instrument der annähernden Beschreibung der Wirklichkeit interessiert. Es ist allerdings möglich, einen Kalkül genau zu beschreiben und zwar zu dem Zweck, um dadurch eine Gruppe anderer Kalküle beiläufig zu charakterisieren. Wollte z.B. jemand wissen, was ein Brettspiel ist, so könnte ich ihm zur Erklärung das Damespiel genau beschreiben und dann sagen: siehst Du, so ungefähr funktioniert jedes Brettspiel. — War es nun nicht ein Fehler von mir (denn so scheint es mir jetzt) anzunehmen, daß der, der die Sprache gebraucht,

immer    ein bestimmtes Spiel   spiele? Denn, war das nicht der Sinn meiner Bemerkung, daß alles an einem Satz — wie beiläufig immer er ausgedrückt sein mag — ‘in Ordnung ist’? Aber wollte ich nicht sagen: alles müsse in Ordnung sein, wenn Einer einen Satz sage und ihn anwende? Aber daran ist doch weder etwas in Ordnung noch in Unordnung, — in Ordnung wäre es, wenn man sagen könnte: auch dieser Mann spielt ein Spiel nach einem bestimmten, festen Regelverzeichnis.

     



     Denn ich habe zur Feststellung der Regel, nach der er handelt, zwei Wege angegeben. Der eine, der hypothetische, bestand in der Beobachtung seiner Handlungen und die Regel war dann von der Art eines naturwissenschaftlichen Satzes. Der andere war, ihn zu fragen, nach welcher Regel er vorgehe. Wie aber, wenn der erste Weg ?—kein klares Resultat ergibt—? und die Frage keine Regel zu Tage fördert, wie es im Fall “N ist gestorben” geschieht. Denn, wenn wir den, der das sagte, fragen “was ist N?” so wird er zwar ‘N’ durch eine Beschreibung erklären, wird aber bereit sein, diese Beschreibung zu widerrufen und abzuändern, wenn wir ihm den einen oder andern Satz widerlegen| // entziehen//. Wie soll ich also die Regel bestimmen| // auffassen//, nach der er spielt? er weiß sie selbst nicht. Ich könnte eine Regel nur nach dem bestimmen, was er auf die Frage “wer ist N” in diesem Fall gerade antwortet.

     



     Steckt uns da nicht die Analogie der Sprache mit dem Spiel ein Licht auf? Wir können uns doch sehr wohl denken, daß sich Menschen auf einer Wiese damit unterhielten, mit einem Ball zu spielen; und zwar so, daß sie verschiedene bestehende Spiele der Reihe nach anfingen, nicht zu Ende spielten und etwa dazwischen sogar planlos den Ball würfen, auffingen, fallen ließen etc.. Nun sagte Einer: die ganze Zeit hindurch spielen die Leute ein Ballspiel und richten sich daher bei jedem Wurf nach gewissen| // bestimmten// Regeln. — Aber — wird man einwenden — der den Satz “N ist gestorben” gesagt hat, hat doch nicht planlos Worte aneinander gereiht (und darin besteht es ja, daß er ‘etwas mit seinen Worten gemeint hat’). — Aber man kann wohl sagen: er sagt den Satz planlos, was sich eben in der beschriebenen Unsicherheit zeigt. Freilich ist der Satz von irgendwo hergenommen und wenn man will, so spielt er nun auch ein Spiel mit sehr primitiven Regeln; denn es bleibt ja wahr, daß ich auf die Frage “wer ist N”    eine Antwort   bekam, oder eine Reihe von Antworten, die nicht gänzlich regellos waren. — Wir können sagen: Untersuchen wir die Sprache auf ihre Regeln hin. Hat sie dort und da keine Regeln, so ist    das   das Resultat unsrer Untersuchung.




     


     Denken wir uns Jemand, der die| // alle// Formen

in diesem Zimmer beschreibt, indem er sie mit ebenflächigen geometrischen Formen vergleicht. Gibt es in diesem Zimmer nur solche Formen? Nein. — Muß der, der die Formen unter dem Gesichtspunkt der ebenflächigen Körper beschreibt, behaupten, es gäbe nur solche Formen im Zimmer? Auch nicht. Kann man sagen, daß das einseitig ist, weil er alle Formen durchgängig nach diesem Schema auffaßt? Und sollte es ihn in| an dieser Auffassung irremachen, wenn er bemerkt, daß auch runde Körper vorhanden sind? Nein. Es wäre auch irreführend, den ebenflächigen Körper ein “Ideal” zu nennen, dem sich die Wirklichkeit nur mehr oder weniger nähert. Aber die Geometrie der ebenflächigen Körper könnte man mit Bezug auf diese Darstellungsweise| // Darstellung// eine normative Wissenschaft nennen. (Eine, die das Darstellungsmittel darstellt; gleichsam eine, die die Meßgläser eicht.)

     


     Ich habe ein Bild mit verschwommenen Farben und komplizierten Übergängen. Ich stelle ein einfaches mit klargeschiedenen Farben, aber mit dem ersten verwandtes, daneben. Ich sage nicht, daß das erste eigentlich das zweite| andere sei; aber ich lade den Andern ein, das einfache anzusehen, und verspreche mir davon, daß gewisse Beunruhigungen für ihn verschwinden werden.

     


     Behandle die deutlichen Fälle in der Philosophie, nicht die undeutlichen. Diese werden sich lösen, wenn jene gelöst sind.
     Die Tendenz mit der Untersuchung eines Satzes da anzufangen, wo seine Anwendung ganz nebelhaft und unsicher ist (der Satz der Identität ist ein gutes Beispiel), anstatt diese Fälle vorläufig beiseite zu lassen und den Satz dort anzugehen, wo wir mit gesundem Menschenverstand über ihn reden können, diese Tendenz ist für die aussichtslose Methode der meisten Menschen, die philosophieren, bezeichnend.

     


     Ich betrachte die Sprache und Grammatik unter dem Gesichtspunkt des Kalküls| // unter der Form des Kalküls| //    als   Kalkül//, d.h. des Operierens nach festgelegten Regeln.| // d.h. als Vorgang nach festgesetzten Regeln.//


     


     Gibt es so etwas, wie eine komplette Grammatik, z.B., des Wortes ‘nicht’? [Fortsetzung.]



     


     (So könnte Spengler besser verstanden werden, wenn er sagte: ich    vergleiche   verschiedene Kulturperioden dem Leben von Familien; innerhalb der Familie gibt es eine Familienähnlichkeit, während es auch zwischen den Mitgliedern verschiedener Familien eine Ähnlichkeit gibt; die Familienähnlichkeit unterscheidet sich von der andern Ähnlichkeit so und so etc.. Ich meine: das Vergleichsobjekt, der Gegenstand, von welchem diese Betrachtungsweise abgezogen ist, muß uns angegeben werden, damit nicht in die Diskussion immer Ungerechtigkeiten einfließen. Denn da wird dann alles, was für das Urbild der Betrachtung stimmt, auch von dem Objekt, worauf wir die Betrachtung anwenden, behauptet: und behauptet “es    müsse immer   …”
     Das kommt nun daher, daß man den Merkmalen des Urbilds einen Halt in der Betrachtung geben will. Da man aber Urbild und Objekt vermischt, dem Objekt dogmatisch beilegen muß, was nur das Urbild charakterisieren muß| soll. Anderseits glaubt man, die Betrachtung ermangle ja der| // habe nicht die// Allgemeinheit, die man ihr geben will, wenn sie nur für den einen Fall wirklich stimmt. Aber das Urbild soll ja eben als solches hingestellt werden; daß es die ganze Betrachtung charakterisiert, ihre Form bestimmt. Es steht also an der Spitze und ist dadurch, daß alles, was nur von ihm gilt, von allen Objekten der Betrachtung ausgesagt wird.



     


     Nicht das ist wahr, daß, was ich sage| // wir sagen//, nur für eine “ideale Sprache” gilt (oder Geltung hätte); wohl aber kann man sagen, daß wir eine ideale Sprache konstruieren, in die aber dann alles übersetzbar ist, was in den anderen| in unidealen Sprachen gesagt werden kann.


     


     (Es gibt keine Logik für den luftleeren Raum. Insofern es keine Hypothese in der Logik gibt.)

     



     
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Wortarten werden nur durch
ihre Grammatik unterschieden

     























     Es gibt nicht zwei Wortarten, die ich grammatisch (ganz) gleich behandeln kann, die aber doch zwei Wortarten sind. Sondern die Regeln, die von ihnen handeln, machen die Wortarten aus: dieselben Regeln, dieselbe Wortart. Das hängt damit zusammen, daß, wenn sich ein Zeichen ganz so benimmt wie ein anderes, die beiden dasselbe Zeichen sind.

     


die von diesen Figuren handeln.



     


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Sage mir, was Du mit einem Satz anfängst, wie Du ihn verifizierst, etc., & ich werde ihn verstehen.





     


     Wie ein Satz verifiziert wird, das sagt er.


     


     Eigentlich hat ja schon Russell durch seine “theory of descriptions” gezeigt, daß man sich nicht eine Kenntnis der Dinge von hinten herum erschleichen kann, und daß es nur    scheinen   kann, als wüßten wir von den Dingen mehr, als sie uns auf geradem Weg geoffenbart haben. Aber er hat durch die Idee der “indirect knowledge” wieder alles verschleiert.

     


     Aus derselben Quelle fließt nur    Eines  .

     


     Welche Sätze aus ihm folgen und aus welchen Sätzen er folgt, das macht seinen Sinn aus. Daher auch die Frage nach seiner Verifikation eine Frage nach seinem Sinn ist.

     

     Wende das auf einen Satz an, wie etwa “es wird niemals Menschen mit 2 Köpfen geben”. Dieser Satz scheint irgendwie ins Unendliche, Unverifizierbare zu reichen und sein Sinn von jeder Verifikation unabhängig zu sein. Aber wenn wir seinen Sinn erforschen wollen, so meldet sich ganz richtig die Frage: Können wir die Wahrheit eines solchen Satzes je wissen, und    wie   können wir sie wissen; und welche Gründe können wir haben, was der Satz sagt anzunehmen oder abzulehnen? Nun wird man vielleicht sagen: es ist ja nach dem Sinn gefragt worden; und nicht danach, ob und wie man ihn wissen kann. Aber die Antwort auf die Frage “wie kann man diesen Satz wissen?” ist nicht eine psychologische, sondern sie sagt, aus welchem andern Satz er folgt, gehört also zur Grammatik des ersten. Und die Gründe, die möglich sind den Satz anzunehmen, sind nicht persönliche Angelegenheiten, sondern Teile des Kalküls, zu dem der Satz gehört. Wenn ich frage: wie    kann   ich den Satz “jemand ist im Nebenzimmer” verifizieren, oder wie kann ich herausfinden, daß jemand im Nebenzimmer ist, so ist etwa eine Antwort: “indem ich ins Nebenzimmer gehe und ihn sehe”. Wenn nun gefragt wird “wie    kann   ich ins Nebenzimmer kommen, wenn die Türe versperrt ist”, so ist dieses “kann” ein anderes als das erste: Die erste Frage nach der Möglichkeit (der logischen) hatte eine Erklärung über den Satzkalkül zur Antwort, daß nämlich dieser Satz aus jenem folgt; die zweite Frage war

eine nach der physikalischen Möglichkeit und hatte einen Erfahrungssatz zur Antwort: daß man, etwa, die Mauer nicht durchbrechen könne, weil sie zu stark sei, dagegen die Tür mit einem Sperrhaken öffnen könne. Beide Fragen nun sind in gewissem Sinn, aber nicht im gleichen, Fragen nach der Möglichkeiten Verifikation. Und, indem man die erste Art mit der zweiten verwechselt, glaubt man, die Frage nach der Verifikation sei für den Sinn ohne Belang. Die Gründe für die Annahme eines Satzes sind nicht zu verwechseln mit den Ursachen der Annahme. Jene gehören zum Kalkül des Satzes.

     

     Die Ursachen, warum wir einen Satz glauben, wären bei der| für die Frage, was es denn ist, was wir glauben, allerdings irrelevant, aber nicht so die Gründe, die ja mit dem Satz grammatisch verwandt sind und uns sagen, wer er ist.

     


     Und der Sinn des Satzes ist ja nicht etwas, was wir wie die Struktur der Materie erforschen und was vielleicht zum Teil unerforschlich ist. So daß wir später erst noch einmal daraufkommen könnten, daß dieser Satz von andern Wesen als wir sind, auf eine andere Art gewußt werden kann. So daß er    dieser   Satz mit    diesem   Sinn bliebe, dieser Sinn aber Eigenschaften hätte, die wir jetzt nicht ahnen. Der Satz, oder sein Sinn, ist nicht das pneumatische Wesen, was sein Eigenleben hat und nun Abenteuer besteht, von denen wir nichts zu wissen brauchen. Wir hätten ihm quasi Geist von unserm Geist eingehaucht — seinen Sinn — aber nun hat er sein Eigenleben — wie unser Kind — und wir können ihn (nur) erforschen und mehr oder weniger verstehen.

     

     Der Instinkt führt Einen richtig, der zur Frage führt: Wie kann man so etwas wissen; was für einen Grund können wir haben,

das anzunehmen; aus welchen Erfahrungen würden wir so einen Satz ableiten; etc..


     

     Der Sinn ist keine Seele des Satzes. Er muß, soweit wir an ihm interessiert sind, sich gänzlich ausmessen lassen, sich ganz in Zeichen offenbaren| // erschließen//.


     

     Wenn man nun fragt: hat es Sinn zu sagen “es wird    nie   das und das geben””?” — Nun, welche Evidenz gibt es dafür; und was folgt daraus? — Denn, wenn es keine Evidenz dafür gibt — nicht, daß wir noch nicht im Stande waren sie zu kriegen — sondern, daß| // wenn// keine im Kalkül    vorgesehen   wurde, — dann ist damit der Charakter dieses Satzes bestimmt. Wie das Wesen einer Zahlenart dadurch, daß kein Vergleich zwischen ihr und gewissen Rationalzahlen möglich ist.


     

     Übrigens: Eine Zahl, die heute auf bewußte Weise mittels des Fermat'schen Satzes definiert ist, wird dadurch nicht geändert, daß der Beweis dieses Satzes, oder des Gegenteils, gefunden wird. Denn der Kalkül dieser Zahl weiß von dieser Lösung des Problems nichts (und wird auch dann nichts von ihr wissen).


     

     “Ich werde nie einen Menschen mit 2 Köpfen sehen”; man glaubt durch diesen Satz irgendwie in die Unendlichkeit zu reichen. Quasi, zum mindesten eine Eisenbahn dorthin gelegt zu haben, wenn wir auch noch nicht die ganze Strecke bereist haben.
     Es liegt da die Idee zu Grunde, daß z.B. das Wort “nie” die Unend-

lichkeit bereits| // schon// mitbringe, da das eben seine Bedeutung ist.
     Es kommt darauf an: Was kann ich mit so einem Satz tun| // anfangen//; denn, auf die Frage “was bedeutet er?” kommt ja wieder ein Satz zur Antwort, und der führt mich solange nicht weiter, als ich aus der Erklärung nichts über die Züge erfahre, die ich mit den Figuren machen darf. (Als ich, sozusagen, nur immer wieder die gleiche Konfiguration vor mir sehe und keine anderen, die ich aus ihr bilden kann.) So höre ich z.B., daß keine Erfahrung diesen Satz beweisen kann und das beruhigt mich über seine unendliche Bedeutung.

     


     Aus keiner Evidenz folgt, daß dieser Satz wahr ist. Ja, aber ich kann doch    glauben  , daß er wahr ist| // daß das der Fall ist, was er sagt //! Aber was heißt das: “glauben, daß das der Fall ist”? Reicht etwa dieser Glaube in die Unendlichkeit; fliegt er der Verifikation voran? — Was heißt es, das glauben? Diesen Satz mit bestimmten Gefühlen sagen? ist es ein bestimmtes Benehmen? denn etwas andres kann es doch nicht sein. — Und dann interessiert es uns nur insofern, als es ein Kalkulieren mit dem Satz ist.


     


Intention
& Abbildung .


     


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      Wenn ich mich abbildend nach einer Vorlage richte, also weiß, daß ich jetzt den Stift so bewege, weil die Vorlage so verläuft, ist hier eine mir unmittelbar bewußte Kausalität im Spiel?

     


















     Wenn ich, den Regeln folgend, statt “↑” “a” schreibe, so ist es, als wäre hier eine Kausalität im Spiel, die nicht hypothetisch, sondern unmittelbar erlebt, wäre. (Natürlich ist nichts dergleichen der Fall.)

     


     Wenn ich mich aber nun ärgere,    weil   jemand zur Türe hereinkommt, kann ich mich hier im Nexus irren, oder erlebe ich ihn wie den Ärger?




     


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Wenn wir „nach einer bestimmten Regel abbilden”, ist diese Regel in dem Vorgang des Kopierens (Abbildens) enthalten, also aus ihm eindeutig abzulesen? Verkörpert der Vorgang des Abbildens sozusagen diese Regel?

















     


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      Wie rechtfertigt man das Resultat der Abbildung mit der allgemeinen Regel der Abbildung?

     























     

     Die Schwierigkeit ist offenbar, das nicht zu rechtfertigen versuchen, was keine Rechtfertigung verträgt| // zuläßt//.







     









     


     In gewissem Sinn bringt uns das nicht weiter. Aber es kann uns ja auch nicht    weiter  , d.h., zu einem Fundament| // zu dem Metalogischen//, bringen.

     


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Der Vorgang der absichtlichen Abbildung, der Abbildung mit der Intention abzubilden ist nicht wesentlich ein psychischer, innerer. Ein Vorgang der Manipulation mit Zeichen auf dem Papier kann dasselbe leisten.





     


     Das Behavioristische an meiner Auffassung besteht nur darin, daß ich keinen Unterschied zwischen ‘außen’ und ‘innen’ mache| an unserer Behandlung besteht nur darin, daß wir keinen Unterschied zwischen ‘außen’ und ‘innen’ machen. Weil mich die Psychologie nichts angeht.




     


     Man könnte natürlich ebensogut schreiben
x
x²
 1
1
 2
4
 3
9
 4
16
und diese Darstellung ist ganz gleichwertig mit der ersten, oder überhaupt jeder andern, wenn eine Regel festgesetzt ist, die sie von einer anderen Darstellung unterscheidet.










     


     “Wenn man einen Hund gelehrt hätte, den Zeichenverbindungen von a,b,c,d zu folgen (wobei a = ↑, b = ↓, c = →, d = ←), so mag er das mechanisch tun, aber, wenn ich nun wissen will, welches Zeichen ich ihm geben muß, um ihn einen bestimmten Linienzug laufen zu lassen, so muß ich das Zeichen von dem Linienzug nach der Regel ableiten.”

     



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      Wie hängen unsre Gedanken mit den Gegenständen zusammen über die wir denken? Wie treten diese Gegenstände in unsre Gedanken ein. (Sind sie in ihnen durch etwas Andres — etwa Ähnliches — vertreten?)
Wesen des Portraits; die Intention.








     


Was heißt es: Sich eine Vorstellung machen, die der Wirklichkeit nicht entspricht?






     


“Diese Figur des Bildes bin ich” ist ein Übereinkommen.






     


     “Ich war der Meinung (glauben), Napoleon sei 1805 gekrönt worden”. — “Warst Du die ganze Zeit ununterbrochen dieser Meinung?”


     

     “Was hat aber Deine Meinung mit Napoleon zu tun? Welcher Zusammenhang| // Welche Verbindung // besteht zwischen Deiner Meinung und Napoleon?
     Es kann, z.B., der sein, daß das Wort “Napoleon” in dem Ausdruck meiner Meinung vorkommt, plus dem Zusammenhang, den dieses Wort mit seinem Träger hat. Also etwa, daß er sich so unterschrieben hat, so angeredet wurde, etc.etc.



     


     “Aber ich habe    ihn   gemeint”. Sonderbarer Vorgang, dieses Meinen! Kann man jemanden meinen, auch wenn er in Amerika und man in Europa ist? Und| Oder gar, wenn er schon tot ist?


     


Logischer Schluß


     


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      Wissen wir, daß p aus q folgt, weil wir die Sätze verstehen? Geht das Folgen aus einem Sinn hervor?

     


      p & q = p heißt “q folgt aus p”.

     


(∃x).fx ⌵ fa = (∃x).fx, (∃x).fx & fa = fa Wie weiß ich das? (denn das Obere habe ich sozusagen bewiesen). Man möchte etwa sagen: “ich verstehe ‘(∃x).fx’ eben”. (Ein herrliches Beispiel dessen, was ‘verstehen’ heißt.)
     Ich könnte aber ebensogut fragen “wie weiß ich, daß (∃x).fx aus fa folgt” und antworten: “weil ich ‘(∃x).fx’ verstehe”. Wie weiß ich aber wirklich, daß es folgt? — Weil ich so kalkuliere.






     


     Hinter die Regeln kann man nicht dringen, weil es kein Dahinter gibt.


     

     fE & fa = fa Kann man sagen: das ist nur möglich, wenn fE aus fa folgt; oder muß man sagen: das bestimmt, daß fE aus fa folgt?| //folgen soll.//


     

     Wenn das erste, so muß es vermöge der Struktur folgen, etwa indem fE durch eine Definition so bestimmt ist, daß es die entsprechende Struktur hat. Aber kann denn wirklich das folgen, gleichsam aus der sichtbaren Struktur der Zeichen hervorgehen, wie ein physikalisches Verhalten aus einer physikalischen Eigenschaft, und braucht etwa nicht vielmehr immer solche    Bestimmungen  , wie die Gleichung fE & fa = fa? Ist es etwa den p⌵q anzusehen, daß es aus p folgt, oder auch nur den Regeln, welche Russell für die Wahrheitsfunktionen gibt?








     

     Kann man sagen: ‘Kalkül’ ist kein mathematischer Begriff?

     


     Wenn ich sagte: “ob p aus q folgt, muß aus p und q allein zu ersehen sein| //hervorgehen//”; so müßte es heißen: daß p aus q folgt, ist eine Bestimmung, die den Sinn von p und q bestimmt;

nicht etwas, das, von dem Sinn dieser beiden ausgesagt, wahr ist. Daher kann man (sehr) wohl die Schlußregeln angeben, gibt damit aber Regeln für die Benützung der Schriftzeichen an, die deren Sinn erst bestimmen; was nichts andres heißt, als daß diese Regeln willkürlich festzusetzen sind; d.h. nicht von der Wirklichkeit abzulesen, wie eine Beschreibung. Denn, wenn ich sage, die Regeln sind willkürlich, so meine ich, sie sind nicht von der Wirklichkeit determiniert, wie die Beschreibung dieser Wirklichkeit. Und das heißt: Es ist Unsinn, von ihnen zu sagen, sie stimmen mit der Wirklichkeit überein; die Regeln über die Wörter “blau”, “rot”, etwa, stimmten mit den Tatsachen, die diese Farben betreffen, überein, etc..

     


     Die Gleichung p & q = p zeigt eigentlich den Zusammenhang des Folgens und der Wahrheitsfunktionen.

     


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      “Wenn p aus q folgt, so muß p in q schon mitgedacht sein”.

     


     Bedenke, daß aus dem allgemeinen Satz eine logische Summe von, sagen wir, hundert Summanden folgen könnte, an die wir doch bestimmt nicht gedacht haben, als wir den allgemeinen Satz aussprachen. Können wir nicht dennoch sagen, daß sie aus ihm folgt?


     



      “Wo immer Du die Scheibe triffst hast … Du gewonnen. — Du hast sie rechts oben getroffen, also …”



     


     “Das Kreuz liegt    so   auf der Geraden: ” — “Es liegt    also   zwischen den Strichen …”
     “Es hat hier 161/2˚”. — “Es hat also jedenfalls mehr als 15˚.”
     Wenn man sich übrigens wundert, daß dieser Satz aus jenem folgt, obwohl man doch bei jenem gar nicht an ihn dachte,| //daß ein Satz aus dem andern folgt, obwohl man doch bei diesem gar nicht an jenen dachte,// so denke man nur daran, daß p ⌵ q aus p folgt, und ich denke doch gewiß nicht alle Sätze p ⌵ x wenn ich p denke.



     


     Wenn das Kriterium dafür, daß p aus q folgt, darin besteht, daß man “beim Denken von q p mitdenkt”, so denkt man wohl beim Denken des Satzes “in dieser Kiste sind 105 Sandkörner” die 105 Sätze: “in dieser Kiste ist    ein   Sandkorn”, “… 2 Sandkörner”, etc., etc.? Was ist denn hier das Kriterium des Mitdenkens!
     Und wie ist es mit einem Satz: “ein Fleck (F) liegt zwischen den Grenzen AA”? Folgt aus ihm nicht, daß F auch zwischen BB und CC liegt, u.s.w.? Folgen hier aus    einem   Satz unendlich viele? und ist er also unendlich vielsagend? — Aus dem Satz “ein Fleck liegt zwischen den Grenzen AA” folgt jeder Satz von der Art “ein Fleck liegt zwischen den Grenzen BB”, den ich hinschreibe — und so viele, als ich hinschreibe. Wie aus p soviele Sätze der Form p ⌵ x folgen, als ich hinschreibe (oder ausspreche, etc.). (Der Induktionsbeweis beweist soviele Sätze von der Form … als ich hinschreibe.)

     


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      Der Fall: unendlich viele Sätze folgen aus einem.



     

     Man denkt sich wohl, der allgemeine Satz ist eine abgekürzte Ausdrucksweise des Produkts. Aber was ist am Produkt abzukürzen, es enthält ja nichts Überflüssiges.

     


     Wenn man ein Beispiel braucht dafür, daß unendlich viele Sätze aus    einem   folgen, so wäre vielleicht das Einfachste das, daß aus “a ist rot” die Negation aller Sätze folgt, die a eine andere Farbe zuschreiben. Diese negativen Sätze werden gewiß in dem einen nicht mitgedacht. Man könnte natürlich sagen: wir unterscheiden doch nicht unendlich viele Farbtöne; aber die Frage ist: hat die Anzahl der Farbtöne, die wir unterscheiden, überhaupt etwas mit der Komplikation jenes ersten Satzes zu tun; ist er mehr oder weniger komplex, je nachdem wir mehr oder weniger Farbtöne unterscheiden?
     Müßte man nun nicht so sagen: Ein Satz folgt erst aus ihm, wenn er da ist. Erst wenn wir zehn Sätze gebildet haben, die aus dem ersten folgen, folgen zehn Sätze aus ihm.


     


     
Wie verhält es sich nun mit dem Satz: “die Fläche ist von A bis B weiß”? Aus ihm folgt doch, daß sie auch von A' bis B' weiß ist. Es braucht sich da nicht um gesehenes Weiß zu handeln; und der Schluß von dem ersten Satz auf den zweiten wird jedenfalls immer wieder ausgeführt. Es sagt mir einer “ich habe die Fläche von A bis B damit bestrichen” und ich sage darauf “also ist sie jedenfalls von A' bis B' angestrichen”.
     


     



      Sind die Striche A' und B' vorhanden, dann folgt allerdings jener zweite Satz aus dem ersten (?— dann ist die Zusammengesetztheit schon in dem ersten Satz offenbar? vorhanden —?) dann folgen aber aus dem ersten Satz nur so viele Sätze, als seiner Zusammengesetztheit entspricht (also nie unendlich viele).





     


     Der Schluß lautet auch nicht so: “wo immer auf der Scheibe der Schuß hintrifft, hast Du gewonnen. Du hast auf der Scheibe    da  hin getroffen, also hast Du den Preis gewonnen”. Denn wo? ist dieses    da  ? wie ist es außer dem Schuß bezeichnet, etwa durch einen Kreis? Und war der auch schon früher auf der Scheibe? Wenn nicht, so hat die Scheibe sich ja verändert, wäre er aber schon dort gewesen, dann wäre er als eine Möglichkeit des Treffens vorgesehen worden. Es muß vielmehr heißen: “Du hast die Scheibe getroffen, also …”.




     


     Man kann ein bestimmtes Grau ebensowenig als eines der unendlich vielen Grau zwischen Schwarz und Weiß auffassen, wie man eine Tangente t als eine der unendlich vielen
     
Übergangsstadien von t' nach t'' auffassen kann. Wenn ich etwa ein Lineal von t' nach t'' am Kreis abrollen sehe, so sehe ich — wenn es sich kontinuierlich bewegt — keine einzige der Zwischenlagen in dem Sinne, in welchem ich t sehe, wenn die Tangente ruht; oder aber ich sehe nur eine endliche Anzahl von Zwischenlagen. Wenn ich aber in so einem Fall scheinbar von einem allgemeinen Satz auf einen Spezialfall schließe, so ist die Quelle dieses allgemeinen Satzes nie die Erfahrung und der Satz wirklich kein Satz.
     Wenn ich z.B. sage: “Ich habe das Lineal sich von t' nach t'' bewegen sehen,    also   muß ich es auch in t gesehen haben”, so haben wir hier keinen richtigen logischen Schluß. Wenn ich nämlich damit sagen will, das Lineal muß mit in der Lage t    erschienen   sein — wenn ich also von der Lage im Gesichtsraum rede, so folgt das aus dem Vordersatz durchaus nicht. Rede ich aber vom physischen Lineal, so ist es natürlich möglich, daß das Lineal die Lage t übersprungen hat und das Phänomen im Gesichtsraum dennoch kontinuierlich war.

     


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      Kann eine Erfahrung lehren, daß dieser Satz aus jenem folgt?



     


     “Wie kann ich wissen, was alles folgen wird?” — Was ich dann wissen kann, kann ich auch jetzt wissen.






     


      Aus der Grammatik des Satzes — und aus ihr allein, muß es hervorgehen, ob ein Satz aus ihm folgt. Keine Einsicht in einen neuen Sinn kann das ergeben; — sondern nur die Einsicht in den alten Sinn. — Es ist nicht möglich, einen neuen Satz zu bilden, der aus jenem folgt, den man nicht hätte bilden können (wenn auch ohne zu wissen, ob er wahr oder falsch ist) als jener gebildet wurde. Entdeckte man einen neuen Sinn und folge dieser aus jenem| dem ersten Satz, so hätte dieser Satz dann nicht seinen Sinn geändert.

     


Allgemeinheit


     


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      Der Satz „der Kreis befindet sich im Quadrat” in gewissem Sinne unabhängig von der Angabe einer bestimmten Lage (er hat, in gewissem Sinne, nichts mit ihr zu tun).

     


     Ich möchte sagen: das allgemeine Bild ! o ! hat eine andre Metrik als das besondere.


     


     Wie man die Zeichnung ! o! als eine Darstellung des “allgemeinen Falls” ansehen kann. Quasi nicht im Maßraum, sondern so, daß die Distanzen des Kreises von den Geraden gar nichts ausmachen. Man sieht dann das Bild als Fall eines anderen Systems, wie wenn man es als Darstellung einer besonderen Lage des Kreises zwischen den Geraden sieht. Oder richtiger: Es ist dann Bestandteils eines andren Kalküls. Von der Variablen gelten eben andre Regeln, als von ihrem besonderen Wert.

     


     ”Woher| Wie weißt Du, daß er im Zimmer ist?” — “Weil ich ihn hineingesteckt habe und er nirgends heraus kann.” — So ist also Dein Wissen der allgemeinen Tatsache, daß er irgendwo im Zimmer ist, auch von der Multiplizität dieses Grundes.

     


     Nehmen wir die besonderen Fälle des allgemeinen Sachverhalts, daß das Kreuz sich zwischen den Grenzstrichen befindet:
Jeder dieser Fälle z.B. hat eine| //seine// besondere Individualität. Tritt diese Individualität irgendwie in den Sinn des allgemeinen Satzes ein? Offenbar nicht.













     


     “Alle Helligkeitsgrade unter diesem tun meinen Augen weh”. Das heißt, ich habe beobachtet, daß die bisherigen Erfahrungen einem formalen Gesetz entsprechen. Prüfe die Art der Allgemeinheit.

     


     “Alle Punkte dieser Fläche sind weiß”. Wie verifizierst Du das? — dann werde ich wissen, was es heißt.

     


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      Der Satz „der Kreis liegt im Quadrat” keine Disjunktion von Fällen







     


      (∃x).fx & non-fa, (∃x).fx&non-fa & non-fb & non-fc
“Das Kreuz befindet sich irgendwo zwischen den Strichen, außer in der Lage a.” Man könnte nun fragen: wird durch solche fortgesetzte Subtraktion von Möglichkeiten endlich eine Kontradiktion erzeugt?

     


     Angenommen, ich gäbe eine Disjunktion von so vielen Stellungen an, daß es mir unmöglich wäre, eine Stellung von allen angegebenen als verschie-

den zu erkennen| //sehen//; wäre    nun   die Disjunktion der allgemeine Satz (∃x).fx? Wäre es nicht sozusagen Pedanterie, die Disjunktion noch immer nicht als den allgemeinen Satz anzuerkennen? Oder besteht ein wesentlicher Unterschied, und ist die Disjunktion vielleicht dem allgemeinen Satz gar nicht ähnlich?



     


      Was ist denn das Kriterium dafür (für den allgemeinen Satz) daß der Kreis im Quadrat ist? Entweder überhaupt nichts, was mit einer Mehrheit von Lagen (bzw. Größen) zu tun hat, oder aber etwas, was mit einer endlichen Anzahl solcher Lagen zu tun hat.


     


     Wie ist der Umfang des Begriffs “Dazwischenliegen” bestimmt? Denn es soll doch im vorhinein festgelegt werden, welche Möglichkeiten zu diesem Begriff gehören. Es kann, wie ich sage, keine Überraschung sein, daß ich auch    das   “dazwischenliegen” nenne. Oder: wie können die Regeln für das Wort “dazwischenliegen” angegeben werden, da ich doch nicht die Fälle des Dazwischenliegens aufzählen kann? Natürlich muß gerade das für die Bedeutung dieses Worts charakteristisch sein.


     

     Wir würden das Wort ja auch nicht durch Hinweisen auf    alle besonderen Fälle   jemandem zu erklären suchen, sondern| aber wohl indem wir auf einen solchen Fall (oder einige) zeigten und in irgendeiner Weise andeuteten, daß es auf den besonderen Fall nicht ankomme.



     


     Zu sagen “der Kreis liegt entweder zwischen den beiden Geraden oder    hier  ” (wo dieses| das ‘hier’ ein Ort zwischen den Geraden ist) heißt offenbar nur: “der Kreis liegt zwischen den beiden Geraden”, und der Zusatz “oder hier” erscheint| ist überflüssig. Man wird sagen: in dem ‘irgendwo’ ist das ‘hier’ schon mitinbegriffen. Das ist aber merkwürdig, weil es nicht (darin) genannt ist.


     

     Eine bestimmte Schwierigkeit besteht darin, daß| wenn die Worte| Zeichen das nicht zu sagen scheinen, was der Gedanke erfaßt, oder: wenn die Worte das nicht sagen, was der Gedanke zu erfassen scheint.

     

     So, wenn wir sagen “dieser Satz gilt von allen Zahlen” und glauben in dem Gedanken alle Zahlen wie die Äpfel in einer Kiste gefaßt| //aufgefaßt// zu haben.

     


     Nun könnte man aber fragen: Wie kann ich (nun?) im Voraus wissen, aus welchen Sätzen dieser allgemeine Satz folgt? Wenn ich diese Sätze nicht angeben kann.

     


     Kann man aber sagen: “man kann nicht sagen, aus welchen Sätzen dieser Satz folgt”? Das klingt so wie: man weiß es nicht. Aber so ist es natürlich nicht. Und ich kann ja Sätze sagen, und im vorhinein sagen, aus denen er folgt. — “Nur nicht    alle  ”. — Aber das heißt ja eben nichts.


     

     Es ist eben nur der allgemeine Satz und besondere Sätze (nicht die besonderen Sätze). Aber der allgemeine Satz zählt besondere Sätze nicht auf. Aber was charakterisiert ihn denn dann als allgemein, und was zeigt, daß er nicht einfach diejenigen| //die// besonderen Sätze umschließt, von denen wir in diesem bestimmten Falle sprechen?


     

     Er kann nicht durch seine Spezialfälle charakterisiert werden; denn wieviele man auch aufzählt, so könnte er immer mit dem Produkt der angeführten Fälle| //Spezialfälle// verwechselt werden. Seine Allgemeinheit liegt also in einer Eigenschaft (grammatischen Eigenschaft) der Variablen.

     


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      Unzulänglichkeit der Frege- & Russellschen Allgemeinheitsbezeichnung.

     



     
     Die eigentliche Schwierigkeit liegt nämlich im Begriff des ‘(∃ n)’ und allgemein des ‘(∃ x)’. Ursprünglich stammt diese Notation vom Ausdruck unsrer Wortsprache her: “es gibt ein … von der und der Eigenschaft”. Und was hier an Stelle der Punkte steht, ist etwa “Buch meiner Bibliothek”, oder “Ding (Körper) in diesem Zimmer”, “Wort in diesem Brief”, u.s.w.. Man denkt dabei an Gegenstände, die man der Reihe nach durchgehen kann. Durch einen, so oft verwendeten| //angewandten//, Prozeß der Sublimierung wurde diese Form dann zu der: “es gibt einen Gegenstand, für welchen…”, und hier dachte man sich ursprünglich auch die Gegenstände der Welt ganz analog den ‘Gegenständen’ im Zimmer (nämlich den Tischen, Stühlen, Büchern, etc.). Obwohl es ganz klar ist, daß die Grammatik dieses “(∃x). etc.” in vielen Fällen eine ganz andere ist, als im primitiven und als Urbild dienenden Fall.

Besonders kraß wird die Diskrepanz zwischen dem ursprünglichen Bild und dem, worauf die Notation nun angewendet werden soll| //angewendet wird//, wenn ein Satz “in diesem Viereck sind nur zwei Kreise” wiedergegeben wird durch die| //in der// Form “es gibt keinen Gegenstand, der die Eigenschaft hat, ein Kreis in diesem Viereck, aber weder der Kreis a noch der Kreis b zu sein”, oder “es gibt nicht drei Gegenstände, die die Eigenschaft haben, ein Kreis in diesem Viereck zu sein”. Der Satz “es gibt nur zwei Dinge, die Kreise in diesem Viereck sind” (analog gebildet dem Satz “es gibt nur zwei Menschen, die diesen Berg erstiegen haben”) klingt verrückt; und mit Recht. D.h., es ist nichts damit gewonnen, das wir den Satz “in diesem Viereck sind zwei Kreise” in jene Form pressen; vielmehr hilft uns das nur zu übersehen, daß wir die Grammatik dieses Satzes nicht klargestellt haben. Zugleich aber gibt hier die Russellsche Notation einen Schein von Exaktheit, der manchen glauben macht, die Probleme seien dadurch gelöst, daß man den Satz auf die Russellsche Form gebracht hat. (Es ist das eben so gefährlich, wie der Gebrauch des Wortes “wahrscheinlich”, ohne weitere Untersuchung darüber, wie das Wort in diesem speziellen Fall gebraucht wird. Auch das Wort “wahrscheinlich” ist, aus leicht verständlichen Gründen, mit einer Idee der Exaktheit verbunden.)
     In allen den Fällen: “Einer der vier Füße dieses Tisches hält nicht”, “es gibt Engländer mit schwarzen Haaren”, “auf dieser Wand ist ein Fleck”, “die beiden Töpfe haben das gleiche Gewicht”, “auf beiden Seiten stehen gleichviel Wörter” — wird in der Russellschen Notation das “(∃…)…” gebraucht; und jedesmal mit anderer Grammatik. Damit will ich also sagen, daß mit einer Übersetzung so eines Satzes aus der Wortsprache in die Russellsche Notation nicht viel gewonnen ist.

     


     Unzulänglichkeit der Fregeschen und Russellschen Allgemeinheitsbezeichnung.
     Es hat Sinn, zu sagen “schreib' eine beliebige Kardinalzahl hin”, ist aber Unsinn zu sagen: “schreib' alle Kardinalzahlen hin”. “In dem Viereck befindet sich ein Kreis” ((∃x).fx) hat Sinn, aber nicht non(∃x).non fx: “in dem Viereck befinden sich alle Kreise”. “Auf einem andersfarbigen Hintergrund befindet sich ein roter Kreis” hat Sinn, aber nicht “es gibt keine von rot verschiedene Farbe eines Hintergrundes, auf der sich kein roter Kreis befindet”.
     “In diesem Viereck ist ein schwarzer Kreis”: Wenn dieser Satz die Form “(∃x).x ist ein schwarzer Kreis im Viereck” hat, was| //welcher Art// ist so ein Ding x, welches| //das// die Eigenschaft hat, ein schwarzer Kreis zu sein (und also auch die haben kann,    kein   schwarzer Kreis zu sein)? Ist es etwa ein Ort im Quadrat? dann aber gibt es keinen Satz “ (x).x ist ein schwarzer…”. Anderseits könnte jener Satz bedeuten “es gibt einen Fleck im Quadrat, der ein schwarzer Kreis ist”. Wie verifiziert man diesen Satz? Nun, man geht die verschiedenen Flecken im Quadrat durch und untersucht sie daraufhin, ob sie ganz schwarz und kreisförmig sind. Welcher Art ist aber der Satz: “Es ist kein Fleck in dem Quadrat”? Denn, wenn das ‘x’ in ‘ (∃x)’ im vorigen Fall ‘Fleck im Quadrat’ hieß, dann kann es zwar einen Satz “(∃x).fx” geben, aber keinen “(∃x)” oder “non(∃x)”. Oder, ich könnte wieder fragen: Was ist das für ein Ding, das die Eigenschaft hat (oder nicht hat) ein Fleck im Quadrat zu sein?
     Und wenn man sagen kann “ein Fleck ist in dem Quadrat”, hat es

dann| //damit// auch schon Sinn, zu sagen “alle Flecken sind in dem Quadrat”? Welche    alle  ?


     

     (Der schwierigste Standpunkt in der Logik ist der des gesunden Menschenverstandes. Denn er verlangt zur Rechtfertigung seiner Meinung die volle Wahrheit und hilft uns nicht, durch die geringste Konzession, oder Konstruktion.)



     


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     Kritik meiner früheren Auffassung der Allgemeinheit.

     


     Meine Auffassung des allgemeinen Satzes war , daß (∃x).fx eine logische Summe ist und daß nur ihre Summanden    hier   nicht aufgezählt seien, sich aber aufzählen ließen (und zwar aus dem Wörterbuch und der Grammatik der Sprache).
     Denn ließen sie sich nicht aufzählen, so handelt es sich ja doch nicht um eine| um keine logische Summe|//, so haben wir ja doch keine logische Summe//. (Vielleicht ein Gesetz, logische Summen zu bilden.)

     


     Die Erklärung von (∃x).fx als einer logischen Summe und (x).fx als logischem Produkt kann natürlich nicht aufrecht erhalten werden. Sie ging mit einer falschen Auffassung der logischen Analyse zusammen, indem ich etwa dachte, das logische Produkt für ein bestimmtes (x).fx werde sich schon einmal finden. — Es ist natürlich richtig, daß (∃x).fx irgendwie als logische Summe funktioniert und (x).fx als Produkt; ja in    einer   Verwendungsart der Worte “alle” und “einige” ist meine alte Erklärung richtig, nämlich — z.B. — in dem Falle “alle primären Farben finden sich in diesem Bild” oder “alle Töne der C-Dur Tonleiter kommen in diesem Thema vor”. In Fällen aber wie “alle Menschen sterben, ehe sie 200 Jahre alt werden” stimmt meine Erklärung nicht. Daß nun aber

(∃x).fx als logische Summe funktioniert ist darin ausgedrückt, daß es aus fa und aus fa .⌵. fb folgt, also in den Regeln:
     
      ( ∃x).fx .&. fa = fa und
     (∃x).fx :&: fa.⌵.fb = fa.⌵.fb .
     Aus diesen Regeln ergeben sich dann die Grundgesetze Russells
      fx .C. (∃z).fz und
     literalfx.⌵.fy :C: (∃z).fz als Tautologien.

     


     Für ( ∃x).fx, etc. brauchen wir auch die Regeln:
     (∃x). fx ⌵ Fx = (∃x).fx .⌵. (∃x).Fx,
(∃x,y). fx&Fy .⌵. (∃x).fx .&. Fx = (∃x).fx .&. (∃x).Fx.
Jede solche Regel ist ein Ausdruck der Analogie zwischen (∃x).fx und einer logischen Summe.





     


     Es gibt so viel verschiedene Allgemeinheiten, als es verschiedene Zahlarten gibt.| //Es gibt so viel verschiedene ‘alle’, als es

verschiedene ‘Eins’ gibt.//


     

     Darum nützt es nichts, zur Klärung das Wort “alle” zu gebrauchen, wenn man seine Grammatik in    diesem   Falle noch nicht kennt.

     


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      Erklärung der Allgemeinheit durch Beispiele


     

     Es wäre also möglich, zu sagen ‘jetzt sehe ich das nicht mehr als Rose, sondern nur noch als Pflanze’!
     Oder: “Jetzt sehe ich es nur als    diese   Rose”.
     “Ich sehe den Fleck nur noch im Quadrat, aber nicht mehr in einer bestimmten Lage”.


     

     Der seelische Vorgang des Verstehens interessiert uns eben gar nicht. (So wenig, wie der einer Intuition.)






     

     “Such aus diesen Federstielen die    so   geformten heraus”. — — “Ich wußte nicht, ob Du diesen auch noch dazu rechnest”.













     


     Man könnte dann freilich nicht sagen, wir befolgen F(∃) anders, wenn wir f(d) tun, als eine Disjunktion, worin| in welcher f(d) vorkommt, denn F(∃) = F(∃) ⌵ f(d). Wem der Befehl gegeben wird “hole mir irgend eine Pflanze, oder diese” (von welcher ihm ein Bild mitgegeben wird), der wird dieses Bild ruhig beiseite legen und sich sagen “da es irgend eine tut, so geht mich dieses Bild nichts an”. Dagegen werden wir das Bild nicht einfach beiseite legen dürfen, wenn es uns mit fünf anderen gegeben wurde und der Befehl lautete, eine von diesen sechs Pflanzen zu bringen. (Es kommt also darauf an, in    welcher   Disjunktion sich der besondere Befehl befindet.) Und nach dem Befehl “f(a) ⌵ f(b) ⌵ f(c)” wird man sich anders richten, als nach dem Befehl “f(∃)” (=f(∃) ⌵ f(c)), auch wenn man jedes

Mal f(c) tut. — Das Bild f(c) geht in f(∃) unter. (Und es hilft uns ja nichts in einem Kahn zu sitzen, wenn wir mitsamt ihm unter Wasser sind und sinken.) Man möchte (uns?) sagen: Wenn Du auf den Befehl “f(∃)” f(c) tust, so hätte Dir ja auch f(c) ausdrücklich erlaubt sein können, und wie hätte sich dann der allgemeine Befehl von einer Disjunktion unterschieden? — Aber auf diese Erlaubnis hättest Du Dich eben, in der? Disjunktion mit dem allgemeinen Satz, gar? nicht    stützen   können.
     Ist es also so, daß der Befehl “bringe mir eine Blume” nie durch den Befehl ersetzt werden kann von der Form “bringe mir a oder b oder c”, sondern immer lauten muß “bringe mir a oder b oder c,    oder eine andere Blume  ”?
      Aber warum tut der allgemeine Satz so unbestimmt, wenn ich ja doch jeden Fall, der wirklich eintritt, auch im Voraus hätte beschreiben können?





     

     Auf keinem Umweg kann, was über eine Aufzählung von Einzelfällen gesagt ist| wird, die Erklärung der Allgemeinheit ergeben. | sein.

     


“Jetzt” wirkt eben anders …



     


empty
Bildungsgesetz einer Reihe.
“u.s.w.”


     


     Man kann für den Gebrauch der Variablen wohl eine Regel aufstellen und es ist kein Pleonasmus, daß wir dabei eben diese Art der Variablen gebrauchen. Denn brauchten wir sie nicht, so wäre ja durch die Regeln die Variable definiert. Und wir nehmen ja nicht an, daß sie sich definieren lasse, oder: daß sie definiert werden müsse (denn einmal nehmen die Definitionen doch ein| ihr Ende).

     


     Das heißt (nur?), daß — z.B. — die Variable “x²” keine Abkürzung ist (etwa für eine logische Summe) und daß in unserm Gedanken auch nur ein Zeichen dieser Multiplizität vorhanden ist.

     


     Worin besteht aber — z.B. — die unendliche Möglichkeit der Besetzung einer| der Variablen? Wie kann man sich etwa nach der Regel richten: “an diese Stelle darf keine Zahl gesetzt werden”? Die Allgemeinheit so einer| dieser Vorschrift muß von der Art der hypothetischen Allgemeinheit (alle Menschen sind sterblich) sein.

     


     Es scheint mir nicht, als könnte eine Allgemeinheit über eine bestimmte Aufzählung mit einer Art schattenhafter Aufzählung hinausgehen.



     


     Was aber macht ein Zeichen zum Ausdruck der Unendlichkeit? Was gibt ihm den eigentümlichen Charakter dessen, was wir unendlich nennen? Ich glaube, daß es sich ähnlich verhält wie das Zeichen einer enormen Zahl. Denn das Charakteristische des Unendlichen, wie man es so? auffaßt, ist seine enorme Größe.

     


     Aber es gibt nicht etwas, was eine Aufzählung ist und doch keine Aufzählung. Eine Allgemeinheit, die quasi nebelhaft aufzählt, aber nicht wirklich und bis zu einer bestimmten Grenze.


     

     Die Punkte in “1+1+1+1…” sind eben auch nur die vier Punkte| Pünktchen. Ein Zeichen, für das sich gewisse Regeln angeben lassen müssen. (Nämlich dieselben, wie für das Zeichen “u.s.w. ad infinitum”) Dieses Zeichen ahmt zwar die Aufzählung in gewisser Weise nach, ist aber keine Aufzählung. Und das heißt wohl, daß die Regeln, die von ihm gelten, bis zu einem Punkt mit denen, die von einer Aufzählung gelten, übereinstimmen, aber nicht ganz übereinstimmen.


     

     Es gibt kein Mittelding zwischen einer| //der// bestimmten Aufzählung und der Variablen.| //und dem allgemeinen Zeichen.//

     


     Wir zeigen ihm einige Multiplikationen und verlangen, daß es dann andre mit größeren Zahlen selbst ausführe.




     

     Nun scheint es aber, als wäre damit etwas (aus der Logik)    weggeleugnet  . Etwa gerade die Allgemeinheit; oder das, was die Punkte andeuten. Das Unfertige (Lockere, Dehnbare) der Reihe| //Zahlenreihe//. Und natürlich dürfen und können wir nichts wegleugnen. Wo kommt also diese Unbestimmtheit zum Ausdruck? Etwa so: Wenn wir Zahlen anführen, die wir statt der Variablen a einsetzen dürfen, so sagen wir von keiner, es sei die letzte, oder höchste.


     

     Würde uns aber nun nach der Erklärung einer Rechnungsart jemand fragen: “und ist nun 103 das letzte Zeichen, welches ich benützen kann”; was sollen wir antworten? “Nein, es ist nicht das letzte”, oder “es gibt kein letztes”? — Aber muß ich ihn nicht zurückfragen: “Und wenn es nicht das letzte ist, was käme dann noch?” Und sagt er nun “104”, so müßte ich sagen: Ganz richtig, du kannst die Reihe selber fortsetzen.


     

     (Nur vor dem Geschwätz muß man sich in der Philosophie hüten. Eine Regel aber, die praktisch anwendbar ist, ist immer in Ordnung.)


     

     Es ist klar, daß man einer Regel von der Art /a, x, x+1/ folgen kann; ich meine, ohne schon von vornherein die Reihe hinschreiben zu können, sondern, indem man sich wirklich nach der Bildungsregel richtet| //indem man wirklich der Bildungsregel folgt//. Es ist ja dann dasselbe, wie wenn ich eine Reihe etwa mit der Zahl 1 anfinge und sagte: “nun gib 7 dazu, multipliziere mit 5 und zieh' die Wurzel, und diese zusammengesetzte Operation wende immer wieder auf das| //ihr// Resultat an”. (Das wäre ja die Regel .)

     


     Schließlich ist ja das Wort “u.s.w.” nichts anderes, als das    Wort   “   u.s.w.  ”. (d.h. wieder als ein Zeichen des Kalküls, das nicht mehr tun kann, als durch die Regeln zu bedeuten, die von ihm gelten. Das nicht mehr sagen kann, als es zeigt.)
     D.h. es wohnt dem Wort “u.s.w.” keine geheime Kraft inne, durch die nun die Reihe fortgesetzt wird, ohne fortgesetzt zu werden.

     


     Das wohl nicht, wird man sagen, aber eben die Bedeutung der unendlichen Fortsetzung.

     


     Man könnte nun? aber fragen: Wie kommt es, daß der, welcher die allgemeine Regel nun auf eine weitere Zahl anwendet, nur    dieser   Regel folgt. Daß keine weitere Regel nötig war, die ihm erlaubt, die allgemeine auch auf diesen Fall anzuwenden; und daß doch dieser Fall in der (allgemeinen) Regel nicht genannt war.

     

     Es wundert uns also, daß wir diesen Abgrund zwischen den einzelnen Zahlen und dem allgemeinen Satz nicht überbrücken können.

     


     “Kann man sich einen leeren Raum vorstellen?” (Diese Frage gehört merkwürdigerweise hierher.)


     

     Es ist einer der tiefstwurzelnden Fehler der Philosophie: die Möglichkeit als ein Schatten der Wirklichkeit. |//, die Möglichkeit als einen Schatten der Wirklichkeit zu sehen.//
     Anderseits aber kann es kein Irrtum sein, und|. Und das ist es auch nicht, wenn man den Satz diesen Schatten nennt.



     

     Das, was mich nun bedrückt, ist, daß das “u.s.w.” scheinbar auch in den Regeln für das Zeichen “u.s.w.” vorkommen muß. Z.B. ist 1, 1+1, u.s.w. = 1, 1+1, 1+1+1, u.s.w. u.s.w..


     

     Aber haben wir denn hier nicht die alte Erkenntnis, daß wir die Sprache nur von außen beschreiben können? Daß wir also nicht erwarten dürfen, durch eine Beschreibung der Sprache in andere Tiefen zu dringen, als die Sprache selbst offenbart: Denn die Sprache beschreiben wir mittels der Sprache.


     

     Wir könnten sagen: Es ist ja gar kein Anlaß, zu fürchten, daß wir das Wort “u.s.w.” in einer das Endliche übersteigenden Weise gebrauchen.


     

     Übrigens kann der, für das “u.s.w.” charakteristische Teil seiner Grammatik nicht in Regeln über die Verbindung von “u.s.w.” mit ein-

zelnen Zahlzeichen (nicht: “   den   einzelnen Zahlzeichen”) bestehen — denn diese Regeln geben ja wieder ein beliebiges Stück einer Reihe — sondern in Regeln der Verbindung von “u.s.w.” mit “u.s.w.”.

     


     Die Möglichkeit noch weitere Zahlen anzuführen. Die Schwierigkeit scheint uns die zu sein, daß die Zahlen, die ich tatsächlich ange-

führt habe, ja gar nicht wesentlich sind| //keine wesentliche Gruppe sind// und nichts dies andeutet, daß sie eine    beliebige   Kollektion sind:    die zufällig aufgeschriebenen unter allen Zahlen  .
     (So, als hätte ich in einer Schachtel alle Steine eines Spiels und auf dem Tisch daneben eine zufällige Auswahl aus dieser Schachtel.
     Oder, als wären die einen Ziffern in Tinte    nachgezogen  , während sie alle schon gleichsam blaß vorgezeichnet sind.)
     Daß wir aber außer diesen zufällig benützten nur die allgemeine Form haben.
     Haben wir hier übrigens nicht — so komisch das klingt — den Unterschied zwischen Zahlzeichen und Zahlen?

     


     Darin hatte ich freilich recht, daß die unendliche Möglichkeit (z.B. unendliche Teilbarkeit) einer ganz anderen grammatischen Kategorie angehört, als die endliche (Möglichkeit in 3 Teile zu teilen). Aber damit ist noch nicht die Grammatik des Wortes “unendlich”    bestimmt  .




     


      Als was    sieht   man denn “ 1, 1+1, 1+1+1,…” an?
     Als eine ungenaue Ausdrucksweise. Die Pünktchen sind so, wie weitere Zahlzeichen, die aber undeutlich sind. So, als hörte man auf, Zahlzeichen hinzuschreiben, weil man ja doch nicht alle hinschreiben kann, aber als seien sie allerdings, quasi, in einer Kiste, vorhanden.| //… aber als seien sie wohl, gleichsam in einer Kiste vorhanden.// Etwa auch, wie wenn ich von einer Melodie nur die ersten Töne deutlich singe und den Rest nur noch andeute und in Nichts auslaufen lasse. (Oder wenn man beim Schreiben von einem Wort nur wenige Buchstaben deutlich schreibt und mit einem unarti-

kulierten Strich endet.)    Wo dann dem ‘undeutlich’ ein ‘deutlich’ entspräche  .

     


     Ich habe einmal gesagt, es könne nicht Zahlen geben    und   den Begriff der Zahl. Und das ist richtig, wenn es heißt, daß die Variable zur Zahl nicht so steht, wie der Begriff Apfel zu einem Apfel (oder der Begriff Schwert zu Nothung).
     Anderseits    ist die Zahlvariable kein Zahlzeichen  .

     


     Ich wollte aber auch sagen, daß der Zahlbegriff nicht unabhängig von den Zahlen (gegeben) sein könnte, und das ist nicht wahr. Sondern die Zahlvariable ist in dem Sinne von einzelnen Zahlen unabhängig, als es einen Kalkül mit einer Klasse unsrer Zahlzeichen, und ohne die allgemeine Zahlvariable, wohl gibt. Freilich gelten dann eben nicht alle Regeln von diesen Zahlzeichen, die von unsern gelten, aber doch entsprechen sie unseren, wie die Damesteine im Damespiel denen im Schlagdamespiel.


     


     Wogegen ich mich wehre, ist die Anschauung, daß eine| //die// unendliche Zahlenreihe etwas uns Gegebenes sei, worüber es nun spezielle Zahlensätze und auch allgemeine Sätze über alle Zahlen der Reihe gibt. So daß der arithmetische Kalkül nicht vollständig wäre, wenn er nicht auch die allgemeinen Sätze über die Kardinalzahlen enthielte, nämlich allgemeine Gleichungen der Art a+(b+c) = (a+b)+c. Während schon 1:3 = 0,3∙ einem andern Kalkül angehört als 1:3 = 0,3. Und so ist eine allgemeine Zeichenregel (z.B. rekursive Definition), die für 1, (1)+1, ((1)+1)+1, (((1)+1)+1)+1, u.s.w. gilt, etwas andres, als eine spezielle Definition. Und die allgemeine Regel fügt dem Zahlenkalkül etwas neues bei, ohne welches er ebenso vollständig gewesen wäre, wie die Arithmetik der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5.


     

     Man wird vielleicht sagen: aber ‘Kardinalzahl’ steht doch im Gegensatz zu ‘Rationalzahl’, ‘reelle Zahl’ etc.. Aber dieser Unterschied ist ein Unterschied der Regeln (der von ihnen geltenden Spielregeln) — nicht einer, der Stellung auf dem Schachbrett — nicht ein Unterschied, für den man im selben Kalkül verschiedene koordinierte Worte braucht.


     


     Die Ausdrücke “die Kardinalzahlen”, “die reellen Zahlen” sind außerordentlich irreführend, außer, wo sie als Teil einer Bestimmung verwendet werden, wie in: “die Kardinalzahlen von 1 bis 100”, etc.. “Die Kardinalzahlen” gibt es nicht, sondern nur “Kardinalzahlen” und den Begriff, die Form, ‘Kardinalzahl’. Nun sagt man: “die Zahl der Kardinalzahlen ist kleiner, als die der reellen Zahlen” und denkt sich, man könnte die beiden Reihen etwa nebeneinander schreiben (wenn wir nicht schwache Menschen wären) und dann würde die eine im Endlosen enden, während die andere ins Wirklich-Unendliche über sie hinaus liefe. Aber das ist alles Unsinn. Wenn von einer Beziehung, die man nach Analogie “größer” und “kleiner” nennen kann, die Rede sein kann, dann nur zwischen den Formen ‘Kardinalzahl’ und ‘reelle Zahl’. Was eine Reihe ist, erfahre ich dadurch, daß man es mir erklärt und nur soweit, als man es erklärt. Eine endliche Reihe wurde mir durch Beispiele der Art 1, 2, 3, 4 erklärt, eine endlose durch Zeichen der Art “1, 2, 3, 4, u.s.w.” oder “1, 2, 3, 4…”.



     


     Man ist geneigt, zu glauben, daß die Notation, die eine Reihe durch Anschreiben einiger Glieder mit dem Zeichen “u.s.w.” darstellt, wesentlich unexakt ist, im Gegensatz zur Angabe des allgemeinen Gliedes. Dabei vergißt man, daß die Angabe des allgemeinen Gliedes sich auf eine Grundreihe bezieht, welche nicht wieder durch ein allgemeines Glied beschrieben sein kann. So ist 2n + 1 das allgemeine Glied der ungeraden Zahlen,    wenn   n die Kardinalzahlen durchläuft, aber es wäre Unsinn zu sagen, n sei das allgemeine Glied der Reihe der Kardinalzahlen. Wenn man diese Reihe erklären will, so kann man es nicht durch Angabe des “allgemeinen Gliedes n”, sondern natürlich nur durch eine Erklärung der Art 1, 1+1, 1+1+1, u.s.w.. Und es ist natürlich kein wesentlicher Unterschied zwischen dieser Reihe und der: 1, 1+1+1, 1+1+1+1+1, u.s.w., die ich ganz ebensogut als Grundreihe hätte nehmen| annehmen können (sodaß dann das allgemeine Glied der Kardinalzahlenreihe 1/2.(n-1) gelautet hätte).

     


     (∃x).fx & non(∃x,y).fx & fy
      (∃x,y).fx & fy.&.non(∃x,y,z).fx & fy & fz
      (∃x,y,z).fx & fy & fz.&.non(∃x,y,z,u).fx & fy & fz & fu
““Wie müßte man es nun anfangen, die allgemeine Form solcher Sätze zu schreiben? Die Frage hat offenbar einen guten Sinn. Denn, wenn ich nur einige solcher Sätze als Beispiele hinschreibe, so versteht man, was das    Wesentliche   dieser Sätze sein soll.””
     Nun, dann ist also die Reihe der Beispiele schon eine Notation; denn das Verstehen dieser Reihe besteht doch in der Verwendung dieses Symbols und darin, daß wir es von andern in demselben System unterscheiden, z.B. von:
      (∃x).fx
      (∃x,y,z).fx & fy & fz
      (∃x,y,z,u,v).fx & fy & fz & fu & fv.

Warum sollen wir aber nicht das allgemeine Glied der ersten Reihe    so   schreiben:
     (∃ x1…xn).π
xn
x1
fx & (∃ x1…xn+1). π
xn+1
x1
fx ? Ist diese Notation unexakt? Sie selbst soll ja nichts bildhaft machen, sondern nur auf die Regeln ihres Gebrauchs, das System in dem sie gebraucht wird, kommt es an.|//, auf das System, in dem sie gebraucht wird, kommt es an.// Die Skrupel, die ihr anhaften, schreiben sich von einem Gedankengang her, der sich mit der Zahl der Urzeichen in dem Kalkül der ‘Principia Mathematica’ beschäftigte.

     


Erwartung
Wunsch
etc.


     


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Erwartung: der Ausdruck der Erwartung.

Artikulierte und unartikulierte Erwartung

     


     Kann man sagen, die Erwartung ist eine vorbereitende, erwartende, Handlung. — Es wirft mir jemand einen Ball, ich strecke die Hände aus und richte sie zum Erfassen des Balls. Aber sagen wir, ich hätte mich verstellt, ich hatte erwartet, daß er nicht werfen würde, wollte aber so tun, als erwartete ich den Wurf. Worin besteht dann mein Erwarten,

daß er nicht werfen wird, wenn meine Handlung die gegenteilige Erwartung ausdrückt? Diese| Sie mußte doch auch in etwas bestehen, was ich tat. Ich war also doch irgendwie nicht drauf vorbereitet, daß der Ball kam.

     


     Es ist sehr trivial, wenn ich sage, daß ich in der Erwartung eines Flecks die Erwartung eines kreisförmigen von der eines elliptischen muß unterscheiden können und es überhaupt so viele Unterschiede in der Erwartung geben muß, wie in den Erfüllungen der Erwartungen. (Der Hunger und der Apfel, der ihn befriedigt haben nicht die gleiche Multiplizität.)







     


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      In der Erwartung wurde das erwartet, was die Erfüllung brachte.

     


     Die Erwartung und die Tatsache, die die Erwartung befriedigt, passen doch irgendwie zusammen. Man soll nun eine Erwartung beschreiben, und eine Tatsache, die zusammenpassen, damit man sieht, worin diese Übereinstimmung besteht. Da denkt man sofort an das Passen einer Vollform in eine entsprechende Hohlform. Aber wenn man nun hier die beiden beschreiben will, so sieht man, daß, soweit sie passen, eine Beschreibung für beide gilt. Vergleiche das Passen eines Hutes zu einem Kleid.

















     


     Das Befolgen des Befehls liegt darin, daß ich etwas tue —— Kann ich aber auch sagen, ‘daß ich das tue, was er befiehlt’? Gibt es ein Kriterium dafür, daß das die Handlung ist, die ihn befolgt? Was soll hier unter ein| einem Kriterium verstanden werden?

     


     Die Erwartung verhält sich eben zu ihrer Befriedigung nicht wie der Hunger zu seiner Befriedigung. Ich kann sehr wohl den Hunger beschreiben und das, was ihn stillt, und sagen, daß es ihn stillt.

     



      Wenn ich ein Ereignis erwarte und es kommt dasjenige, welches meine Erwartung erfüllt; hat es dann einen Sinn zu fragen, ob das wirklich das Ereignis ist, welches ich erwartet habe. D.h. wie würde ein Satz, der das behauptet, verifiziert werden?

     


     “Wie weißt Du, daß Du einen roten Fleck erwartest?” d.h. „wie weißt Du daß ein roter Fleck die Erfüllung dessen ist, was Du Dir erwartest”. — Aber eben so gut könnte man fragen, “wie weißt Du, daß das ein roter Fleck    ist  ?”
     Wie weißt Du, daß, was Du getan hast, wirklich war, das Alphabet im Geist herzusagen? — Aber wie weißt Du, daß, was Du hersagst, nun wirklich das Alphabet    ist  ?
     Das ist natürlich die gleiche Frage wie: Woher weißt Du, daß, was Du rot nennst, wirklich dasselbe ist, was der Andre so nennt. Und die eine Frage ebenso unsinnig wie andere.



     


empty
„Wie kann man etwas wünschen, erwarten, suchen, was nicht da ist?” Mißverständnis des ‘Etwas’.



     


     Sokrates: Wer also vorstellt, was nicht ist, der stellt nichts vor? — Theaitetos: So scheint es. — Sokrates: Wer aber nichts vorstellt, der wird gewiß überhaupt gar nicht vorstellen? — Theaitetos: Offenbar, wie wir sehen.
     Setzen wir in diesem Argument //und dem ihm vorhergehenden// statt “vorstellen” etwa “zerschneiden| töten”, so läuft es auf eine Regel der Verwendung dieses Wortes hinaus. Man dürfe nicht sagen: “ich zerschneide| töte etwas, was nicht existiert”.| //Es hat keinen Sinn zu sagen: “ich zerschneide| töte etwas, was nicht existiert”.


     

     Ich kann mir einen Hirsch auf dieser Wiese vorstellen, der nicht da ist, aber keinen töten, der nicht da ist. — Und sich einen Hirsch vorstellen, der nicht da ist, heißt, sich vorstellen, daß ein Hirsch da ist, obwohl keiner da ist. Einen Hirsch töten aber, heißt nicht: töten, daß ein Hirsch da ist (also: verschiedene grammatische Regeln). Wenn aber jemand sagt: “um mir einen Hirsch vorzustellen, muß es ihn doch in einem gewissen Sinne geben”, so ist die Antwort: nein, es muß ihn dazu

in keinem Sinne    geben  . Und wenn darauf gesagt würde: Aber z.B. die braune Farbe muß es doch geben, damit ich mir sie vorstellen kann, so ist zu sagen: “‘Es gibt die braune Farbe’ heißt überhaupt nichts, außer etwa, daß sie da oder dort als Färbung eines Gegenstandes (Flecks) auftritt| erscheint und das ist nicht nötig, damit ich mir einen braunen Hirsch vorstellen kann.”





     


     “Wenn immer ich über die Erfüllung eines Satzes rede, rede ich über sie im Allgemeinen. Ich beschreibe sie in irgendeiner Form. Ja, es liegt diese Allgemeinheit schon darin, daß ich die Beschreibung zum Voraus geben kann und jedenfalls unabhängig von dem Eintreten der Tatsache.”




     

     Die Tatsache wird allgemein beschrieben heißt, sie wird aus alten Bestandteilen zusammengesetzt.
        Sie   wird beschrieben, das ist so, als wäre sie uns, außer durch die Beschreibung, noch anders gegeben.


     

     Hier wird die Tatsache mit einem Haus oder einem andern| sonstigen Komplex gleichgestellt.





     


     Man könnte nur sagen: Wenn er von der Sonne spricht, muß er ein visuelles Bild (oder Gebilde von der und der Beschaffenheit — rund, gelb, etc.) vor sich sehen. Nicht, daß das wahr ist, aber es hat Sinn, und dieses Bild ist dann ein Teil des Zeichens.




     

     Man kann den Dieb nicht hängen ehe man ihn hat, wohl aber schon suchen.


     

     “Du hast    den   Menschen gesucht? Wie war das möglich, er war doch gar nicht da!”


     

     “Ich suche meinen Stock. — Da ist er!” Dies letztere ist keine Erklärung des Ausdrucks “mein Stock”, die für das Verständnis des ersten Satzes wesentlich wäre und die ich daher nicht hätte geben können, ehe mein Stock gefunden war. Vielmehr muß der Satz “da ist er”, wenn er nicht eine Wiederholung der (auch) früher möglichen Worterklärung ist, ein neuer synthetischer Satz sein.







     

     (“Ich suche ihn”. — “Wie schaut er aus”. — “Ich weiß es nicht aber (ich bin sicher) ich werde ihn wiedererkennen, wenn ich ihn sehe”.)


     

     Die ‘Symptome der Erwartung’ sind nicht der Ausdruck der Erwartung.
     Und zu glauben, ich wüßte erst nach dem Finden, was ich gesucht (nach der Erfüllung, was ich gewünscht) habe, läuft auf einen unsinnigen “behaviourism” hinaus.


     

     “Ich wünsche mir eine gelbe Blume”. — “Ja, ich gehe und suche Dir eine gelbe Blume. Hier habe ich eine gefunden”. — Gehört die Bedeutung von “gelbe Blume” mehr zum letzten Satz, als zu den zwei vorhergehenden?

     


     Die Bedeutung des Wortes “gelb” ist nicht die Existenz eines gelben Flecks: Das ist es, was ich über das Wort “Bedeutung” sagen möchte.



     


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      Im Ausdruck der Sprache berühren sich Erwartung & Erfüllung.





     


     Du befiehlst mir “bringe mir eine gelbe Blume”; ich bringe eine und Du fragst: “warum hast Du mir so eine gebracht?” Dann hat diese Frage nur einen Sinn, wenn sie zu ergänzen ist “und nicht eine von dieser (andern) Art”.
     D.h., diese Frage gehört schon in| //bezieht sich schon auf// ein System; und die Antwort muß sich auf das gleiche System beziehen.



     


     Noch einmal: was ist das Kriterium dafür, daß der Befehl richtig ausgeführt wurde? Was ist das Kriterium, nämlich auch für den Befehlenden? Wie kann    er   wissen, daß der Befehl nicht richtig ausgeführt wurde. Angenommen, er ist von der Ausführung befriedigt und

sagt nun: “von dieser Befriedigung lasse ich mich aber nicht täuschen, denn ich weiß, daß doch nicht das geschehen ist, was ich wollte”. Er erinnert sich in irgend einem Sinne daran, wie er den Befehl gemeint hatte. --- In welchem Sinne? Woran erinnere ich mich, wenn ich mich erinnere, das gewünscht zu haben.





     



      … Wenn ich non-p glaube, so glaube ich dabei nicht zugleich p, weil “p” in “non-p” vorkommt.

     


     p kommt in non-p in demselben Sinne vor, wie non-p in p.


     

     Die Worte “vorkommen” etc. sind eben unbestimmt, wie alle solche Prosa. Exakt und unzweideutig und unbestreitbar sind nur die grammatischen Regeln, die am Schluß zeigen müssen, was gemeint ist.

     


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“Der Satz bestimmt, welche Realität ihn wahr macht”.
     Er scheint einen Schatten dieser Realität zu geben. Der Befehl scheint seine Ausführung in schattenhafter Weise vorauszunehmen.






     


     Das wird erst dann seltsam, wenn der Befehl etwa ein Glockenzeichen ist. — Denn, in welchem Sinne mir dieses Zeichen mitteilt, was ich

zu tun habe, außer daß ich es einfach| //eben// tue    und   das Zeichen da war — —. Denn es ist auch nicht das, daß ich es erfahrungsgemäß immer tue, wenn das Zeichen gegeben wird.


     

     Darum hat es ja auch ohne weiteres    keinen Sinn  , zu sagen: “Ich muß gehen, weil die Glocke geläutet hat”. Sondern, dazu muß noch etwas anderes gegeben sein.

     


     Wie kann man die Handlung von dem Befehl “hole eine gelbe Blume” ableiten? — Wie kann man das Zeichen “5” aus dem Zeichen “2+3” ableiten?

     


     Kann man denn, und in welchem Sinne kann man, aus dem Zeichen plus dem Verständnis (also der Interpretation) die Ausführung ableiten, ehe sie geschieht? Alles was man ableitet, ist doch nur eine Beschreibung der Ausführung und auch diese Beschreibung war erst da, nachdem man    sie   abgeleitet hatte.

     

…      Die    Ausführung   des Befehls leiten wir von diesem erst ab, wenn wir ihn ausführen.

     



      The bridge    can   only be crossed when we get there. (Gemeint ist die Brücke zwischen Zeichen & Realität.)





     


     Aber, wenn auch mein Wunsch nicht bestimmt, was der Fall sein wird, so bestimmt er doch sozusagen das Thema einer Tatsache, ob die nun den Wunsch erfüllt, oder nicht.

     

…      Muß er nun dazu etwas voraus wissen? Nein. p.⌵.non-p sagt wirklich    nichts  .




     

     Wenn die Regel heißt “wo Du ein siehst, schreib' ein ‘c’”, so ist damit gegeben, was ich tun soll, so weit es überhaupt gegeben sein kann.


     

     Denn mehr bestimmt, als durch eine genaue Beschreibung, kann etwas nicht sein. Denn, bestimmen kann nur    heißen  , es beschreiben.





     


     Wenn ich sage “der Satz bestimmt doch schon im Voraus, was ihn wahr machen wird”: Gewiß, der Satz ‘p’ bestimmt, daß p der Fall sein muß, um ihn wahr zu machen; das ist aber auch alles, was man darüber sagen kann, & heißt nur: „der Satz p = der Satz den die Tatsache p wahr macht”.

     


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      Intention.
Was für ein Vorgang ist sie? Man soll aus der Betrachtung dieses Vorgangs ersehen können, was intendiert wird.

     



     
     Wenn man sagt “das ist der Bremshebel, er funktioniert aber nicht”, so spricht man von der Absicht. Ähnlich ist es, wenn man eine verdorbene Uhr doch eine Uhr nennt.

     


     Angenommen, das Anziehen des Bremshebels bewirkt manchmal das Abbremsen der Maschine und manchmal nicht. So ist daraus allein nicht zu schließen, daß er als Bremshebel gedacht war. Wenn nun

eine bestimmte Person immer dann, wenn der Hebel nicht als Bremshebel wirkt, ärgerlich würde —. So wäre damit auch nicht das gezeigt, was ich zeigen will. Ja man könnte dann sagen, daß der Hebel einmal die Bremse, einmal den Ärger betätigt. — Wie drückt es sich nämlich aus, daß die Person    darüber   ärgerlich wird, daß der Hebel die Bremse nicht betätigt hat?
      (Dieses    über      etwas ärgerlich sein   ist nämlich scheinbar von ganz derselben Art, wie: etwas fürchten, etwas wünschen, etwas erwarten, etc.) Das “über etwas ärgerlich sein” verhält sich nämlich zu dem, worüber man ärgerlich ist, nicht wie die Wirkung zur Ursache, also nicht wie Magenschmerzen zu der Speise mit der man sich den Magen verdorben hat. Man kann darüber im Zweifel sein, woran man sich den Magen verdorben hat und die Speise, die etwa die Ursache ist, tritt in die Magenschmerzen nicht als ein Bestandteil dieser Schmerzen ein; dagegen kann man, in einem gewissen Sinne, nicht zweifelhaft sein, worüber man sich ärgert, wovor man sich fürchtet, was man glaubt. (Es heißt nicht “ich weiß nicht, — ich glaube heute, aber ich weiß nicht woran”!) — Und hier haben wir natürlich das alte Problem, daß nämlich der Gedanke, daß das und das der Fall ist, nicht voraussetzt, daß es der Fall ist. Daß aber anderseits doch etwas von? der Tatsache für den Gedanken selbst Voraussetzung sein muß. “Ich kann nicht denken, daß etwas rot ist, wenn rot gar nicht existiert”. Die Antwort darauf ist, daß die Gedanken in demselben Raum sein müssen, wie das Zweifelhafte, wenn auch an einer andern Stelle.

     



Darin und nur darin besteht auch die (prästabilierte) Harmonie zwischen Welt und Gedanken.      Die Intention ist nun aber von genau derselben Art wie — z.B. — der Ärger. Und da scheint es irgendwie, als würde man die Intention von außen betrachtet nie als    Intention   erkennen; als müßte man sie selbst intendieren| meinen, um sie als Meinung zu verstehen. Das hieße aber, sie nicht als Phänomen, nicht als Tatsache, zu betrachten! Das ist natürlich wieder das vorige Problem, denn der Witz ist, daß man es den Gedanken (als selbständige Tatsache betrachtet) ansehen muß, daß er der Gedanke ist, daß das und das der Fall ist. Kann man es ihm nicht ansehen (so wenig wie den Magenschmerzen woher sie rühren), dann hat er kein logisches Interesse, oder vielmehr, dann gibt es keine Logik. — Das kommt auch darauf hinaus, daß man den Gedanken mit der Realität muß unmittelbar vergleichen können und es nicht erst einer Erfahrung bedürfen kann, daß diesem Gedanken diese Realität entspricht. (Darum unterscheiden sich auch Gedanken nach ihrem Inhalt, aber Magenschmerzen nicht nach dem, was sie hervorgerufen hat.)      Meine Auffassung scheint unsinnig, wenn man sie    so   ausdrückt: man soll sehen können, worüber Einer denkt, wenn man ihm den Kopf aufmacht; wie ist denn das möglich? die Gegenstände, über die er denkt, sind ja gar nicht in seinem Kopf (ebensowenig wie in seinen Gedanken)!      Man muß nämlich die Gedanken, Intentionen (etc.) von außen betrachtet als solche verstehen,    ohne   über die Bedeutung von etwas unterrichtet zu werden. Denn auch die Relation des Bedeutens wird ja dann als ein Phänomen gesehen (und ich kann| darf dann nicht wieder auf eine Bedeutung des Phänomens hinweisen müssen, da ja dieses Bedeuten wieder in den Phänomenen|dem Phänomen mit inbegriffen ist.)


     

     Wenn man den Gedanken betrachtet, so kann also von einem …

Verstehen keine Rede mehr sein, denn, sieht man ihn, so muß man ihn als den Gedanken dieses Inhalts erkennen, es ist nichts zu deuten. — Aber so ist es ja wirklich, wenn wir denken, da wird nicht gedeutet. —

     


     Die kausale Erklärung des Bedeutens und Verstehens lautet im Wesentlichen so: einen Befehl verstehen heißt, man würde ihn ausführen, wenn ein gewisser Riegel zurückgezogen würde. — Es würde jemandem befohlen, einen Arm zu heben, und man sagt: den Befehl verstehen heißt, den Arm zu heben. Das ist klar, wenn auch gegen unseren Sprachgebrauch (wir nennen das “den Befehl befolgen”). Nun sagt man| Frege aber: Den Befehl verstehen heißt, entweder den Arm heben, oder, wenn das nicht, etwas bestimmtes Anderes tun — etwa das Bein heben. Nun heißt das aber nicht “verstehen” im ersten Sinn, denn der Befehl war nicht “den Arm oder das Bein zu heben”. Der Befehl bezieht sich also (nach wie vor) auf eine Handlung, die    nicht   geschehen ist. Mit andern Worten, es bleibt der Unterschied bestehen zwischen dem Verstehen und dem Befolgen des Befehls. Und weiter| Frege: ein unverstandener Befehl ist gar kein Befehl. — Dieses Verstehen des Befehls kann nicht irgend eine Handlung sein, (etwa den Fuß heben) sondern sie muß das Wesen des Befehls selbst enthalten.


     


      In der Sprache wird alles ausgetragen.




     


     Ich gehe die gelbe Blume suchen. Auch wenn mir während des Gehens ein Bild vorschwebt, brauche ich es denn, wenn ich die gelbe Blume — oder eine andere — sehe? — Und wenn ich sage “sobald ich eine gelbe Blume sehe, schnappt, gleichsam, etwas in der Erinnerung| //dem Gedächtnis// ein”: kann ich denn dieses Einschnappen eher voraussehen, erwarten, als die gelbe Blume? Ich wüßte nicht, warum. D.h., wenn es in einem bestimmten Fall wirklich so ist, daß ich nicht die gelbe Blume, sondern ein anderes (indirektes) Kriterium erwarte, so ist das| dies jedenfalls keine Erklärung des Erwartens.



     


     Es ist nicht so, daß wir eine Unbefriedigung| // das Phänomen einer Unbefriedigung spüren|// merken| bemerken//, die dann durch finden des Fingerhutes aufgehoben wird|// vergeht//, und nun sagen: “also war jenes Phänomen die Erwartung des Fingerhutes|// den Fingerhut zu finden//”.      Nein, das erste Phänomen ist die Erwartung des Fingerhutes| // den Fingerhut zu finden// so sicher, als| wie das zweite das Finden des Fingerhutes ist. Das Wort “Fingerhut”| // Der Ausdruck “finden des Fingerhuts”// gehört zu der Beschreibung des ersten so notwendig, wie zur Beschreibung des zweiten. Nur verwechseln wir nicht “die Bedeutung des Wortes ‘Fingerhut’” (den Ort dieses Worts im grammatischen Raume) mit der Tatsache, daß ein Fingerhut hier ist.

     


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      Der Gedanke — Erwartung, Wunsch, etc. — & die gegenwärtige Situation.


     


     (Der Plan kann mich nur leiten, wenn ich auch auf dem Plan bin.)

     


     Wenn ich mit verbundenen Augen die Richtung verloren habe und man mir nun sagt: geh dort und dort hin, so hat dieser Befehl keinen Sinn für mich.

     


     Ich erwarte mir, daß der Stab    im selben Sinne   2m hoch sein wird, in dem er jetzt 1m 99cm hoch ist.

     


     In    demselben   Sinne, in dem er jetzt 1m hoch ist, wird er später 1,5m hoch sein.


     


Denn seine Bedeutung, ich meine seine Wichtigkeit, bezieht er ja nur daher.
     Was hat das, was ich denke, mit dem zu tun, was der Fall ist.



     


     “Worin besteht es, sich eine gelbe Blume zu wünschen? Wesentlich darin, daß man in dem, was man sieht, eine gelbe Blume vermißt? Also auch darin, daß man erkennt, was in dem Satz ausgedrückt ist “ich sehe jetzt keine gelbe Blume”.”

     


     Könnte man auch sagen: Man kann die Erwartung    nicht   beschreiben, wenn man die gegenwärtige Realität nicht beschreiben kann oder, man kann die Erwartung nicht beschreiben, wenn man nicht eine    vergleichende   Beschreibung von Erwartung und Gegenwart geben kann in der Form: Jetzt sehe ich hier einen roten Kreis und erwarte mir später dort ein blaues Viereck.
     D.h., der Sprachmaßstab muß an dem Punkt der Gegenwart angelegt werden und deutet dann über ihn hinaus — etwa in der Richtung der Erwartung.

     



      Ich will sagen: wenn ich über eine gelbe Blume rede, muß ich zwar keine sehen, aber ich muß    etwas   sehen und das Wort “gelbe Blume” hat quasi nur in Übereinstimmung mit oder im Gegensatz zu dem Bedeutung, was ich sehe. Seine Bedeutung würde quasi nur von dem aus bestimmt, was ich sehe, entweder als das, was ich sehe, oder als das, was davon in der und der Richtung so und so weit liegt. Hier meine ich aber weder Richtung noch Distanz räumlich im gewöhnlichen Sinn, sondern es kann die Richtung von Rot nach Blau und die Farbendistanz von Rot auf ein bestimmtes Blaurot gemeint sein. — Aber auch so stimmt meine Auffassung nicht. Es ist schon richtig, daß der Satz “ich wünsche eine gelbe Blume” den Gesichtsraum voraussetzt, nämlich nur insofern, als er in unserer Sprache voraussetzt, daß der Satz “ich sehe jetzt eine gelbe Blume” und sein Gegenteil Sinn haben muß.| hat.. Ja, es muß auch Sinn haben, oder vielmehr, es hat auch Sinn, zu sagen “das Gelb, was ich mir wünsche, ist grünlicher als das, welches ich sehe”. Aber anderseits wird der grammatische Ort des Wortes “gelbe Blume” nicht durch eine Maßangabe, bezogen auf das, was ich jetzt sehe, bestimmt. Obwohl, soweit von einer solchen Entfernung und Richtung die Rede überhaupt sein kann, durch die Beschreibung des gegenwärtigen Gesichtsbildes und des Gewünschten diese Entfernung und Richtung im grammatischen Raum gegeben sein muß.


     


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      Glauben

Gründe des Glaubens

     






















     Glauben. Hiermit verwandt ist: erwarten, hoffen, fürchten, wünschen. Aber auch: zweifeln, suchen, etc..
     Man sagt: “Ich habe ihn von 5 bis 6 Uhr erwartet”, “ich habe den ganzen Tag gehofft, er werde kommen”, “in meiner Jugend habe ich gewünscht …”, etc.. Daher der falsche Vergleich mit in der Zeit amorphen Zuständen (Zahnschmerz, das Hören eines Tones, etc., obwohl diese unter sich wieder verschieden sind).


     

     Was heißt es nun: “ich glaube, er wird um 5 Uhr kommen”? oder: “er glaubt N werde um 5 Uhr kommen”? Nun, woran erkenne ich, daß er das glaubt? Daran, daß er es sagt? oder aus seinem übrigen Verhalten? oder aus beiden? Danach wird man dem Satz “er glaubt …” verschiedenen Sinn geben können.


     

     Hat es einen Sinn zu fragen: “Woher weißt Du, daß Du das glaubst”? Und ist etwa die Antwort: “ich erkenne es durch Introspektion”?
     In    manchen   Fällen wird man so etwas sagen können, in manchen aber nicht.


     

     Es hat einen Sinn, zu fragen: “liebe ich sie wirklich? mache ich mir das nicht nur vor?” Und der Prozeß der Introspektion ist hier das Aufrufen von Erinnerungen, das Vorstellen möglicher Situationen und der Gefühle, die man hätte, etc..


     


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Grund, Motiv, Ursache.



     

     Wenn man nun fragte: Bist Du sicher, daß Du es    deswegen   getan hast? Würde man da nicht schwören, daß man es nur deswegen getan hat? Und ist es nicht doch Erfahrung? Müßte man nicht sagen: man würde schwören, daß man es deshalb tun wollte; nicht, daß der Arm sich aus dieser Ursache zurückgezogen hat? Man beschwört das Motiv, nicht die Ursache.



     

…
      Wenn ich sage, die Erfahrung des Wollens könne ich zwarwünschen, aber nicht herbeiführen, so bin ich da wieder bei einem, für die Erkenntnistheorie sehr| so charakteristischen Unsinn. Denn in dem Sinne, in

welchem ich überhaupt etwas herbeiführen kann (etwa Magenschmerzen durch Überessen), kann ich auch das Wollen herbeiführen. (In diesem Sinne führe ich das Schwimmen-Wollen herbei, indem ich ins tiefe Wasser springe.) Ich wollte wohl sagen: ich könnte das Wollen nicht wollen; d.h., es hat keinen Sinn, vom Wollen-wollen zu sprechen. Und mein falscher Ausdruck kam daher, daß man sich das Wollen als ein direktes nicht-kausales, Herbeiführen denken will. Und dem?| //Dieser Idee// liegt wieder eine falsche Analogie zugrunde, etwa, daß der kausale Nexus durch eine Reihe von Zahnrädern gebildet wird (die auslassen kann, wenn der Mechanismus gestört wird), während der Nexus des Willens etwa dem des Innern zum Äußern entspricht, oder dem der Bewegung des physikalischen Körpers zur Bewegung seiner Erscheinung.| //seines Gesichtsbildes.//

     


     “Wie weißt Du, daß Du es aus diesem Motiv getan hast?” — “Ich erinnere mich daran, es darum getan zu haben”. — “   Woran   erinnerst Du Dich? — Hast Du es Dir damals gesagt; oder erinnerst Du Dich an die Stimmung in der Du warst; oder daran, daß Du Mühe hattest, einen Ausdruck Deines Gefühls zu unterdrücken?”
     Und wenn man etwa einen Ausdruck seines Gefühls nur mit Mühe unterdrückt hat, — wie war das? Hatte man sich ihn damals leise vorgesagt? etc. etc..


     

     Das Motiv ist nicht eine Ursache ‘von innen gesehen’! Das Gleichnis von ‘innen und außen’ ist hier — wie so oft — gänzlich irreleitend. — Es ist von der Idee der Seele (eines Lebewesens) im Kopfe (als Hohlraum vorgestellt) hergenommen| //hergeleitet//. Aber diese Idee ist darin mit andern unvereinbaren vermengt, wie die Metaphern in dem Satz: “der Zahn der Zeit, der alle Wunden heilt, etc.”.

     


     “Wie weißt Du, daß das wirklich der Grund ist, weswegen Du es glaubst? — (das?) ist, als fragte ich: “wie weißt Du, daß es    das   ist, was Du glaubst”. Denn er gibt nicht die Ursache eines Glaubens an, die er nur vermuten könnte, sondern beschreibt einen Vorgang von Operationen, die zu dem Geglaubten führen (und etwa geführt haben). Einen Vorgang, der seiner Art nach zu dem des Glaubens gehört. — Der Unterschied zwischen der Frage nach der Ursache und der (Frage) nach dem Grund des Glaubens ist etwa so, wie der, zwischen der Frage: “was ist die physikalische Ursache davon, daß Du da bist” und der Frage: “auf welchem Wege bist Du hergekommen”. Und hier sieht man sehr klar, wie auch die Angabe der Ursache als Angabe eines Weges aufgefaßt werden kann, aber in ganz anderem Sinne.


     

     “Man kann die Ursache einer Erscheinung nur vermuten” (nicht    wissen  ). — Das muß ein Satz der Grammatik sein. Es ist nicht gemeint, daß wir ‘mit dem besten Willen’ die Ursache nicht wissen können. Der Satz ist insofern ähnlich dem: “wir können in der Zahlenreihe, soweit wir auch zählen, kein Ende erreichen”. Das heißt: von einem “Ende der Zahlenreihe” kann keine Rede sein; und dies ist — irreführend — in das Gleichnis gekleidet von Einem, der wegen der großen Länge des Weges das Ende nicht erreichen kann. — So gibt es einen Sinn, in dem ich sagen kann: “ich kann die Ursache dieser Erscheinung nur vermuten” d.h.: es ist mir noch nicht gelungen, sie (im gewöhnlichen Sinn) ‘festzustellen’. Also im Gegensatz zu dem Fall, in dem es mir gelungen ist, wo?| //in dem// ich also die Ursache weiß. — Sage ich nun aber, als metaphysischen Satz, “ich kann die| //eine// Ursache immer nur vermuten”, so heißt das: ich will im Falle der Ursache immer nur von ‘vermuten’ und nicht von ‘wissen’ sprechen, um so Fälle verschiedener Grammatik voneinander zu unterscheiden. (Das ist also so, wie wenn ich sage: ich will in einer Gleichung das Zeichen “=” und

nicht das Wort “ist” gebrauchen.) Was also an unserem ersten Beispiel falsch ist, ist das Wort “nur”, aber freilich gehört das eben ganz zu dem Gleichnis, das schon im Gebrauch des Wortes “können” liegt.

     


     Nach den Gründen zu einer Annahme gefragt,    besinnt   man sich auf diese Gründe. Geschieht hier dasselbe, wie, wenn man über die

Ursachen eines Ereignisses nachdenkt?| //… wenn man darüber nachdenkt, was die Ursachen eines Ereignisses gewesen sein mögen?//




     


Philosophie


     


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      Schwierigkeit der Philosophie, nicht die intellektuelle Schwierigkeit der Wissenschaften, sondern die Schwierigkeit einer Umstellung. Widerstände des Willens sind zu überwinden.





     


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      Die Philosophie zeigt die irreführenden Analogien im Gebrauch unsrer Sprache auf.



     


     Wenn ich einen philosophischen Fehler rektifiziere und sage,

man hat sich das immer so vorgestellt, aber so ist es nicht, so zeige ich immer auf eine Analogie| //so muß ich immer auf eine Analogie zeigen//, nach der man sich gerichtet hat, und, daß diese Analogie nicht stimmt.| //… so muß ich immer eine Analogie aufzeigen, nach der man gedacht hat, die man aber nicht als Analogie erkannt hat.//

     


     Die Wirkung einer in die Sprache aufgenommenen falschen Analogie: Sie bedeutet? einen ständigen Kampf und Beunruhigung (quasi einen ständigen Reiz). Es ist, wie wenn ein Ding aus der Entfernung ein Mensch zu sein scheint, weil wir dann Gewisses nicht wahrnehmen, und in der Nähe sehen wir, daß es ein Baumstumpf ist. Kaum entfernen wir uns ein wenig und verlieren die Erklärung aus dem Auge, so erscheint uns    eine   Gestalt; sehen wir darauf-hin näher zu, so sehen wir eine andere; nun entfernen wir uns wieder, etc. etc..

     


     (Der aufregende Charakter der grammatischen Unklarheit.)

     


     Philosophieren ist: falsche Argumente zurückweisen.

     


     Der Philosoph trachtet, das erlösende Wort zu finden, das ist das Wort, das uns endlich erlaubt, das zu fassen, was bis jetzt immer, ungreifbar, unser Bewußtsein belastet hat.
     (Es ist, wie wenn man ein Haar auf der Zunge liegen hat; man

spürt es, aber kann es nicht erfassen| //ergreifen// und darum nicht loswerden.)




     


     Eine der wichtigsten Aufgaben ist es , alle falschen Gedankengänge so charakteristisch auszudrücken, daß der Leser sagt “ja, genau so habe ich es gemeint”. Die Physiognomie jedes Irrtums nachzuzeichnen.

     



      Wir können ja auch nur dann den Andern eines Fehlers überführen, wenn er anerkennt, daß dies wirklich der Ausdruck seines Gefühls ist.| //… wenn er diesen Ausdruck (wirklich) als den richtigen Ausdruck seines Gefühls anerkennt.//


     


      Nämlich, nur wenn er ihn als solchen anerkennt,    ist   er der richtige Ausdruck. (Psychoanalyse.)



     


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Woher das Gefühl des Fundamentalen unserer grammatischen Untersuchungen?



     


     Woher nimmt die Betrachtung ihre Wichtigkeit:|, die uns darauf aufmerksam macht, daß man eine Tabelle auf mehr als    eine   Weise brauchen kann, daß man sich eine Tabelle als Anleitung zum Gebrauch einer Tabelle ausdenken kann, daß man einen Pfeil auch als Zeiger der Richtung von der Spitze zum Schwanzende auffassen kann, daß ich eine Vorlage auf mancherlei Weise als Vorlage benützen kann?





     


     Warum empfinden wir die Untersuchung der Grammatik als fundamental?


     

     (Das Wort “fundamental” kann auch nichts metalogisches, oder philosophisches bedeuten, wo es überhaupt eine Bedeutung hat.)


     

     Die Untersuchung der Grammatik ist im selben Sinne fundamental, wie wir die Sprache fundamental — etwa ihr eigenes Fundament — nennen können.









     


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      Methode der Philosophie:
die übersichtliche Darstellung der grammatischen| //sprachlichen// Tatsachen.
Das Ziel: Durchsichtigkeit der Argumente. Gerechtigkeit.

     


     Es hat Einer gehört, daß der Anker eines Schiffes durch eine Dampfmaschine aufgezogen werde. Er denkt nur an die, welche das Schiff treibt (und nach welcher es Dampfschiff heißt) und kann sich, was er gehört hat, nicht erklären. (Vielleicht fällt ihm die Schwierigkeit auch erst später ein.) Nun sagen wir ihm: Nein, es ist nicht    diese   Dampfmaschine, sondern außer ihr gibt es noch eine Reihe anderer an Bord und eine von diesen hebt den Anker. — War sein Problem ein philosophisches? War es ein philosophisches, wenn er von der Existenz anderer Dampfmaschinen auf dem Schiff gehört hatte und nur daran erinnert werden mußte? — Ich glaube, seine Unklarheit hat zwei Teile: Was der Erklärende

ihm als Tatsache mitteilt, hätte der Fragende sehr wohl als Möglichkeit sich selber ausdenken können, und seine Frage in bestimmter Form, statt in der des bloßen Zugeständnisses der Unklarheit vorlegen können. Diesen Teil des Zweifels hätte er selber beheben können, dagegen konnte ihn Nachdenken nicht über die Tatsachen belehren. Oder: Die Beunruhigung, die davon herkommt, daß er die Wahrheit nicht wußte, konnte ihm kein Ordnen seiner Begriffe nehmen.
     Die andere Beunruhigung und Unklarheit wird durch die Worte “hier stimmt mir etwas nicht” gekennzeichnet und die Lösung, durch (die Worte): “Ach so, Du meinst nicht    die   Dampfmaschine” oder — für einen andern Fall — “… Du meinst mit Dampfmaschine nicht nur Kolbenmaschine”.


     

     Die Arbeit des Philosophen ist ein Zusammentragen von Erinnerungen zu einem bestimmten Zweck.


     

     Eine philosophische Frage ist ähnlich der, nach der Verfassung einer bestimmten Gesellschaft. — Und es wäre etwa so, als ob eine Gesellschaft ohne klar geschriebene Regeln zusammenkäme, aber mit einem Bedürfnis nach solchen: ja, auch mit einem Instinkt, durch welchen sie gewisse Regeln in ihren Zusammenkünften beobachten| //einhalten//: nur, daß dies dadurch erschwert wird, daß nichts hierüber klar ausgesprochen ist und keine Einrichtung getroffen, die die Regeln deutlich macht.| //klar hervortreten läßt. // So betrachten sie tatsächlich Einen von ihnen als Präsidenten, aber er sitzt nicht oben an der Tafel, ist durch nichts kenntlich und das erschwert die Verhandlung. Daher kommen wir und schaffen eine klare Ordnung: Wir setzen den Präsidenten an einen leicht kenntlichen Platz und seinen Sekretär zu ihm an ein eigenes Tischchen und die übrigen gleichberechtigten Mitglieder in zwei Reihen zu bei-

den Seiten des Tisches etc. etc..

     


     Wenn man die Philosophie fragt: “   was ist   — z.B. — Substanz?” so wird um eine Regel gebeten. Eine allgemeine Regel, die für das Wort “Substanz”    gilt  , d.h.: nach welcher ich zu spielen entschlossen bin. — Ich will sagen: die Frage “was ist …” bezieht sich nicht auf einen besonderen — praktischen — Fall, sondern wir fragen sie von unserm Schreibtisch aus. Erinnere Dich nur an den Fall des Gesetzes der Identität, um zu sehen, daß es sich bei der Erledigung einer philosophischen Schwierigkeit nicht um das Aussprechen neuer Wahrheiten über den Gegenstand der Untersuchung (der Identität) handelt.
     Die Schwierigkeit besteht nur darin, zu verstehen, was uns die Festsetzung einer Regel hilft. Warum die uns beruhigt, nachdem wir so schwer beunruhigt waren. Was uns beruhigt ist offenbar, daß wir ein System sehen, das diejenigen Gebilde (systematisch) ausschließt, die uns immer beunruhigt haben, mit denen wir nichts anzufangen wußten und die wir doch ?—respektieren zu müssen glaubten—?. Ist die Festsetzung einer solchen grammatischen Regel in dieser Beziehung nicht wie die Entdeckung einer Erklärung in der Physik? z.B., des Kopernikanischen Systems? Eine Ähnlichkeit ist vorhanden. — Das Seltsame an der philosophischen Beunruhigung und ihrer Lösung möchte scheinen, daß sie ist, wie die Qual des Asketen, der, eine schwere Kugel unter Stöhnen stemmend, da stand und den ein Mann erlöste, indem er ihm sagte: “laß' sie fallen”. Man fragt sich: wenn Dich diese Sätze beunruhigen, Du nichts mit ihnen anzufangen wuß-

test, warum ließest Du sie nicht schon früher fallen, was hat Dich daran gehindert? Nun, ich glaube, es war das falsche System, dem er sich anbequemen zu müssen glaubte, etc..

     


     (Die besondere Beruhigung, welche eintritt, wenn wir einem Fall, den wir für einzigartig hielten, andere ähnliche Fälle an die Seite stellen können, tritt in unseren Untersuchungen immer wieder ein, wenn wir zeigen, daß ein Wort nicht nur eine Bedeutung (oder, nicht nur zwei) hat, sondern in fünf oder sechs verschiedenen (Bedeutungen) gebraucht wird.)


     


     Der Begriff der übersichtlichen Darstellung ist für uns von grundlegender Bedeutung. Er bezeichnet unsere Darstellungsform, die Art, wie

wir die Dinge sehen. (Eine Art der ‘Weltanschauung’, wie sie scheinbar für unsere Zeit typisch ist. Spengler.)




     


     Unserer Grammatik fehlt es vor allem an    Übersichtlichkeit  .







     

…
     Die Antwort auf die Frage nach der Erklärung der Negation ist wirklich: verstehst Du sie denn nicht?Nun, wenn Du sie verstehst, was gibt es da noch zu erklären, was hat eine Erklärung da noch zu tun?

     


     Wir müssen wissen, was    Erklärung   heißt. Es ist die ständige Gefahr, dieses Wort in der Logik in einem Sinn verwenden zu wollen, der von der Physik hergenommen ist.




     



     Die philosophisch wichtigsten Aspekte der Dinge| //der Sprache// sind durch ihre Einfachheit und Alltäglichkeit verborgen.
     (Man kann es nicht bemerken, weil man es immer (offen) vor Augen hat.)


     



      (Eines der größten Hindernisse für die Philosophie ist die Erwartung neuer tiefer| //unerhörter// Aufschlüsse.)


     

     Das muß sich auch darauf beziehen, daß ich keine Erklärungen der Variablen “Satz” geben kann. Es ist klar, daß dieser logische Be-
griff, diese Variable, von der Ordnung des Begriffs “Realität” oder “Welt” sein muß.






     



     Das philosophische Problem ist ein Bewußtsein der Unordnung in unsern Begriffen, und durch Ordnen derselben zu heben.

     


     Ein philosophisches Problem ist immer von der Form: “Ich kenne mich einfach nicht aus”.


     


     Wenn ich Recht habe, so müssen sich philosophische Probleme wirklich restlos lösen lassen, im Gegensatz zu allen andern.



     

     Die Probleme werden im eigentlichen Sinne aufgelöst — wie ein Stück Zucker im Wasser.

     


     /Die Menschen, welche kein Bedürfnis nach Durchsichtigkeit ihrer Argumentation haben, sind für die Philosophie verloren./

     


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Philosophie

Die Klärung des Sprachgebrauches.
Fallen der Sprache.

     


     Wie kommt es, daß die Philosophie ein so komplizierter Bau| //Aufbau// ist. Sie sollte doch gänzlich einfach sein, wenn sie jenes Letzte, von aller Erfahrung Unabhängige ist, wofür Du sie ausgibst. — Die Philosophie löst die Knoten in unserem Denken auf; daher muß ihr Resultat einfach sein, ihre Tätigkeit aber so kompliziert wie die Knoten, die sie auflöst.

     


     Lichtenberg: “Unsere ganze Philosophie ist Berichtigung des Sprachgebrauchs, also, die Berichtigung einer Philosophie, und zwar der allgemeinsten.”

     


     (Die Fähigkeit zur Philosophie besteht in der Fähigkeit, von einer Tatsache der Grammatik einen starken und? nachhaltigen Eindruck zu empfangen.)


     


     /Das Lehren der Philosophie hat dieselbe ungeheure Schwierigkeit, welche der Unterricht in der Geographie hätte, wenn der Schüler eine Menge falsche und viel zu einfache| //und falsch vereinfachte// Vorstellungen über den Lauf und Zusammenhang der Flußläufe?| //Flüsse// und Gebirgsketten| //Gebirge// mitbrächte./

     


     /Die Menschen sind tief in den philosophischen d.i. grammatischen Konfusionen eingebettet. Und, sie daraus zu befreien, setzt voraus, daß man sie aus den ungeheuer mannigfachen Verbindungen herausreißt, in denen sie gefangen sind. Man muß sozusagen ihre ganze Sprache umgruppieren. — Aber diese Sprache ist ja so entstanden| //geworden//, weil Menschen die Neigung hatten — und haben —    so   zu denken. Darum geht das

Herausreißen nur bei denen, die in einer instinktiven Auflehnung gegen die| Unbefriedigung mit der Sprache leben. Nicht bei denen, die ihrem ganzen Instinkt nach in    der   Herde leben, die diese Sprache als ihren eigentlichen Ausdruck geschaffen hat./

     


     Die Sprache hat für Alle die gleichen Fallen bereit; das ungeheure Netz gut erhaltener| //gangbarer// Irrwege. Und so sehen wir also Einen nach dem Andern die gleichen Wege gehen und wissen schon, wo er jetzt abbiegen wird, wo er geradeaus fortgehen wird, ohne die Abzweigung zu bemerken, etc. etc.. Ich sollte also an allen den Stellen, wo falsche Wege abzweigen, Tafeln aufstellen, die über die gefährlichen Punkte hinweghelfen.

     


     Man hört immer wieder die Bemerkung, daß die Philosophie eigentlich keinen Fortschritt mache, daß die gleichen philosophischen Probleme, die schon die Griechen beschäftigten, uns noch beschäftigen. Die das aber sagen, verstehen nicht den Grund, warum es so ist| //sein muß//. Der ist aber, daß unsere Sprache sich gleich geblieben ist und uns immer wieder zu denselben Fragen verführt. Solange es ein Verbum ‘sein’ geben wird, das zu funktionieren scheint wie ‘essen’ und ‘trinken’, solange es Adjektive ‘identisch’, ‘wahr’, ‘falsch’, ‘möglich’ geben wird, solange von einem Fluß der Zeit und von einer Ausdehnung des Raumes die Rede sein wird, u.s.w., u.s.w., solange werden die Menschen immer wieder an die gleichen rätselhaften Schwierigkeiten stoßen, und auf etwas starren, was keine Erklärung scheint wegheben zu können.
     Und dies befriedigt im Übrigen ein Verlangen nach dem Überirdischen| //Transzendenten//, denn, indem sie die “Grenze des menschlichen Verstandes” zu sehen glauben, glauben sie natürlich, über ihn hinaus sehen zu können.



     


     Der Konflikt, in welchem wir uns in logischen Betrachtungen immer wieder befinden, ist wie der Konflikt zweier Personen, die miteinander einen Vertrag abgeschlossen haben, dessen letzte Formulierungen in leicht mißdeutbaren Worten niedergelegt sind, wogegen die Erläuterungen zu diesen Formulierungen alles in unmißverständlicher Weise erklären. Die eine der beiden Personen nun hat ein kurzes Gedächtnis, vergißt die Erläuterungen immer wieder, mißdeutet die Bestimmungen des Vertrages und kommt| //gerät daher// fortwährend in Schwierigkeiten. Die andere muß immer von frischem an die Erläuterungen im Vertrag erinnern und die Schwierigkeit wegräumen.

     


     Erinnere Dich daran, wie schwer es Kindern fällt, zu glauben, (oder einzusehen) daß ein Wort wirklich zwei ganz verschiedene Bedeutungen hat| //haben kann//.







     

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     Daß uns nichts auffällt, wenn wir uns umsehen, im Raum herumgehen, unseren eigenen Körper fühlen etc. etc., das zeigt, wie natürlich uns eben diese Dinge sind. Wir nehmen nicht wahr, daß wir den Raum perspektivisch sehen oder daß das Gesichtsbild gegen den Rand zu in irgendeinem Sinne verschwommen ist. Es fällt uns nie auf und kann uns nie auffallen, weil es    die   Art der Wahrnehmung ist. Wir denken nie darüber nach, und es ist unmöglich, weil es zu der Form unserer Welt keinen Gegensatz gibt.

     


     Ich wollte sagen, es ist merkwürdig, daß die, die nur den Dingen, nicht unseren Vorstellungen, Realität zuschreiben, sich in der Vorstellungswelt so selbstverständlich bewegen und sich nie aus ihr heraussehnen.
     D.h., wie selbstverständlich ist doch das Gegebene. Es müßte mit allen Teufeln zugehen, wenn das das kleine, aus einem schiefen Winkel aufgenommene Bildchen wäre.
     Dieses Selbstverständliche,    das Leben  , soll etwas Zufälliges, Nebensächliches sein; dagegen etwas, worüber ich mir normalerweise nie den Kopf zerbreche, das Eigentliche!
     D.h., das, worüber hinaus man nicht gehen kann, noch gehen will, wäre nicht die Welt.
     Immer wieder ist es der Versuch, die Welt in der Sprache abzugrenzen und hervorzuheben — was aber nicht geht. Die Selbstverständlichkeit der Welt drückt sich eben darin aus, daß die Sprache nur sie bedeutet, und nur sie bedeuten kann.
     Denn, da die Sprache die Art ihres Bedeutens erst von ihrer Bedeutung, von der Welt, erhält, so ist keine Sprache denkbar, die nicht diese Welt darstellt.

     


     In den Theorien und Streitigkeiten der Philosophie finden wir die Worte, deren Bedeutungen uns vom alltäglichen Leben her wohlbekannt sind, in einem ultraphysischen Sinne angewandt.

     


     Wenn die Philosophen ein Wort gebrauchen und nach seiner Bedeutung forschen, muß man sich immer fragen: wird denn dieses Wort in der Sprache, die es geschaffen hat| //für die es geschaffen ist//, je tatsächlich so gebraucht?
     Man wird dann meistens finden, daß es nicht so ist, und das Wort gegen seine normale| //entgegen seiner normalen// Grammatik gebraucht wird. (“Wissen”, “Sein”, “Ding”.)


     


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      Methode in der Philosophie.
Möglichkeit des ruhigen Fortschreitens.



     


     Die Unruhe in der Philosophie kommt daher, daß die

Philosophen die Philosophie falsch ansehen, falsch sehen, nämlich gleichsam in (unendliche) Längsstreifen zerlegt, statt in (endliche) Querstreifen. Diese Umstellung der Auffassung macht die    größte   Schwierigkeit. Sie wollen also gleichsam den unendlichen Streifen erfassen, und klagen, daß es| //dies// nicht Stück für Stück möglich ist. Freilich nicht, wenn man unter einem Stück einen endlosen Längsstreifen versteht. Wohl aber, wenn man einen Querstreifen als Stück| //ganzes, definitives Stück// sieht. — Aber dann kommen wir ja mit unserer Arbeit nie zu Ende! Freilich| Gewiß nicht, denn sie hat ja keins.

     


     (Statt der turbulenten Mutmaßungen und Erklärungen wollen wir ruhige Darlegungen| //Konstatierungen// sprachlicher Tatsachen geben.| //? —von sprachlichen Tatsachen geben— ?.//)| //wollen wir die ruhige Festsetzung sprachlicher Tatsachen.//)

     


     Wir müssen die ganze Sprache durchpflügen.

     


     (Die meisten Menschen, wenn sie eine philosophische Untersuchung anstellen sollen, machen es wie Einer, der äußerst nervös einen Gegenstand in einer Lade sucht. Er wirft Papiere aus der Lade heraus — das Gesuchte mag darunter sein — blättert hastig und ungenau unter den übrigen. Wirft wieder einige in die Lade zurück, bringt sie mit den andern durcheinander, u.s.w.. Man kann ihm dann nur sagen: Halt, wenn Du    so   suchst, kann ich Dir nicht suchen helfen. Erst mußt Du anfangen, in voll-

ster Ruhe methodisch eins nach dem andern zu untersuchen; dann bin ich auch bereit, mit Dir zu suchen und mich auch in der Methode nach Dir zu richten.)

     


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Die Mythologie in den Formen
      unserer Sprache. [Paul Ernst]

     


     In den alten Riten haben wir den Gebrauch einer äußert ausgebildeten Gebärdensprache.
     Und wenn ich in Frazer lese, so möchte ich auf Schritt und Tritt sagen: Alle diese Prozesse, diese Wandlungen der Bedeutung, haben wir noch in unserer Wortsprache vor uns. Wenn das, was sich in der letzten Garbe verbirgt, der ‘Kornwolf’ genannt wird, aber auch diese Garbe selbst, und auch der Mann der sie bindet, so erkennen wir hierin einen uns wohlbekannten sprachlichen Vorgang.







     

     Die primitiven Formen unserer Sprache: Substantiv, Eigenschaftswort und Tätigkeitswort zeigen das einfache Bild, auf dessen Form sie alles zu bringen sucht.


     


Phänomenologie


     


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Phänomenologie ist
Grammatik

     


     Die Untersuchung der Regeln des Gebrauchs unserer Sprache, die Erkenntnis dieser Regeln und übersichtliche Darstellung, läuft auf das hinaus, d.h. leistet dasselbe, was man oft durch die Konstruktion einer phänomenologischen Sprache leisten| //erzielen// will.
     Jedesmal, wenn wir erkennen, daß die und die Darstellungsweise auch durch eine andre ersetzt werden kann, machen wir einen Schritt zu diesem Ziel.

     


     ““Angenommen, mein Gesichtsbild wären zwei gleichgroße rote Kreise auf blauem Grund: was ist hier in zweifacher Zahl vorhanden, und was einmal? (Und was bedeutet diese Frage überhaupt?) — Man könnte sagen: wir haben hier    eine   Farbe, aber zwei Örtlichkeiten. Es wurde aber auch gesagt, rot und kreisförmig seien Eigenschaften von zwei Gegenständen, die man Flecke nennen könnte, und die in gewissen räumlichen Beziehungen zu einander stehen.”” Die Erklärung “es sind hier zwei Gegenstände — Flecke —, die …” klingt wie eine Erklärung der Physik. Wie wenn Einer fragt “was sind das für rote Kreise, die ich dort sehe” und

ich antworte “das sind zwei rote Laternen, etc.”. Eine Erklärung wird aber hier nicht gefordert (unsere Unbefriedigung durch eine Erklärung lösen zu wollen ist der Fehler der Metaphysik). Was uns beunruhigt, ist die Unklarheit über die Grammatik des Satzes “ich sehe zwei rote Kreise auf blauem Grund”; insbesondere die Beziehungen zur Grammatik der Sätze| //eines Satzes// wie “auf dem Tisch liegen zwei rote Kugeln”; und wieder “auf diesem Bild sehe ich zwei Farben”. Ich kann| //darf// natürlich statt des ersten Satzes sagen: “ich sehe zwei Flecken mit| //von// den Eigenschaften Rot und Kreisförmig und in der räumlichen Beziehung Nebeneinander” — und ebensowohl: “ich sehe die Farbe rot an zwei kreisförmigen Örtlichkeiten nebeneinander” — wenn ich bestimme, daß diese Ausdrücke das gleiche bedeuten sollen, wie der obige Satz. Es wird sich dann einfach die Grammatik der Wörter “Fleck”, “Örtlichkeit”, “Farbe”, etc. nach der (Grammatik) der Wörter des ersten Satzes richten müssen. Die Konfusion entsteht hier dadurch, daß wir glauben, über das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein eines Gegenstands (Dinges) — des Flecks — entscheiden zu müssen; wie wenn man entscheidet, ob, was ich sehe (im physikalischen Sinn) ein roter Anstrich oder ein Reflex ist.

     


     Irrtümliche Anwendung unserer physikalischen Ausdrucksweise auf Sinnesdaten. “Gegenstände”, d.h. Dinge, Körper im Raum des Zimmers — und “Gegenstände” im Gesichtsfeld; der Schatten eines Körpers an der Wand als Gegenstand! Wenn man gefragt wird: “existiert der Kasten noch, wenn ich ihn nicht anschaue”, so ist die korrekte Antwort: “ich glaube nicht, daß ihn jemand gerade dann wegtragen wird, oder zerstören”. Die Sprachform “ich nehme x wahr” bezieht sich ursprünglich auf ein Phänomen (als Argument)

im physikalischen Raum (ich meine hier: im “Raum” der alltäglichen Ausdrucksweise). Ich kann diese Form daher nicht unbedenklich auf das anwenden, was man Sinnesdatum nennt, etwa auf ein optisches Nachbild. (Vergleiche auch, was wir über die Identifizierung von Körpern, und anderseits von Farbflecken im Gesichtsfeld gesagt haben.) Was es heißt: ich, das Subjekt, stehe dem Tisch, als Objekt, gegenüber, kann ich leicht verstehen; in welchem Sinne aber stehe ich meinem optischen Nachbild des Tisches gegenüber?
     “Ich kann diese Glasscheibe nicht sehen, aber ich kann sie fühlen”. Kann man sagen: “ich kann das Nachbild nicht    sehen  , aber…”? Vergleiche: “Ich sehe den Tisch deutlich”;
     “ich sehe das Nachbild deutlich”.
      “Ich höre die Musik deutlich”;
     “ich höre das Ohrensausen deutlich”.
     Ich sehe den Tisch nicht deutlich, heißt etwa: ich sehe nicht alle Einzelheiten des Tisches; — was aber heißt es: “ich sehe nicht alle Einzelheiten des Nachbildes”, oder: “ich höre nicht alle Einzelheiten des Ohrenklingens”?
     Könnte man nicht sehr wohl statt “ein Nachbild sehen” sagen: “ein Nachbild haben”? Denn: ein Nachbild “   sehen  ”? im Gegensatz wozu? —
     “Wenn Du mich auf den Kopf schlägst, sehe ich Kreise”. — “Sind es genaue Kreise, hast Du sie gemessen?” (Oder: “sind es gewiß Kreise, oder täuscht Dich Dein Augenmaß?”) — Was heißt es nun, wenn man sagt: “wir können nie einen genauen Kreis sehen”? Soll das eine Erfahrungstatsache sein, oder die Konstatierung einer logischen Unmöglichkeit? — Wenn das letztere, so heißt es also, daß es keinen Sinn hat, vom Sehen eines genauen Kreises zu reden. Nun, das kommt drauf an, wie man das Wort gebrauchen will. “Genauer Kreis” im Gegensatz zu einem Gesichtsbild, das wir eine sehr kreisähnliche Ellipse nennen würden, kann man doch gewiß sagen.

Das Gesichtsbild ist ein genauer Kreis,|    Das   Gesichtsbild ist dann ein genauer Kreis, welches uns wirklich, wie wir sagen würden, kreisförmig erscheint und nicht vielleicht nur sehr ähnlich einem Kreis| Kreise. Ist anderseits von einem Gegenstand der Messung die Rede, so gibt es wieder verschiedene Bedeutungen des Ausdrucks “genauer Kreis”, je nach dem Erfahrungskriterium, welches ich dafür bestimme, daß der Gegenstand genau kreisförmig ist.| //…je nach dem Erfahrungskriterium, das ich für die genaue Kreisförmigkeit des Gegenstandes bestimme.// Wenn ich nun sage| //wir nun sagen//: “keine Messung ist absolut genau”, so erinnern wir hier an einen Zug in der Grammatik der Angabe von Messungsresultaten. Denn sonst könnte uns Einer sehr wohl antworten: “wie weißt Du das, hast Du alle Messungen untersucht?” — “Man kann nie einen genauen Kreis sehen” kann die    Hypothese   sein, daß genauere Messung eines kreisförmig aussehenden Gegenstandes immer zu dem Resultat führen wird, daß der Gegenstand von der Kreisform abweicht. — Der Satz “man kann ein 100-Eck nicht von einem Kreis unterscheiden” hat nur Sinn, wenn man die beiden auf irgend    eine   Weise unterscheiden kann, und sagen will, man könne sie, etwa visuell, nicht unterscheiden. Wäre keine Methode der Unterscheidung vorgesehen, so hätte es also keinen Sinn, zu sagen, daß diese zwei Figuren (zwar) gleich aussehen, aber “in Wirklichkeit”| //“tatsächlich”// verschieden sind. Und jener Satz wäre dann etwa die Definition 100-Eck = Kreis.
     Ist in irgend einem Sinne ein genauer Kreis im Gesichtsfeld undenkbar, dann muß der Satz “ich sehe nie einen genauen Kreis im Gesichtsfeld” von der Art des Satzes sein: “ich sehe nie ein hohes C im Gesichtsfeld”.|//…, dann muß der Satz “im Gesichtsfeld ist nie ein genauer Kreis” von der Art des Satzes sein: “im Gesichtsfeld ist nie ein hohes C.”//

     


     Der Farbenraum wird    beiläufig   dargestellt durch das Oktaeder, mit den reinen Farben an den Eckpunkten und diese Darstellung ist eine grammatische, keine psychologische. Zu sagen, daß unter den und den Umständen — etwa — ein rotes Nachbild sichtbar wird, ist dagegen Psychologie (   das   kann sein, oder auch nicht, das andere ist a priori; das Eine kann durch Experimente festgestellt werden, das Andere nicht.)








     


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      Kann man in die Eigenschaften des Gesichtsraumes tiefer eindringen? etwa durch Experimente?

     


     Die Tatsache, daß man ein physikalisches Hunderteck als Kreis sieht, es nicht von einem physikalischen Kreis unterscheiden kann, sagt gar nichts über die    Möglichkeit  , ein Hunderteck zu sehen.
     Daß es mir nicht gelingt, einen physikalischen Körper zu finden, der das Gesichtsbild eines Hundertecks gibt, ist nicht von logischer Bedeutung. Es frägt sich: Hat es    Sinn   von einem Gesichts-Hunderteck zu reden? Oder: Hat es Sinn, von    zugleich gesehenen   30 Strichen nebeneinander zu reden. Ich glaube, nein.
     Der Vorgang ist gar nicht so, daß man zuerst ein Dreieck, dann ein Viereck, Fünfeck etc. bis z.B. zum 50-Eck sieht und dann der Kreis kommt; sondern man sieht ein Dreieck, ein Viereck etc. bis vielleicht zum Achteck, dann sieht man nur mehr Viel-Ecke mit mehr oder weniger langen Seiten. Die Seiten werden kleiner, dann beginnt ein Fluktuieren zum Kreis hin und dann kommt der Kreis.
     Daß eine physikalische Gerade als Tangente an einen Kreis gezogen das Gesichtsbild einer geraden Linie gibt, die ein Stück weit mit der gekrümmten zusammenläuft, beweist auch nicht, daß unser Sehraum nicht euklidisch ist, denn es könnte sehr wohl ein anderes physikalisches Gebilde das der euklidischen Tangente entsprechende Bild erzeugen. Tatsächlich aber ist ein solches Bild undenkbar.

     


     Wenn man frägt, ob die Tonleiter eine unendliche Möglichkeit der Fortsetzung in sich trägt, so ist die Antwort nicht dadurch gegeben, daß man Luftschwingungen, die eine gewisse Schwingungszahl überschreiten nicht mehr als Töne wahrnimmt, denn es könnte ja die Möglichkeit bestehen, höhere Tonempfindungen auf andere Art und Weise hervorzurufen.

     


     Die Geometrie unseres Gesichtsraumes ist uns gegeben, d.h., es bedarf keiner Untersuchung bis jetzt verborgener Tatsachen, um sie zu finden. Die Untersuchung ist keine, im Sinn einer physikalischen oder psychologischen Untersuchung. Und doch kann man sagen, wir kennen diese Geometrie noch nicht. Diese Geometrie ist Grammatik & die Untersuchung eine grammatische Untersuchung.

     

…
      Man kann sagen, diese Geometrie liegt offen vor uns (wie alles Logische — im Gegensatz zur praktischen Geometrie des physikalischen Raumes).

     



     Niemand kann uns unseren| den Gesichtsraum näher kennen lehren. Aber wir können seine sprachliche Darstellung übersehen lernen. Unterscheide die geometrische Untersuchung von der Untersuchung der Vorgänge im Gesichtsraum.



     

     Vergleich des Arbeitens an der Rechenmaschine mit dem Messen geometrischer Gebilde. Machen wir bei dieser Messung ein Experiment, oder verhält es sich so, wie im Falle der Rechenmaschine, daß wir nur interne Relationen feststellen und das physikalische Resultat unserer Operationen nichts beweist?





     


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Gesichtsraum im Gegensatz zum Euklidischen Raum.

     


     Wenn die Aussage, daß wir nie einen genauen Kreis    sehen  , bedeuten soll, daß wir z.B. keine Gerade sehen, die den Kreis in einem Punkt berührt (d.h., daß nicht in unserm Sehraum die Multiplizität der einen Kreis berührenden Geraden hat) dann ist zu    dieser   Ungenauigkeit nicht ein beliebig hoher Grad der Genauigkeit denkbar.
      Das Wort “Gleichheit” hat eine andere Bedeutung, wenn wir es auf Strecken im Sehraum anwenden, als, die es auf den physikalischen Raum angewendet hat. Die Gleichheit im Sehraum hat eine andere Multiplizität als die Gleichheit im physikalischen Raum,    darum   können im Sehraum g' und g'' Gerade (Sehgerade)
sein und die Strecken a' = a'', a'' = a''' etc. aber    nicht   a' = a''''' sein. Ebenso hat der Kreis und die Gerade im Gesichtsraum eine andere Multiplizität als Kreis und Gerade im physikalischen Raum, denn ein kurzes Stück eines gesehenen Kreises kann gerade sein; “Kreis” und “Gerade” eben im Sinne der Gesichtsgeometrie angewandt.
     Die gewöhnliche Sprache hilft sich hier mit dem Wort “scheint” oder “erscheint”. Sie sagt a' und a'' scheinen gleich zu sein, während zwischen a' und a''''' dieser Schein schon nicht mehr besteht. Aber sie benutzt das Wort “scheint” zweideutig. Denn seine Bedeutung hängt davon ab, was diesem Schein nun als das Sein entgegengestellt wird. In einem Fall, ist es das Resultat einer Messung, im anderen eine weitere Erscheinung. In diesen Fällen ist also die Bedeutung des Wortes “scheinen” eine verschiedene.


     


     Die visuelle Gerade berührt den visuellen Kreis nicht in    einem   Punkt, sondern in einer visuellen Strecke. — Wenn ich die? Zeichnung eines Kreises und einer Tangente ansehe, so ist| //wäre// nicht das merkwürdig, wenn| //daß// ich etwa niemals einen vollkommenen Kreis und eine vollkommene Gerade miteinander in Berührung sehe; interessant ist| //wird| wäre// es erst, wenn ich sie sehe, und dann die Tangente mit dem Kreis ein Stück zusammenläuft.

     


⇐
     Die Verschwommenheit, Unbestimmtheit unserer Sinneseindrücke ist nicht etwas, dem sich abhelfen läßt, eine Verschwommenheit, der auch völlige Schärfe entspricht (oder entgegensteht). Vielmehr ist diese allgemeine Unbestimmtheit, Ungreifbarkeit, dieses Schwimmen der Sinneseindrücke, das, was mit dem Worte “alles fließt” bezeichnet worden ist. Wir sagen “man sieht nie einen genauen Kreis”, und wollen sagen, daß, auch wenn wir keine Abweichung von der Kreisform sehen, uns das keinen genauen Kreis gibt. (Es ist, als wollten wir sagen: wir können dieses Werkzeug nie genau führen, denn wir halten nur den Griff und das Werkzeug sitzt im Griff lose.) Was aber verstehen wir dann unter dem    Begriff   ‘genauer Kreis’? Wie sind wir zu diesem Begriff überhaupt gekommen? Nun, wir denken z.B. an eine genau gemessene Kreisscheibe aus einem sehr harten Stahl. Aha — also dorthin zielen wir mit dem Begriff ‘genauer Kreis’. Freilich, davon finden wir im Gesichtsbild nichts. Wir haben eben die Darstellungsform gewählt, die die Stahlscheibe genauer nennt als die Holzscheibe und die Holzscheibe genauer als die Papierscheibe. Wir haben den Begriff “genau” durch eine Reihe bestimmt, und reden von den Sinneseindrücken als Bildern, ungenauen Bildern, der physikalischen Gegenstände.

     


     Zwingt mich etwas zu der Deutung, daß der Baum, den ich durch mein Fenster sehe, größer ist als das Fenster? Das kommt darauf an, wie ich die Wörter “größer” und “kleiner” gebrauche. — Denken wir uns die normale| //alltägliche// visuelle Erfahrung wäre es für uns, Stäbe in

verschiedenen Lagen zu sehen, die durch Teilstriche in (visuell) gleiche Teile geteilt wären. Könnte sich da nicht ein doppelter Gebrauch der Worte “länger” und “kürzer” einbürgern. Wir würden nämlich manchmal den Stab den längeren nennen, der in mehr Teile geteilt wäre; etc..

     


     Messen einer Länge im Gesichtsfeld durch Anlegen eines visuellen Maßstabes. D.i., eines Stabes, der durch Teilstriche in gleiche Teile geteilt ist. Es gibt hier eine Messung, die darin besteht, daß der Maßstab an zwei Längen| Strecken angelegt wird. Und zwar können 2 Maßstäbe je einer an eine Länge angelegt werden und das Kriterium für die Gleichheit der Maßeinheit ist, daß die Einheiten gleichlang aussehen. Es kann aber auch ein Maßstab von einer Länge| //Strecke// zur andern transportiert werden und das Kriterium der Konstanz der Maßeinheit ist, daß wir keine Veränderung merken. Während das Kriterium dafür, daß die gemessenen Längen sich nicht verändern etwa darin besteht, daß wir keine Bewegung der Endpunkte wahrgenom-

men haben. Ich kann unzählige verschiedene Bestimmungen darüber treffen, welches das Kriterium der Längengleichheit im Gesichtsbild sein soll und danach werden sich wieder verschiedene Bedeutungen der Maßangaben ergeben.

     


Teilbarkeit. Unendliche Teilbarkeit.
     Die unendliche Teilbarkeit der euklidischen Strecke besteht in der    Regel   (Festsetzung), daß es Sinn hat, von einem n-ten Teil jedes Teils zu sprechen. Spricht man aber von der Teilbarkeit einer Länge im Gesichtsraum und fragt, ob eine solche noch teilbar, oder endlos teilbar ist, so suchen wir hier nach einer Regel, die einer gewissen Realität entspricht (aber    wie   entspricht sie ihr?). Ich sehe einen schwarzen Streifen an der Wand vor mir, — ist seine Breite teilbar? Was ist das Kriterium dafür? Hier gibt es nun unzählige Kriterien, die wir alle als Kriterien der Teilbarkeit im Gesichtsfeld bezeichnen| //anerkennen// würden, und die stufenweise in einander übergehen. Vor allem könnte die Bedeutung von “Teilbarkeit” so festgelegt werden, daß ein Versuch sie erweist; dann ist es also nicht “logische Möglichkeit” der Teilung, sondern physische Möglichkeit, und die logische Möglichkeit, die hier in Frage kommt, ist in der Beschreibung des Versuchs der Teilung gegeben — wie immer dieser Versuch ausgehn mag.
     Was würden wir nun einen “Versuch der Teilung” nennen? — Etwa den, einen Strich neben den ersten zu malen, der gleichbreit aussieht und aus einem grünen und roten Längsstreifen besteht, wobei die Erinnerung das Kriterium dafür gäbe, daß der schwarze Streife die gleiche Breite habe, die er hatte, als wir die Frage stellten. (D.h., daß wir als gleiche Breite des schwarzen Streifens jetzt und früher das    bezeichnen  , was als gleichbreit erinnert wird.) Anderseits könnte ich als Kriterium der Teilbarkeit des schwarzen Streifens festsetzen, daß zugleich mit ihm ein gleichbreit aussehender und geteilter Streifen gesehen wird. Und als Vollzug der möglichen Teilung würde ich dann die Ersetzung des ungeteilten durch einen geteilten bezeichnen …

     


… aber es ist für die Bedeutung des Wortes “Zentaur” wesent-
lich, daß wir einen malen, oder modellieren können. — So aber ist es auch für den Sinn des Satzes “ich kann 30 Teile als Zahl übersehen” wesentlich,    was   ich etwa als Beispiel dieses Überblickens zeigen kann, und daß ich keinen Fall eines Überblickens von 30 Strichen als Muster zeigen kann. Hier kann man sagen: ich kann mir das Übersehen von 30 Strichen| //Überblicken von 30 Strichen als Zahlbild// nicht vorstellen, ich weiß nicht, wie das wäre, und die Frage “wie wäre es, wenn …” ist für mich unsinnig, denn es ist mir kein Kriterium zur Entscheidung gegeben.

     


     Wenn wir die Bedeutungen der Ausdrücke “gleichlang” und anderer im Gesichtsraum mit den Bedeutungen der selben Wörter im euklidischen Raum verwechseln, dann geraten| //kommen// wir in| auf Widersprüche und fragen dann: “Wie ist so eine Erfahrung möglich?! Wie ist es möglich, daß 24 gleichlange Strecken zusammen die gleiche Länge ergeben, wie 25 ebensolange? Habe ich wirklich so eine Erfahrung gehabt?”

     


     “Ist ein Feld eines Schachbretts einfacher, als das ganze Schachbrett?” Das kommt darauf an, wie Du das Wort “einfacher” gebrauchst. Meinst Du damit “aus einer kleineren Anzahl von Teilen bestehend”, so sage ich: Wenn diese Teile etwa die Atome des Schachbretts sind, so ist also das Feld einfacher als das Schachbrett, — wenn Du aber vom visuellen Schachbrett sprichst,| //von dem sprichst, was wir am Schachbrett    sehen  ,// so bestehen ja die Felder nicht aus Teilen, es sei denn, daß sie wieder aus kleineren Flecken bestehen, und wenn Du dann den Fleck den einfacheren nennst, der weniger Flecken enthält, so ist wieder das Feld einfacher als das Schachbrett. “Ist aber die gleichmäßig gefärbte Fläche einfach?” — Wenn “einfach” bedeutet: nicht aus Flecken mehrerer Farben zusammengesetzt, — ja!
     Aber können wir nicht sagen: einfach ist, was sich nicht teilen    läßt  ? —    Wie   teilen läßt? Mit dem Messer? Und mit welchem Messer? Beschreibe mir erst die Methode der Teilung, die Du erfolglos anwendest, dann werde ich wissen, was Du “unteilbar” nennst. Aber vielleicht willst Du

sagen: ‘unteilbar’ nenne ich nicht das, was man erfolglos zu teilen versucht, sondern das, wovon es sinnlos (unerlaubt) ist zu sagen, es bestehe aus Teilen. — Dann ist ‘unteilbar’ eine grammatische Bestimmung. Eine Bestimmung also, die Du selber machen kannst und durch welche Du die Bedeutung, den Gebrauch andrer Wörter festlegst. Wenn ich etwa sage: ein einfärbiger Fleck ist unteilbar (einfach), denn, wenn ich ihn — z.B. — durch einen Strich teile, so ist er nicht mehr einfärbig, — so setze ich damit fest, in welcher Bedeutung ich das Wort “teilen” gebrauchen will. Wenn nun gefragt wird: “besteht das Gesichtsbild aus minima visibilia”, so fragen wir zurück: wie verwendest Du das Wort “aus … bestehen”? Wenn in dem Sinn, in welchem ein Schachbrett aus schwarzen und weißen Feldern besteht, — nein! — Denn Du wolltest doch nicht leugnen, daß wir einfärbige Flecke sehen (ich meine Flecke, deren    Erscheinung   einfärbig ist). Wenn Du aber etwa? sagen willst, daß ein    physikalischer   Fleck (ein    meßbarer   Fleck im physikalischen Raum) verkleinert werden kann, bis wir ihn aus einer bestimmten Entfernung nicht mehr sehen, daß er dann beim Entschwinden gemessen und in dieser Ausdehnung der kleinst sichtbare Fleck genannt werden kann, so stimmen wir bei.

     

…
      Wenn wir in der Geometrie sagen, das regelmäßigeSechseck bestehe aus sechs gleichseitigen Dreiecken, so heißt das daß es Sinn hat, von einem regelmäßigen Sechseck zu reden, das aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht. Wenn darauf hin gefragt würde “ist also das Sechseck einfach oder zusammengesetzt”, so müßte ich antworten: bestimme Du selbst, wie Du die Wörter “einfach” und “zusammengesetzt” gebrauchen willst.



     


     Wir können in einem absoluten Sinne| //in absolutem Sinne// von einem Ort im Gesichtsfeld reden. Denken wir uns, daß ein roter Fleck im Gesichtsfeld verschwindet und in gänzlich neuer Umgebung wieder auftaucht, so hat es Sinn zu sagen, er tauche am gleichen Ort oder an einem andern Ort wieder auf. (Wäre ein solcher Raum mit einer Fläche vergleichbar, die von Punkt zu Punkt eine andere Krümmung hätte, so daß wir jeden Ort auf der Fläche als absolutes Merkmal angeben könnten?)


     

     Der Gesichtsraum ist ein gerichteter Raum, in dem es ein Oben und Unten, Rechts und Links gibt. Und diese Bestimmungen haben nichts mit der Richtung der Schwerkraft oder der rechten und linken Hand zu tun. …

     


     Ich kann die Figur graphicsV als Buchstaben, als Zeichen für “kleiner”, oder für “größer” sehen, auch ohne es| sie mit meinem Körper zusammen zu sehen. Vielleicht wird man sagen, daß ich die Lage meines Körpers fühle, ohne ihn zu sehen. Gewiß, und ich sage eben, daß ‘die gefühlte Lage’ nicht ‘die gesehene Lage’ ist; daher können sie auch nicht miteinander verglichen, wohl aber einander zugeordnet werden.
     Die Wörter “oben”, “unten”, “rechts”, “links” haben andere Bedeutung im Gesichtsraum, andere im Gefühlsraum. Aber auch das Wort “Gefühlsraum” ist mehrdeutig. (Definitionen der Wörter “oben”, “unten”, etc. durch die Spitze des Buchstaben “graphicsV”, des Zeichens “kleiner” graphics< und “größer” graphics> einerseits, anderseits durch Kopf- und Fußschmerzen; oder durch Gleichgewichtsgefühle.)

     


     “Ist Distanz in der Struktur des Gesichtsraumes schon enthalten, oder scheint es uns nur so, weil wir gewisse Erscheinungen

des Gesichtsbildes mit gewissen Erfahrungen des Tastsinnes assoziieren, welche letztere erst Distanzen betreffen?” Woher nehmen wir diese Vermutung? Wir scheinen dergleichen irgendwo angetroffen zu haben. Denken wir nicht an folgenden Fall? diese Melodie mißfiele mir nicht, wenn ich sie nicht unter diesen unangenehmen Umständen zum erstenmal gehört hätte. Aber hier gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder die Melodie mißfällt mir, wie manche andere, für deren Mißfallen ich jenen Grund nicht angeben würde, und es ist bloß eine Vermutung, daß die Ursache meines Mißfallens in jenem früheren Erlebnis liegt. Oder aber, wenn immer ich die Melodie höre, fällt mir jenes Erlebnis ein und macht mir das Hören der Melodie unangenehm; dann ist meine Aussage keine Hypothese über die Ursache meines Mißfallens, sondern eine Beschreibung dieses Mißfallens selbst. — Wenn also gefragt wird: “scheint es uns nur so, daß eine Strecke im Gesichtsraum selbst länger ist, als eine andere und bezieht sich das ‘länger’ nicht bloß auf eine Erfahrung des Tastsinns, die wir mit dem Gesehenen assoziieren”, — so ist zu antworten: Weißt Du etwas von dieser Assoziation?    beschreibst   Du mit ihr Dein Erlebnis, oder vermutest Du sie nur als Ursache Deines Erlebnisses? — Wenn das letztere, so können wir von Distanzen im Gesichtsraum reden, ohne auf die mögliche Ursache unserer Erfahrung Rücksicht zu nehmen. Dabei muß man sich daran erinnern, daß die Aussagen über Distanzen (daß diese Strecke gleichlang ist wie jene, oder länger als jene, etc.) einen andern Sinn haben, wenn sie sich auf den Gesichtsraum, und einen andern, wenn sie sich auf den euklidischen Raum beziehen.


     

     Zu sagen, der Punkt B ist nicht zwischen A und C (die Strecke a nicht kürzer als c), sondern dies erscheine uns nur so wegen gewisser Assoziationen, klingt und ist absurd, weil wir uns eben in unserer Aussage gar nicht um eventuelle Ursachen der Erscheinung kümmern, sondern nur diese im Gegensatz zu andern Erscheinungen

beschreiben.
     Wenn Du sagst, der Punkt B    erscheint  |    scheint   Dir nur zwischen A und C (zu liegen), so antworte ich:    das ist es ja, was ich sage  , nur gebrauche ich    dafür   den Ausdruck “er liegt zwischen A und C”.
     Und wenn Du fragst “scheint es nicht nur so”, so antworte ich: Welche Methode würdest Du denn anwenden, um die Antwort auf Deine Frage zu finden. Dann nämlich werde ich verstehen, was Dein Verdacht eigentlich betrifft. Wenn Du sagst: ist auf diesem Tisch nicht doch vielleicht etwas, was ich nicht sehe, so antworte ich: Wie könnten wir denn das Betreffende finden? Versuche mir doch eine Erfahrung zu beschreiben, die Dich sagen lassen würde| //veranlassen würde, zu sagen//: “es war doch noch etwas da”. Beschreibe mir die Erfahrung, die Dich davon überzeugen würde, daß B doch nicht zwischen A und C liegt, und ich werde verstehen, welcher Art der| //dieser// wirkliche Sachverhalt im Gegensatz zum scheinbaren ist. Aber Eines ist klar: die Erfahrung, die Dich das lehrt, kann nicht diejenige ändern, die ich mit den Worten beschreibe “ B liegt zwischen A und C”.
     Dem Einwurf liegt aber eine falsche Auffassung der logischen Analyse zugrunde. Was wir vermissen ist nicht ein genaueres Hinsehen (etwa auf A, B und C) und die Entdeckung eines Vorgangs    hinter   dem gewöhnlich| //oberflächlich// beobachteten (dies wäre die Untersuchung eines physikalischen oder psychologischen Phänomens), sondern die Klarheit in der Grammatik der Beschreibung des alten Phänomens. Denn, sähen wir genauer hin, so sähen wir eben etwas    Anderes   und hätten nichts für unser Problem gewonnen.    Diese   Erfahrung, nicht eine andere, sollte beschrieben werden.

     


     Hat das Gesichtsfeld einen Mittelpunkt? — Es hat Sinn, in einem Bild etwa ein Kreuzchen anzubringen und zu sagen: schau auf das Kreuz; Du wirst dann auch das Übrige sehen, aber das Kreuz ist dann im Mittelpunkt des Gesichtsfeldes.

     



      ⇐ Im Gesichtsraum gibt es absolute Lage und daher auch absolute Bewegung. Man denke sich das Bild zweier Sterne in stockfinsterer Nacht, in der ich nichts sehen kann als diese, und diese bewegen sich im Kreise umeinander.

     


     Im Gesichtsraum gibt es absolute Lage. Wenn ich durch ein Aug schaue, sehe ich meine Nasenspitze. Würde diese abgeschnitten und entfernt, mir aber dann in die Hand gegeben, so könnte ich sie ohne Hilfe des Spiegels und bloß ?—durch die Kontrolle des Sehens—? wieder an ihre alte Stelle setzen; auch dann, wenn sich inzwischen alles in meinem Gesichtsbild geändert hätte. Der Satz “ich sehe das sehende Auge im Spiegel” ist nur scheinbar von der Form des Satzes “ich sehe das Auge des Andern im Spiegel”, denn es hat keinen Sinn zu sagen: “ich sehe das sehende Auge”. Wenn ich “visuelles Auge” das Bild nenne, was mir etwa das Auge eines Andern bietet, so kann ich sagen, daß das Wort “das sehende Aug” nicht einem visuellen Auge entspricht.


     

⋎⇒      Mein Gesichtsfeld weist keine Unvollständigkeit auf, die mich dazu bringen könnte, mich umzuwenden und| um zu sehen, was hinter mir liegt. Im Gesichtsraum gibt es kein “hinter mir”; und wenn ich mich umwende,    ändert   sich ja bloß mein Gesichtsbild, wird aber nicht vervollständigt. (?—Der “Raum um mich herum” ist eine Verbindung von Sehraum und Muskelgefühlsraum—?.) Es hat keinen Sinn, im Gesichtsraum von der Bewegung eines Gegenstandes zu reden, die um das sehende Auge hinten herum führt.


     

     Beziehung zwischen physikalischem Raum und Gesichtsraum. Denke an das Sehen bei geschlossenen Augen (Nachbilder, etc.) und an die Traumbilder.

     


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Das sehende Subjekt & der Gesichtsraum





     


     Wenn wir vom Gesichtsraum reden, so werden wir leicht zu der Vorstellung verführt, als wäre er eine Art von Guckkasten, den jeder mit| //vor// sich herumtrüge. D.h. wir verwenden dann das Wort “Raum” ähnlich, wie wenn wir ein Zimmer einen Raum nennen. In Wirklichkeit aber bezieht sich doch das Wort “Gesichtsraum” nur auf eine Geometrie, ich meine, auf einen Abschnitt der Grammatik unserer Sprache.
     In diesem Sinne gibt es keine “Gesichtsräume”, die etwa jeder seinen Besitzer hätten. (Und etwa auch solche, vazierende, die gerade niemandem gehören?)

     


     “Aber kann nicht ich in meinem Gesichtsraum eine Landschaft, und Du in dem Deinen ein Zimmer sehen?” — Nein, — ‘ich sehe in meinem Gesichtsraum’ ist Unsinn. Es muß heißen “ich sehe eine Landschaft und Du etc.” — und das wird nicht bestritten. Was uns hier irreführt, ist eben das Gleichnis vom Guckkasten, oder etwa von einer kreisrunden weißen Scheibe, die wir gleichsam als Projektionsleinwand mit uns trügen, und die der Raum ist, in dem das jeweilige Gesichtsbild erscheint. Aber der Fehler an diesem Gleichnis ist, daß es sich die Gelegenheit — die Möglichkeit — zum Erscheinen eines visuellen Bildes selbst visuell vorstellt; denn die weiße Leinwand ist ja selbst ein Bild.


     

     Es ist nun wichtig, daß der Satz “das Auge womit ich sehe, kann ich nicht unmittelbar sehen” ein verkappter Satz der Grammatik, oder Unsinn, ist. Der Ausdruck “näher am (oder, weiter vom) sehenden Auge” hat nämlich eine andere Grammatik, als der “näher an dem blauen Gegenstand, welchen ich sehe”. Die visuelle Erscheinung, die der Beschreibung entspricht “ A setzt die Brille auf”, ist von der grundverschieden, die ich mit den Worten beschreibe: “ich setze die Brille auf”. Ich könnte nun sagen: “mein Gesichtsraum hat Ähnlichkeit mit einem Kegel”, aber dann muß es verstanden werden, daß ich hier den Kegel als Raum, als Repräsentanten einer Geometrie, nicht als Teil eines Raumes (Zimmer) denke. (Also ist es mit dieser Idee nicht verträglich, daß ein Mensch durch ein Loch an der Spitze in den Kegel hineinschaut| //ein Loch in der Spitze des Kegels in diesen hineinschaut//.)

     



     
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Der Gesichtsraum mit einem Bild (ebenen Bild) verglichen.

     


     /Wer aufgefordert würde, das Gesichtsfeld zu malen und es im Ernst versuchte, würde bald sehen, daß es unmöglich ist./

     


     Verschiedene Bedeutungen der Wörter “verschwommen”, “unklar”.

     


Verschwommen, unklar, unscharf.

     “Die Linien dieser Zeichnung sind unscharf”, “meine Erinnerung an die Zeichnung ist unklar, verschwommen”, “die Gegenstände am Rande meines

Gesichtsfeldes sehe ich verschwommen”. — Wenn man von der Verschwommenheit der Bilder am Rande des Gesichtsfeldes spricht, so schwebt Einem| einem oft ein Bild dieses Gesichtsfeldes vor, wie es etwa Mach entworfen hat. Die Verschwommenheit aber, die die Ränder eines Bildes auf der Papierfläche haben können,| //Die Verschwommenheit aber der Ränder eines Bildes auf der Papierfläche// ist von gänzlich andrer Natur, als die, die man von den Rändern des Gesichtsfeldes aussagt. So verschieden, wie die Blässe der Erinnerung an eine Zeichnung, von der Blässe einer Zeichnung (selbst). Wenn im Film eine Erinnerung oder ein Traum dargestellt werden sollte, so gab man den Bildern einen bläulichen Ton. Aber die Traum- und Erinnerungsbilder haben natürlich keinen bläulichen Ton — sowenig, wie unser Gesichtsbild verwaschene Ränder hat; also sind die bläulichen Projektionen auf der Leinwand| //bläulichen Bilder auf der Leinwand// nicht unmittelbar anschauliche Bilder der Träume, sondern ‘Bilder’ in noch einem andern Sinn. — Bemerken wir im gewöhnlichen Leben, wo wir doch unablässig schauen, die Verschwommenheit an den Rändern des Gesichtsfeldes? Ja, welcher Erfahrung entspricht sie eigentlich, denn im normalen Sehen kommt sie nicht vor! Nun, wenn wir den Kopf nicht drehen und wir beobachten etwas, was wir durch Drehen der Augen gerade noch sehen können, dann sehen wir etwa einen Menschen, können aber sein Gesicht nicht erkennen, sondern sehen es in gewisser Weise verschwommen. Die Erfahrung hat nicht die geringste Ähnlichkeit mit dem Sehen einer Scheibe, auf der| //welcher// Bilder gemalt sind, in der Mitte der Scheibe mit scharfen Umrissen, nach dem Rand zu mehr und mehr verschwimmend, etwa in ein allgemeines Grau unmerklich übergehend. Wir denken an so eine Scheibe, wenn wir z.B. fragen: könnte man sich nicht ein Gesichtsfeld mit gleichbleibender Klarheit der Umrisse etc. denken? Es gibt keine Erfahrung, die im Gesichtsfeld der entspräche, wenn man den Blick einem Bild entlang gleiten läßt, das von scharfen Figuren zu immer verschwommeneren übergeht.

     


     Es ist z.B. wichtig, daß in dem Satz “ein roter Fleck befindet sich nahe an der Grenze des Gesichtsfeldes” das “nahe an” eine andere Bedeutung hat als in einem Satz “der rote Fleck im Gesichtsfeld befindet sich nahe an dem braunen Fleck”. Das Wort “Grenze” in dem vorigen Satz hat ferner eine andere Bedeutung — und ist eine andere Wortart — als in dem Satz “die Grenze zwischen rot und blau im Gesichtsfeld ist ein Kreis”.






     


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Minima Visibilia


     


     Der einfärbige Fleck in der färbigen| farbigen Ebene ist nicht aus kleineren Teilen zusammengesetzt, außer so, wie die Zehn etwa aus tausend Hundertsteln.


     

     Das kleinste sichtbare Stück ist ein Stück der physikalischen Fläche, nicht des Gesichtsfeldes. Der Versuch, der das kleinste noch Sichtbare ermittelt, stellt eine Relation fest zwischen    zwei   Erscheinungen.


     

     Der| Dieser Versuch untersucht nicht den Gesichtsraum und man kann den Gesichtsraum nicht untersuchen. Nicht in ihn tiefer eindringen.


     

     (Wenn man beschreiben wollte, was auf der Hand liegt, könnte man nicht “untersuchen, was auf der Hand liegt”.| //“untersuchen wollen, was auf der Hand liegt”.//)





     


     Gibt es einen kleinst sichtbaren Farbunterschied? — Welche Farben sind hier gemeint? Nennen wir Farbe das Ergebnis der Mischung von Farbstoffen: dann kann ich das Experiment machen, z.B. zu einer Menge eines roten Farbstoffes eine kleine Menge eines gelben beizumischen und zu versuchen, ob ich einen Farbunterschied    sehe  ; wenn ja, so wiederhole ich den Versuch mit einem kleineren Zusatz des gelben Farbstoffes …

     


Den optischen Fixstern könnte man also ein Minimum visibile nennen. Aber man kann nun nicht etwa sagen, das Gesichtsfeld bestehe aus solchen Teilen! Es bestünde nur daraus| aus ihnen, wenn wir sie sähen. Das Bild| //visuelle Bild// eines Fixsternnebels im Fernrohr, besteht aus ihnen, soweit wir sie unterscheiden können. Denn diese beiden Ausdrücke heißen eben dasselbe.

     


     Wenn gefragt wird “ist unser Gesichtsfeld kontinuierlich oder diskontinuierlich”, so müßte man erst wissen, von welcher Kontinuität man redet. Einen Farbübergang nennen wir kontinuierlich, wenn wir keine Diskontinuität in ihm sehen.

     


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Farben & Farbenmischung



     


… Der Satz, welcher angibt, daß Rot als Ingredienz einer Farbe hier vorhanden ist, müßte also irgendwie eine Quantität von Rot nennen| //angeben//; dann aber muß dieser Satz auch außerhalb des logischen Produkts Sinn haben, und es müßte also Sinn haben zu sagen, daß dieser Ort rein rot gefärbt ist und die und die Quantität von Rot enthalte; und das hat keinen Sinn. Und wie verhält es sich mit den einzelnen Sätzen, die einem Ort verschiedene Quantitäten, oder Grade, von Rot zuschreiben? Nennen wir zwei solche q1r und q2r: sollen sich diese widersprechen? Angenommen q2 sei größer als q1, dann könnte zwar unsere Festsetzung sein, daß q2r & q1r kein Widerspruch sein solle (wie die Sätze “in diesem Korb sind 4 Äpfel” und “in diesem Korb sind 3 Äpfel”, wenn das “nur” fehlt), aber dann müssen q2r und non-q1r einander widersprechen; und daher müßte nach meiner alten Auffassung q2r ein Produkt aus q1r und einem andern Satz sein. Dieser andre Satz müßte die von q1 auf q2 fehlende Quantität angeben und für ihn bestünde daher die selbe Schwierigkeit. — Das Schema der Ingredienzen paßt auf den Fall der Farbenmischung, wenn man unter ‘Farben’ nicht Farbstoffe versteht, nicht|nicht auf den Fall der Farbenmischung, wenn man unter ‘Farben’ nicht Farbstoffe versteht. Und auch in diesem Schema sind verschiedene Angaben über das verwendete Quantum eines Bestandteils widersprechende Angaben; oder, wenn ich festsetze, daß p (= ich habe 3kg Salz verwendet) und q (= ich habe 5kg Salz verwendet) einander nicht widersprechen sollen, dann doch q und non-p.| //dann widersprechen einander doch q und non-p.// Und es läuft alles darauf hinaus, daß der Satz “ich habe 2kg Salz verwendet” nicht heißt “ich habe 1kg Salz verwendet und ich habe 1kg Salz verwendet”, daß also f(1+1) nicht gleich ist f(1) & f(1).


     

⋎⇒
     Der Satz “an einem Ort hat zu einer Zeit nur    eine   Farbe Platz” ist natürlich ein verkappter Satz der Grammatik. Seine Verneinung ist kein Widerspruch,    widerspricht   aber einer Regel unserer angenommenen Grammatik.






     


     Es hat Sinn von einer Färbung zu sagen, sie sei nicht rein rot, sondern enthalte einen gelblichen, oder bläulichen, weißlichen, oder schwärzlichen Stich; und es hat Sinn zu sagen, sie enthalte keinen dieser Stiche, sondern sei reines Rot. Man kann in diesem Sinne von einem reinen Blau, Gelb, Grün, Weiß, Schwarz reden, aber nicht von einem reinen Orange, Grau, oder Rötlichblau. (Von einem ‘reinen Grau’ übrigens wohl, sofern man damit ein nicht-grünliches, nicht-gelbliches u.s.w. Weiß-Schwarz meint: und ähnliches gilt für ‘reines Orange’, etc..) D.h. der Farbenkreis hat vier ausgezeichnete Punkte. Es hat nämlich Sinn zu sagen “dieses Orange

liegt (nicht in der Ebene des Farbenkreises, sondern im    Farbenraum  ) näher dem Rot als jenes”; aber wir können nicht, um das gleiche auszudrücken sagen “dieses Orange liegt näher dem Blaurot als jenes” oder “dieses Orange liegt näher dem Blau als jenes”.


     

     Die Farbenmischung, von der hier die Rede ist, bringt der Farbenkreisel hervor, aber auch er nicht, wenn ich ihn nur ruhend und dann in rascher Drehung sehe. Denn es wäre ja denkbar, daß der Kreisel im ruhenden Zustand halb rot und halb gelb ist und daß er in rascher Drehung (aus welcher Ursache| welchen Ursachen immer) grün erscheint. Vielmehr bringt der Farbenkreisel die Mischung nur in sofern zustande, als wir sie optisch als solche wahrnehmen können| //optisch kontrollieren können//. Wenn er sich nämlich nach und nach schneller und schneller dreht und wir    sehen  , wie aus rot und gelb orange wird. Wir sind aber darin nicht dem Farbkreisel ausgeliefert; sondern, wenn durch irgend einen unbekannten Einfluß, während der Kreisel sich schneller und schneller dreht, die Farbe seiner Scheibe ins Weißliche überginge, so würden wir nun nicht sagen, die Zwischenfarbe zwischen Rot und Gelb sei ein weißliches Orange. So wenig wie wir sagen würden 3+4 sei 6, wenn beim Zusammenlegen von 3 und 4 Äpfeln einer auf unbekannte Weise verschwände und 6 Äpfel vor uns lägen. Ich gebrauche hier den Farbenkreisel nicht zu einem Experiment, sondern zu einer Rechnung.






     

Der Induktionsbeweis wäre, wenn er ein Beweis wäre, ein Beweis der Allgemeinheit, nicht ein Beweis einer gewissen Eigenschaft aller Zahlen.











     


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      Die Darstellung des unmittelbar Wahrgenommenen.

     


[Dies gehört, glaube ich, zu „alles fließt” & „nur die gegenwärtige Erfahrung hat Realität”] ⇒



     


     … Es ist jetzt an der Zeit, Kritik am Worte “Sinnesdatum” zu üben. Sinnesdatum ist die Erscheinung dieses Baumes, ob nun “wirklich ein Baum dasteht” oder eine Attrappe, ein Spiegelbild, eine Halluzination etc. Sinnesdatum ist die Erscheinung des Baumes, und, was wir sagen wollen ist, daß diese sprachliche Darstellung nur    eine   Beschreibung, aber nicht    die   wesentliche ist. Genau so, wie man von dem Ausdruck “   mein   Gesichtsbild” sagen kann, daß es nur    eine   Form der    Beschreibung  , aber nicht etwa die einzig mögliche und richtige ist. Die Ausdrucksform “die Erscheinung dieses Baumes” enthält nämlich die Anschauung, als bestünde ein notwendiger Zusammenhang dessen, was wir diese Erscheinung nennen, mit der “Existenz eines Baumes” und zwar, entweder durch eine wahre Erkenntnis oder einen Irrtum. D.h., wenn von der “Erscheinung eines Baumes” die Rede ist, so hielten wir entweder etwas für einen Baum, was einer ist, oder etwas, was keiner ist. Dieser Zusammenhang aber besteht nicht.
      Die Idealisten möchten der Sprache vorwerfen, daß sie das Sekundäre als primär und das Primäre als sekundär darstellt. Aber das ist nur in diesen unwesentlichen, und mit der Erkenntnis nicht zusammenhängenden, Wertungen der Fall (“nur” die Erscheinung). Davon abgesehen enthält die gewöhnliche Sprache keine Entscheidung über primär und sekundär. Es ist nicht einzusehen, inwiefern der Ausdruck “die Erscheinung eines Baumes” etwas dem Ausdruck “Baum” sekundäres darstellt. Der Ausdruck “nur ein Bild” geht auf die Vorstellung zurück, daß wir das Bild eines Apfels nicht essen können.






     


     “Ich sehe es vor mir und könnte es malen”.
     Wenn man sagt, man könnte diese Farbe nicht mit Worten genauer beschreiben, so denkt man (immer) an eine Möglichkeit einer solchen Beschreibung (freilich, denn sonst hätte das Wort| //der Ausdruck// “genaue Beschreibung” keinen Sinn) und es schwebt einem dabei der Fall einer Messung vor, die wegen unzureichender Mittel nicht ausgeführt wurde.










     


„Tu das was auf dieser Tafel aufgeschrieben ist”: Wie wenn nichts auf ihr steht. Töte den Menschen im nächsten Zimmer (es ist aber keiner darin).

     


     Phänomenologische Sprache: Die Beschreibung der unmittelbaren Sinneswahrnehmung, ohne hypothetische Zutat. Wenn etwas, dann muß doch wohl die Abbildung durch ein gemaltes Bild oder dergleichen eine solche Beschreibung der unmittelbaren Erfahrung sein. Wenn wir also z.B. in ein Fernrohr sehen und die gesehene Konstellation aufzeichnen oder malen. Denken wir uns sogar unsere Sinneswahrnehmung dadurch reproduziert, daß zu ihrer Beschreibung ein Modell erzeugt wird, welches von einem bestimmten Punkt gesehen, diese Wahrnehmungen erzeugt; das Modell könnte mit einem Kurbelantrieb in die richtige Bewegung gesetzt werden und wir könnten durch Drehen der Kurbel die Beschreibung herunterlesen. (Eine Annäherung hierzu wäre eine Darstellung im Film.)
     Ist    das   keine Darstellung des Unmittelbaren — was sollte eine sein? — Was noch unmittelbarer sein wollte, müßte es aufgeben, eine Beschreibung zu sein. ?—Es kommt dann vielmehr statt einer Beschreibung jener unartikulierte Laut heraus—?, mit dem manche Autoren die Philosophie gerne anfangen möchten. (“Ich habe, um mein Wissen wissend, bewußt etwas” Driesch.)

     


     “Was wir im physikalischen Raum denken, ist nicht das Primäre, das wir nur mehr oder weniger anerkennen können; sondern, was vom physikalischen Raum wir erkennen können, zeigt uns, wie weit das Primäre reicht und wie wir den physikalischen Raum zu deuten haben.”




     


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“Die Erfahrung im gegenwärtigen Moment, die eigentliche Realität”

     



      Unmittelbares
Es ist nämlich die Anschauung aufzugeben, daß, um vom Unmittelbaren zu reden, wir von dem Zustand in einem Zeitmoment reden müßten. Diese Anschauung ist darin ausgedrückt, wenn man sagt: “alles, was uns gegeben ist, ist das Gesichtsbild und die Daten der übrigen Sinne, sowie die Erinnerung, in dem gegenwärtigen Augenblick”. Das ist Unsinn; denn was meint man mit dem “gegenwärtigen Augenblick”? Dieser Vorstellung liegt vielmehr schon ein physikalisches Bild zu Grunde, nämlich das vom Strom der Erlebnisse, den ich nun in einem Punkt| //an einer Stelle// quer durchschneide. Es liegt hier eine ähnliche Tendenz und ein ähnlicher Fehler vor, wie beim Idealismus (oder Solipsismus).

     


     Der Zeitmoment, von dem ich sage, er sei die Gegenwart, die alles enthält, was mir gegeben ist, gehört selbst zur physikalischen Zeit.


     

     Denn, wie ist so ein Moment bestimmt? Etwa durch einen Glockenschlag? Und kann ich denn nun die ganze, mit diesem Schlag gleichzeitige Erfahrung wirklich beschreiben? Wenn man daran denkt es zu versuchen, wird man sofort gewahr, daß es eine Fiktion ist, wovon wir reden.


     

     Wir stellen uns das Erleben wie einen Filmstreifen vor,

so daß man sagen kann: dieses Bild, und kein anderes, ist in diesem Augenblick vor der Linse.





     


     Was wir die Zeit im Phänomen (specious present) nennen können, liegt nicht in der Zeit (Vergangenheit, Gegenwart und Zu-

kunft) der Geschichte, ist keine Strecke der Zeit. Während, was wir unter “Sprache” verstehen,| //Während der Vorgang der “Sprache”// in der homogenen geschichtlichen Zeit abläuft. (Denke an den Mechanismus zur Beschreibung der unmittelbaren Wahrnehmung.)

     


     (Von welcher Wichtigkeit ist denn diese Beschreibung des    gegenwärtigen   Phänomens, die für uns gleichsam zur fixen Idee werden kann. Daß wir darunter leiden, daß die Beschreibung nicht das beschreiben kann, was beim Lesen der Beschreibung vor sich geht. Es scheint, als wäre die Beschäftigung mit dieser Frage geradezu kindisch und wir in eine Sackgasse hineingeraten. Und doch ist es eine bedeutungsvolle Sackgasse, denn in sie lockt es Alle zu gehen; als wäre dort die letzte Lösung der philosophischen Probleme zu suchen. — Es ist, als käme man mit dieser Darstellung des gegenwärtigen Phänomens in einen verzauberten Sumpf, wo alles Erfaßbare verschwindet.)
     Anderseits brauchen wir eine Ausdrucksweise, die Vorgänge| //Phänomene// des Gesichtsraums getrennt von den Erfahrungen andrer Art darstellt.

     


     (Wir befinden uns mit unserer Sprache (als physischer Erscheinung) sozusagen nicht im Bereich des projizierten Bildes auf der Leinwand, sondern im Bereich des Films, der durch die Laterne geht. Und wenn ich zu dem Vorgang auf der Leinwand Musik machen will, muß das, was sie hervorruft, sich wieder im Gebiet des Films abspielen. Das gesprochene Wort im Sprechfilm, das die Vorgänge auf der Leinwand begleitet, ist ebenso fliehend?| //fließend?//, wie diese Vorgänge, und nicht das Gleiche wie der Tonstreifen. Der Tonstreifen begleitet nicht das Spiel auf der Leinwand.)

     


     Ein Gedanke über die Darstellbarkeit der unmittelbaren Realität durch die Sprache:
     “Der Strom des Lebens, oder der Strom der Welt, fließt dahin,

und unsere Sätze werden, sozusagen, nur in Augenblicken verifiziert. Unsere Sätze werden nur von der Gegenwart verifiziert. — Sie müssen also so gemacht sein, daß sie von ihr verifiziert werden können. Sie müssen das Zeug haben, um von ihr verifiziert werden zu können. Dann haben sie also in irgendeiner Weise die Kommensurabilität mit der Gegenwart und diese können sie nicht haben| Dann sind sie also in irgendeiner Weise mit der Gegenwart kommensurabel und dies können sie nicht sein    trotz   ihrer raum-zeitlichen Natur, sondern diese muß sich zur Kommensurabilität verhalten, wie die Körperlichkeit eines Maßstabes zu seiner Ausgedehntheit, mit der| //mittels der// er mißt. Im Falle des Maßstabes kann man auch nicht sagen: ‘Ja, der Maßstab mißt die Länge trotz seiner Körperlichkeit; freilich, ein Maßstab, der nur Länge hätte, wäre das Ideal, wäre der    reine   Maßstab’. Nein, wenn ein Körper Länge hat, so kann es keine Länge ohne einen Körper geben — und wenn ich auch verstehe, daß in einem bestimmten Sinn nur die Länge des Maßstabs mißt, so bleibt doch, was ich in die Tasche stecke der Maßstab, — der Körper und nicht die Länge.”

     


     “Nur die Erfahrung des gegenwärtigen Augenblicks hat Realität”. — Soll das heißen, daß ich heute früh nicht aufgestanden bin? Oder, daß ein Ereignis, dessen ich mich in diesem Augenblick nicht erinnere| //entsinne//, nicht stattgefunden hat? — Soll hier ‘gegenwärtige Erfahrung’ im Gegensatz stehen zu zukünftiger und vergangener Erfahrung? Oder ist es ein Beiwort, wie das Wort “rational” in “rationale Zahl”, so daß man die beiden Wörter auch durch    eines   ersetzen könnte und das Beiwort auf eine grammatische Eigentümlichkeit hinweist. Und was wird in diesem Falle vom Subjekt ausgesagt, wenn ihm Realität zugesprochen wird? Betonen wir hier nicht wieder eine grammatische Eigentümlichkeit, in derselben Weise, wie wenn man sagt| //etwa, als wenn man sagte:// “nur die Kardinalzahlen sind wirkliche Zahlen”. (Kronecker soll gesagt haben, nur die Kardinalzahlen seien von Gott erschaffen, alle anderen seien Menschenwerk.) — Heißt es ‘gegenwärtige Erfahrung’ im Gegensatz zu zukünftiger und vergangener, dann meint man mit diesen Erfahrungen etwa physikalische Vorgänge;

und wenn ich das Bild von der Laterna magica gebrauche und die zeitlichen Beziehungen in räumliche übersetze, so ist die gegenwärtige Erfahrung im physikalischen Sinn das Bild auf dem Filmstreifen, das sich vor dem Objektiv der Laterne befindet. (Ich kann nicht sagen: “das sich    jetzt   vor dem Objektiv der Laterne befindet”.) Auf der einen Seite dieses Bildes sind| //liegen// die vergangenen, auf der andern die zukünftigen Bilder (die beiden Seiten sind durch Eigentümlichkeiten des Apparates charakterisiert). Das Bild auf der Leinwand gehört der Zeit des Filmstreifens nicht an; man kann von ihm nicht in dem eben beschriebenen Sinne sagen, es sei gegenwärtig. (Im Gegensatz wozu? Das Wort ‘gegenwärtig’, wenn man es hier benützt, bezeichnet nicht einen Teil eines Raumes im Gegensatz zu andern Teilen, sondern charakterisiert einen Raum.) Der Satz, nur die gegenwärtige Erfahrung habe Realität, wäre nun hier der Satz, daß nur das Bild vor dem Objektiv dem Bild auf der Leinwand entspricht. Und das könnte allerdings ein Erfahrungssatz sein und das Gleichnis läßt uns hier in Stich, wenn wir die Entsprechung zwischen Film und Leinwand (die Projektionsart) nicht so festsetzen| //festlegen//, daß sich dadurch das Bild auf dem Film, welches dem Bild auf der Leinwand entspricht, als das Bild vor dem Objektiv der Laterne ergibt.

     


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Idealismus


     


     ((Ich sehe undeutlich eine Verbindung zwischen dem Problem des Solipsismus oder Idealismus und dem, der Bezeichnungsweise eines Satzes. Wird etwa das Ich in diesen Fällen durch den Satz ersetzt und das Verhältnis des Ich zur Wirklichkeit durch das Verhältnis von Satz und Wirklichkeit?))



     


     (Der Mensch, der in den Spiegel sieht um sich zwinkern zu sehen; und was er nun wirklich sieht. Ungeeignete physikalische Theorien.)




     


Befehl & Ausführung, Intervention der Vorstellung zum Verständnis des Befehls (Satzes)

     


     Idealismus
/(Es könnte sich eine seltsame Analogie daraus ergeben, daß das Okular auch des riesigsten Fernrohrs nicht größer sein darf| //nicht größer ist//, als unser Auge.)/

     


     Wer den Satz, nur die gegenwärtige Erfahrung sei real, bestreiten will (was ebenso falsch ist, wie ihn zu behaupten) wird etwa fragen, ob denn ein Satz wie “Julius Cäsar ging über die Alpen” nur den gegenwärtigen Geisteszustand desjenigen beschreibt, der sich mit dieser Sache beschäftigt. Und die Antwort ist natürlich: Nein! er beschreibt ein Ereignis, das, wie wir glauben, vor ca. 2000 Jahren stattgefunden hat. Wenn nämlich das Wort “beschreibt” so aufgefaßt wird, wie in dem Satz “der Satz ‘ich schreibe’ beschreibt, was ich gegenwärtig tue”. Der Name Julius Cäsar

bezeichnet eine Person. — Aber was sagt denn das alles? Ich scheine mich ja um die eigentliche philosophische Antwort drücken zu wollen! — Aber Sätze, die von Personen handeln, d.h. Personennamen enthalten, können eben auf sehr verschiedene Weise verifiziert werden. — Fragen wir uns nur, warum wir den Satz glauben. — Daß es (z.B.) denkbar ist, die Leiche Cäsars noch zu finden, hängt unmittelbar mit dem Sinn des Satzes über Julius Cäsar zusammen. Aber auch, daß es denkbar| //möglich// ist, eine Schrift zu finden, aus der hervorgeht, daß so ein Mann nie gelebt hat und seine Existenz zu bestimmten Zwecken erdichtet worden ist| //sei//. Diese| //Solche// Möglichkeiten gibt es (aber) für einen Satz: “ich sehe einen roten Fleck über einen grünen dahinziehen” nicht; und das ist es, was wir damit meinen, wenn wir sagen, daß dieser Satz in unmittelbarerer Art Sinn hat, als| dieser Satz habe in unmittelbarer Art Sinn, als|. Und das meinen wir, wenn wir sagen, dieser Satz habe in unmittelbarer Art Sinn, als jener| der über Julius Cäsar.

     


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“Schmerzen haben”


     


     Zur Erklärung des Satzes “er hat Zahnschmerzen” sagt man etwa: “ganz einfach, ich weiß, was es heißt, daß    ich   Zahnschmerzen habe, und wenn ich sage daß er Zahnschmerzen hat so meine ich, daß er jetzt das hat, was ich damals hatte”. Aber was bedeutet “er” und was bedeutet “Zahnschmerzen    haben  ”. Ist das eine Relation, die die Zahnschmerzen damals zu mir hatten und jetzt zu ihm. Dann wäre ich mir also jetzt auch der Zahnschmerzen bewußt, und dessen daß er sie jetzt hat, wie ich eine Geldbörse jetzt in seiner Hand sehen kann, die ich früher in meiner gesehen habe.
     Hat es einen Sinn zu sagen “ich habe Schmerzen, ich merke sie aber nicht”? Denn in diesem Satz könnte ich dann allerdings statt “ich habe” “er hat” einsetzen. Und umgekehrt, wenn die Sätze “er hat Schmerzen” und “ich habe Schmerzen” auf der gleichen logischen Stufe stehen, so muß ich im Satz “er hat Schmerzen, die ich nicht fühle” statt “er hat” “ich habe” setzen können. — Ich könnte auch so sagen: Nur insofern ich Schmerzen haben kann, die ich nicht fühle, kann er Schmerzen haben die ich nicht fühle. Es könnte dann noch immer der Fall sein, daß ich tatsächlich die Schmerzen die ich habe immer fühle, aber es muß Sinn haben, das zu verneinen.

     


     Der Begriff der Zahnschmerzen als eines Gefühlsdatums ist allerdings auf den Zahn des Anderen ebenso anwendbar, wie auf den meinen, aber nur in dem Sinne, in dem es ganz wohl möglich wäre, in dem Zahn … eines andern Menschen Mund Schmerzen zu empfinden. Im Einklang mit der gegenwärtigen Ausdrucksweise würde man aber diese Tatsache nicht durch die Worte “ich fühle seinen Zahnschmerz” ausdrücken, sondern durch “ich habe in seinem Zahn Schmerzen”. --- … Man kann nun sagen: Freilich hast Du nicht seinen Zahnschmerz, denn es ist auch dann sehr wohl möglich, daß er sagt “ich fühle in diesem Zahn nichts”. Und sollte ich in diesem Fall sagen “du lügst, ich fühle, wie Dein Zahn schmerzt”?

     


     Wenn ich jemand, der Zahnschmerzen hat, bemitleide, so setze ich mich in Gedanken an seine Stelle. Aber ich setze    mich   an seine Stelle.


     

     Die Frage ist, ob es Sinn hat zu sagen: “Nur A kann den Satz ‘ A hat Schmerzen’ verifizieren, ich nicht”. Wie aber wäre es, wenn dieser Satz falsch wäre, wenn    ich   also den Satz verifizieren könnte, kann es etwas anderes heißen, als daß dann ich Schmerzen fühlen müßte! Aber wäre das eine Verifikation? Vergessen wir nicht: es ist Unsinn, zu sagen,    ich   müßte    meine   oder    seine   Schmerzen fühlen.
     Man könnte auch so fragen: Was in meiner Erfahrung rechtfertigt das “meine” in “ich fühle    meine   Schmerzen”. Wo ist die Multiplizität des Gefühls, die dieses Wort rechtfertigt, und es kann nur dann gerechtfertigt sein, wenn an seine Stelle auch ein anderes treten kann.


     

     “Ich habe Schmerzen” ist, im Falle ich den Satz gebrauche, ein Zeichen ganz anderer Art, als es für mich im Munde eines Anderen ist; und zwar darum, weil es im Munde eines Anderen für mich so lange sinnlos ist, als ich nicht weiß, welcher Mund es ausgesprochen hat. Das Satzzeichen besteht in diesem Falle nicht im Laut allein, sondern in der Tatsache, daß dieser Mund den Laut hervorbringt. Während im Falle ich es sage, oder denke, das Zeichen der Laut allein ist.


     

     Angenommen, ich hätte stechende Schmerzen im rechten Knie und bei jedem Stich zuckt mein rechtes Bein. Zugleich sehe ich einen anderen Menschen, dessen Bein in gleicher Weise zuckt und der über stechende Schmerzen klagt; und zu gleicher Zeit fängt mein linkes Bein ebenso an zu zucken, obwohl ich im linken Knie keine Schmerzen fühle. Nun sage ich: mein Gegenüber hat offenbar in seinem Knie dieselben Schmerzen, wie ich in meinem rechten Knie. Wie ist es aber mit meinem linken Knie, ist es nicht in genau dem gleichen Fall, wie das Knie des Anderen?


     

     Wenn ich sage “ A hat Zahnschmerzen”, so gebrauche ich die Vorstellung des Schmerzgefühls in der selben Weise, wie etwa den Begriff des Fließens, wenn ich vom Fließen des elektrischen Stromes rede.


     

     Ich sammle gleichsam sinnvolle Sätze über Zahnschmerzen, das ist der charakteristische Vorgang einer grammatischen Untersuchung. Ich sammle nicht wahre, sondern sinnvolle Sätze und darum ist diese Betrachtung keine psychologische. (Man möchte sie oft eine Metapsychologie nennen.)



     

     Die Erfahrung des Zahnschmerzgefühls ist nicht die, daß eine Person Ich etwas hat.


     

     In den Schmerzen unterscheide ich eine Intensität, einen Ort, etc., aber keinen Besitzer.
     Wie wären etwa Schmerzen, die gerade niemand    hat  ? Schmerzen, die gerade niemandem gehören?


     

      Die Schmerzen werden als etwas dargestellt, das man wahrnehmen kann, im Sinne, in

dem man eine Zündholzschachtel wahrnimmt. — Das Unangenehme sind dann freilich nicht die Schmerzen, sondern nur das Wahrnehmen der Schmerzen.



     

     Soll ich mir auch die Schmerzen eines auf dem Tisch liegenden Zahnes denken können, oder die Schmerzen eines Teetopfs? Soll man etwa sagen: es ist nur nicht wahr, daß der Teetopf Schmerzen hat, aber ich kann es mir denken?!


     

     Die beiden Hypothesen, daß die Anderen Schmerzen haben, und die, daß sie keine haben, und sich nur so benehmen wie ich, wenn ich welche habe, müssen ihrem Sinne nach identisch sein, wenn alle    mögliche   Erfahrung, die die eine bestätigt, auch die andere bestätigt. Wenn also keine Entscheidung zwischen beiden durch die Erfahrung denkbar ist.


     

     Zu sagen, daß die Anderen keine Schmerzen haben, setzt aber voraus, daß es Sinn hat zu sagen, daß sie Schmerzen haben.
     Ich glaube, es ist klar, daß man in demselben Sinne sagt, daß andere Menschen Schmerzen haben, in welchem man sagt, daß ein Stuhl keine hat.


     

     Wie wäre es, wenn ich zwei Körper hätte, d.h. wenn mein Körper aus zwei getrennten Leibern bestünde?
     Hier sieht man — glaube ich — wieder, wie das Ich nicht auf der selben Stufe mit den Andern steht, denn wenn die Andern je zwei Körper hätten, so könnte ich es nicht erkennen.
     Kann ich mir denn die Erfahrung mit zwei Leibern denken? Die Gesichtserfahrung gewiß nicht.


     

     Das Phänomen des Schmerzgefühls in einem Zahn, welches ich kenne, ist in der Ausdrucksweise der gewöhnlichen Sprache dargestellt durch “   ich habe   in dem und dem Zahn Schmerzen”. Nicht durch einen Ausdruck von der Art “an diesem Ort ist ein Schmerzgefühl”. Das    ganze   Feld dieser Erfahrung wird in dieser Sprache durch Ausdrücke von der Form “ich habe …” beschrieben. Die Sätze von der Form “N hat Zahnschmerzen” sind für ein ganz anderes Feld reserviert. Wir können daher nicht überrascht sein, wenn in den Sätzen “N hat Zahnschmerzen” nichts mehr auf jene Art mit der Erfahrung Zusammenhängendes gefunden wird.

     


     Wenn man sagt, die Sinnesdaten seien “privat”, niemand anderer könne meine Sinnesdaten sehen, hören, fühlen, und meint damit nicht eine Tatsache unserer Erfahrung, so müßte das ein philosophischer Satz sein; und was gemeint ist, drückt sich darin aus, daß eine Person in die Beschreibung von Sinnesdaten nicht eintritt.


     

     Denn,    kann   ein Anderer meine Zahnschmerzen nicht haben, so kann    ich   sie — in diesem Sinne — auch nicht haben.


     

     In dem Sinne, in welchem es nicht erlaubt ist zu sagen, der Andere habe diese Schmerzen, ist es auch nicht erlaubt zu sagen, ich habe| hätte sie.


     

     Was wesentlich privat ist, oder scheint, hat keinen Besitzer.


     

     Was soll es heißen: er hat    diese   Schmerzen? außer, er hat    solche   Schmerzen: d.h., von solcher Stärke, Art, etc.. Aber nur in dem Sinn kann auch ich “diese Schmerzen” haben.


     


     In der nicht-hypothetischen Beschreibung des Gesehenen, Gehörten — diese Wörter bezeichnen hier grammatische Formen — tritt das Ich nicht auf, es ist hier von Subjekt und Objekt nicht die Rede.


     


     Wie im Gesichtsraum, so gibt es in der Sprache kein metaphysisches Subjekt.

     


     /Die Schwierigkeit, die uns das Sprechen über den Gesichtsraum ohne Subjekt macht und über “   meine   und    seine   Zahnschmerzen”, ist die, die Sprache einzurenken, daß sie richtig in den Tatsachen sitzt./

     


     Behaviourism. “Mir scheint, ich bin traurig, ich lasse den Kopf so hängen”.
     Warum hat man kein Mitleid, wenn eine Tür ungeölt ist und beim Auf- und Zumachen schreit? Haben wir mit dem Andern, der sich benimmt wie wir, wenn wir Schmerzen haben, Mitleid — auf philosophische Erwägungen hin, die zu dem Ergebnis geführt haben, daß er leidet, wie wir? Ebensogut können uns die Physiker damit Furcht einflößen, daß sie uns versichern, der Fußboden sei gar nicht kompakt, wie er scheine, sondern bestehe aus losen

Partikeln, die regellos herumschwirren. “Aber wir hätten doch mit dem Andern nicht Mitleid, wenn wir wüßten, daß er nur eine Puppe ist, oder seine Schmerzen bloß heuchelt.” Freilich, — aber wir haben auch ganz bestimmte Kriterien dafür, daß etwas eine Puppe ist, oder daß Einer seine Schmerzen heuchelt und diese Kriterien stehen eben im Gegensatz zu denen, die wir Kriterien dafür nennen, daß etwas keine Puppe (sondern etwa ein Mensch) ist und seine Schmerzen nicht heuchelt (sondern wirklich Schmerzen hat).

     


     Von Sinnesdaten in dem Sinne dieses Worts, in dem es undenkbar ist, daß der Andere sie hat, kann man eben aus diesem Grunde auch nicht sagen, daß der Andere sie nicht hat. Und eben darum ist es auch sinnlos zu sagen, daß    ich  , im Gegensatz zum Andern, sie    habe  . — Wenn man sagt “seine Zahnschmerzen kann ich nicht fühlen”, meint man damit, daß man die Zahnschmerzen des Andern bis jetzt nie gefühlt hat? Wie unterscheiden sich    seine   Zahnschmerzen von den    meinen  ? Wenn das Wort “Schmerzen” in den Sätzen “ich habe Schmerzen” und “er hat Schmerzen” die gleiche Bedeutung hat, — was heißt es dann zu sagen, daß er nicht dieselben Schmerzen haben kann, wie ich? Wie können sich denn verschiedene Schmerzen voneinander unterscheiden? Durch Stärke, durch den Charakter des Schmerzes (stechend, bohrend, etc.) und durch die Lokalisation im Körper. Wenn nun aber diese Charakteristika bei beiden dieselben sind? — Wenn man aber einwendet, ihr Unterschied,|//, der Unterschied der Schmerzen// sei eben der, daß in einem Falle ich sie habe, im andern Fall er! — dann ist also die besitzende Person eine Charakteristik der Schmerzen selbst. Aber was ist dann mit dem Satz “ich habe Schmerzen” oder “er hat Schmerzen” ausgesagt? — Wenn das Wort “Schmerzen” in beiden Fällen die gleiche Bedeutung hat, dann muß man die Schmerzen der Beiden miteinander vergleichen können; und wenn sie in Stärke etc. etc. miteinander übereinstimmen, so sind sie

die gleichen; wie zwei Anzüge die    gleiche   Farbe besitzen, wenn sie in Bezug auf Helligkeit, Sättigung, etc. miteinander übereinstimmen.
     Wenn man fragt “ist es denkbar, daß ein Mensch die Schmerzen des Andern fühlt?” so schweben einem dabei die Schmerzen (etwa Zahnschmerzen) des Andern gleichsam als ein Körper, ein Volumen, vor im Mund des Andern und die Frage scheint zu fragen, ob wir an diesem Schmerzvolumen teilhaben können. Etwa dadurch, daß sich unser beider Wangen durchdrängen. Aber auch das scheint dann nicht zu genügen und wir müßten ganz mit ihm zusammenfallen| //und wir müßten uns ganz mit ihm decken//.

     


1.) “Ich habe Schmerzen”
      “N hat Schmerzen”
dagegen 2.) “Ich habe graue Haare”
      “N hat graue Haare”
Die verschiedenen philosophischen Schwierigkeiten und Konfusionen in Verbindung mit dem ersten Beispiel lassen sich zum größten Teil auf die Verwechslung der Grammatik der Fälle 1) und 2) zurückführen.
     Es hat Sinn zu sagen: “ich sehe seine Haare, aber nicht die meinen”, oder “ich sehe meine Hände täglich, aber nicht die seinen” und dieser Satz ist analog dem: “ich sehe meine Wohnung täglich, aber nicht die seine”. — Dagegen ist es Unsinn: “ich fühle meine Schmerzen, aber nicht die seinen”.
     Die Ausdrucksweise unserer Sprache in den beiden Fällen 1) und 2) ist natürlich nicht ‘falsch’, aber sie ist irreführend. “Eine herrenlose Wohnung” …

     


Und nun haben wir zwar eine neue Ausdrucksweise, sie ist aber nicht mehr asymmetrisch. Sie bevorzugt nicht    einen   Körper, einen Menschen zum Nachteil des andern, ist also    nicht   solipsistisch. — So ist alles| //alle Erfahrung// ohne Ansehen der Person verteilt.    Aber wir teilen anders  . Es werden die Dinge in unsrer Betrachtungsweise anders zusammengefaßt. Wie wenn man einmal die Zeit zum Raum rechnet und einmal nicht, oder wie wenn man einen Wald als Holzblock mit Löchern ansähe. Oder die Bahn des Mondes um die Sonne einmal als Kreisbahn um die Erde, die sich verschiebt, — ein andermal als Wellenlinie, die um die Sonne läuft. (Wäre die Erde etwa nicht sichtbar, so könnte es eine merkwürdige neue Betrachtungsweise sein, die Wellenbewegung des Mondes um die Sonne als Kreisbahn um einen kreisenden Körper| //um ein kreisendes Zentrum// aufzufassen.) Man könnte auf diese Weise gewisse Vorurteile zerstören, die auf die besondere uns geläufige Betrachtungsart aufgebaut wären. — Sehr klar wird der Charakter der anderen Betrachtungsweise, wenn man an die analoge Verschiebung| //Veränderung// der Grenzen durch die Einführung des Begriffs der Gedächtniszeit denkt. Es ist ganz ähnlich der veränderten Betrachtung der Mondbewegung. Eine Grenze, die früher mit anderen in der Zeichnung zusammenlief, wird plötzlich stark ausgezogen und hervorgehoben. ---

     


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Gedächtniszeit



     



      Denn “die Zeit” hat eine andere Bedeutung, wenn wir das Gedächtnis als die Quelle der Zeit auffassen und wenn wir es als ein aufbewahrtes Bild des vergangenen Ereignisses auffassen.
      Wenn wir das Gedächtnis als ein Bild auffassen, dann ist es ein Bild eines physikalischen Ereignisses. Das Bild verblaßt und ich merke sein Verblassen, wenn ich es mit andern Zeugnissen des Vergangenen vergleiche. Hier ist das Gedächtnis nicht die Quelle der Zeit, sondern mehr oder weniger gute Aufbewahrerin dessen, was “wirklich” gewesen ist, und dieses war eben etwas, wovon wir auch andere Kunde haben können, ein physikalisches Ereignis.… — Ganz anders ist es, wenn wir nun das Gedächtnis als Quelle der Zeit betrachten. Es ist hier kein Bild und kann auch nicht verblassen — in dem Sinne, wie ein Bild verblaßt, sodaß es seinen Gegenstand immer weniger getreu darstellt. Beide Ausdrucksweisen sind in Ordnung und gleichberechtigt, aber nicht miteinander vermischbar. Es ist ja klar, daß die Ausdrucksweise vom Gedächtnis als einem Bild, nur ein Bild ist; genau so, wie die Ausdrucksweise, die die Vorstellungen “Bilder der Gegenstände in unserem Geiste” (oder dergleichen) nennt. Was ein Bild ist, das wissen wir, aber die Vorstellungen sind doch gar keine Bilder, denn sonst kann ich das Bild sehen und den Gegenstand, dessen Bild es ist, aber hier ist es offenbar ganz anders. Wir haben eben ein Gleichnis gebraucht und nun tyrannisiert uns das Gleichnis. In der Sprache dieses Gleichnisses kann ich mich nicht außerhalb des Gleichnisses bewegen. Es muß zu Unsinn führen, wenn man mit der Sprache dieses Gleichnis über das Gedächtnis als Quelle unserer Erkenntnis, als Verifikation unserer Sätze, reden will. Man kann von gegenwärtigen, vergangenen und zukünftigen Ereignissen in der physikalischen Welt reden, aber nicht von gegenwärtigen, vergangenen und zukünftigen Vorstellungen, wenn man als Vorstellung nicht doch wieder eine Art physikalischen Gegenstand (etwa jetzt ein physikalisches Bild, statt des Körpers) bezeichnet; sondern gerade eben das gegenwärtige. Man kann also den Zeitbegriff, d.h. die Regeln der Syntax, wie sie von den physikalischen Substantiven gelten, nicht in der Welt der Vorstellung anwenden, d.h. nicht dort, wo man sich einer radikal anderen Ausdrucksweise bedient.


     


     Das Gleichnis vom Fluß| //Fließen// der Zeit ist natürlich irreführend und muß uns, wenn wir daran festhalten, in Verlegenheiten führen //landen//.

     


     Was Eddington über ‘die Richtung der Zeit’ und den

Entropiesatz sagt, läuft darauf hinaus, daß die Zeit ihre Richtung umkehren würde, wenn die Menschen eines Tages anfingen rückwärts zu gehen. Wenn man will, kann man das freilich so nennen: man muß dann nur darüber klar sein, daß man damit nichts anderes sagt, als daß die Menschen ihre Gehrichtung geändert haben.

     


     Die meisten Rätsel, die uns das Wesen der Zeit aufzugeben scheint, kann man durch die Betrachtung einer Analogie verstehen, die in einer oder der andern Form den verschiedenen falschen Auffassungen zu Grunde liegt: Es ist der Vorgang, im Projektionsapparat durch welchen der Film läuft einerseits, und auf der Leinwand anderseits.
     Wenn man sagt, die Zukunft sei bereits präformiert, so heißt das offenbar: die Bilder des Filmstreifens, welche den zukünftigen Vorgängen auf der Leinwand entsprechen, sind bereits vorhanden. Aber für das, was ich in einer Stunde tun werde, gibt es ja keine solchen Bilder, und wenn es sie gibt, so dürfen wir wieder nicht die Bilder auf dem Zukunftsteil des Filmstreifens mit den zukünftigen Ereignissen auf der Leinwand verwechseln. Nur von jenen können wir sagen, daß sie präformiert sind, d.h. jetzt schon existieren. Und bedenken wir, daß der Zusammenhang der Ereignisse auf der Leinwand mit dem, was die Filmbilder zeigen ein empirischer ist; wir können aus ihnen kein Ereignis auf der Leinwand prophezeien, sondern nur hypothetisch vorhersagen. Auch — und hier liegt eine andere Quelle des Mißverständnisses — können wir nicht sagen “es ist jetzt der Fall, daß dieses Ereignis in einer Stunde eintreten wird” oder “es ist um 5 Uhr der Fall, daß ich um 7 Uhr spazierengehen werde.”

     


     ““Wenn die Erinnerung kein Sehen in die Vergangenheit ist, wie wissen wir dann überhaupt, daß sie mit Beziehung auf die Vergangenheit zu deuten ist? Wir könnten uns dann einer Begebenheit erinnern und zweifeln, ob wir in unserm Erinnerungsbild ein Bild der Vergangenheit oder der Zukunft haben.
     Ich kann natürlich sagen: ich sehe nicht die Vergangenheit, sondern nur ein Bild der Vergangenheit. Aber woher    weiß   ich, daß es ein Bild der    Vergangenheit   ist, wenn dies nicht im Wesen des Erinnerungsbildes liegt. Haben wir etwa durch die Erfahrung gelernt, diese Bilder als Bilder der Vergangenheit zu deuten? Aber was hieße hier überhaupt “Vergangenheit”?””
     Die Daten unseres Gedächtnisses sind geordnet; diese Ordnung nennen wir Gedächtniszeit, im Gegensatz zur physikalischen Zeit, der Ordnung der Ereignisse in der physikalischen Welt. Gegen den Ausdruck “Sehen in die Vergangenheit” sträubt sich unser Gefühl mit Recht; denn es ?—gibt uns ein Bild davon—?| //denn es ruft das Bild hervor//, daß Einer einen Vorgang in der physikalischen Welt sieht, der jetzt gar nicht geschieht, sondern schon vorüber ist. Und die Vorgänge, welche wir “Vorgänge in der physikalischen

Welt”, und die, welche wir “Vorgänge in unserer Erinnerung” nennen, sind einander wirklich nur zugeordnet. Denn wir reden von einem Fehlerinnern und das Gedächtnis ist nur    eines   von den Kriterien dafür, daß etwas in der physikalischen Welt geschehen ist.


     

     Die Erinnerungszeit unterscheidet sich unter anderem dadurch von der physikalischen, daß sie ein Halbstrahl ist, dessen Endpunkt| //Anfangspunkt// die Gegenwart ist. Der Unterschied zwischen Erinnerungszeit und physikalischer Zeit ist natürlich ein logischer. D.h.: die beiden Ordnungen könnten sehr wohl mit ganz verschiedenen Namen bezeichnet werden und man nennt sie nur beide “Zeit”, weil eine gewisse grammatische Verwandtschaft besteht, ganz wie zwischen Kardinal- und Rationalzahlen; Gesichtsraum, Tastraum und physikalischen Raum; Farbtönen und Klangfarben, etc., etc..

     


     Gedächtniszeit. Sie ist (wie der Gesichtsraum) nicht ein Teil der großen Zeit, sondern die spezifische Ordnung der Ereignisse oder Situationen im Gedächtnis| //in der Erinnerung//. In dieser Zeit gibt es z.B. keine Zukunft. Gesichtsraum und physikalischer Raum, Gedächtniszeit und physikalische Zeit, verhalten sich zueinander nicht wie ein Stück der Kardinalzahlenreihe zum Gesetz dieser Reihe (“der |zur ganzen Zahlenreihe”), sondern, wie das System der Kardinalzahlen zu dem, der rationalen Zahlen. Und dieses Verhältnis erklärt auch den Sinn der Meinung, daß der eine Raum den andern einschließt, enthält.

     


     Messung des Raumes und des räumlichen Gegenstandes. Das Seltsame am leeren Raum und an der leeren Zeit. Die Zeit (und der Raum) ein ätherischer Stoff. Von Substantiven verleitet, glauben wir an eine Substanz| //…verleitet, nehmen wir eine Substanz an//. ?Ja, wenn wir der Sprache die Zügel überlassen und nicht dem Leben, dann entstehen die philosophischen Probleme.
     “Was ist die Zeit?” — schon in der Frage liegt der Irrtum: als wäre die Frage: woraus, aus welchem Stoff, ist die Zeit gemacht. Wie man etwa sagt, woraus ist dieses feine Kleid gemacht.

     


     Die alles gleichmachende Gewalt der Sprache, die sich am krassesten im Wörterbuch zeigt, und die es möglich macht, daß die    Zeit   personifiziert werden konnte; was nicht weniger merkwürdig ist, als es wäre, wenn wir Gottheiten der logischen Konstanten hätten.

     


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“Hier” & “Jetzt”


     


     In gewissem Sinne ist die Bedeutung der Wörter “hier”, “jetzt” (etc.) die einzige, die ich nicht von vornherein festlegen kann. Aber das ist natürlich irreführend ausgedrückt: Die Bedeutung    ist   festzulegen und festgelegt, wenn die Regeln bezüglich dieser Worte festgelegt sind, und das kann geschehen, ehe sie in einem bestimmten Fall angewandt werden; denn wozu auch sonst    ein   Wort in verschiedenen Fällen gebrauchen.



     


     Unterschied zwischen Sage und Märchen, Märchen (und andere Dichtungen) vom Jetzt und Hier abgeschnitten.


     

     Es ist aber ein wichtiger Satz in der Grammatik des Wortes “hier”, daß es keinen Sinn hat, “hier” zu schreiben, wo eine Ortsangabe stehen soll; daß ich also auf einen Gegenstand kein Täfelchen befestigen soll, mit der Aufschrift “Dieser Gegenstand ist immer nur hier zu benützen”.


     

     Ich kann natürlich in Bezug auf die Wörter “jetzt” und “hier” etc. nur tun, was ich sonst tue, nämlich ihren Gebrauch beschreiben. Und| Aber diese Beschreibung muß allgemein sein, d.h. im vorhinein,    vor   jedem Gebrauch.

     


     Hier und Jetzt sind geometrische Begriffe, wie etwa der Mittelpunkt meines Gesichtsfeldes.


     

     Hier und Jetzt haben nicht eine größere Multiplizität, als sie zu haben scheinen. Das anzunehmen ist die große Gefahr. Ersetze sie, durch welchen Ausdruck Du willst, immer ist es nur    ein   Wort — und daher eins so gut wie das andere.




     


     Wenn die Sprache sich mit dem Gelde vergleichen läßt, an dem an und für sich nichts liegt, sondern das nur indirekt von Bedeutung ist, weil man damit| mit ihm Gegenstände kaufen kann, die für uns Bedeutung haben; so kann man sagen| //so möchte man vielleicht sagen//, daß hier beim Gebrauch der Wörter “ich”, “hier”, “jetzt”etc. der Tauschhandel in den Geldhandel eintritt. (?)





     

     Wenn aber die Grammatik den ganzen Symbolismus umfassen soll, wie zeigt sich in ihr die Ergänzungsbedürftigkeit der Wörter “ich”, “Du”, “dieses”, etc. durch Gegenstände der Realität?








     


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      Farbe, Erfahrung, etc. als formale Begriffe

     


     Man überlege: welchen Grund hat man, ein neues Phänomen    Farbe   zu nennen, wenn es sich nicht in unser bisheriges Farbenschema einfügt.

     


     Erfahrung ist nicht etwas, das man durch Bestimmungen von einem Andren abgrenzen kann, was nicht Erfahrung ist; sondern eine logische Form.



     


Grundlagen der Mathematik


     


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Die Mathematik mit einem Spiel verglichen.











     


     Handelt die Mathematik von Zeichen| // Schriftzeichen//? Ebensowenig, wie das Schachspiel von Holzfiguren handelt.
     Wenn wir von dem Sinn mathematischer Sätze reden, oder; wovon sie handeln, so gebrauchen wir ein falsches Bild. Es ist nämlich hier auch so, als ob unwesentliche, willkürliche, Zeichen das Wesentliche — eben den Sinn — miteinander gemein hätten| // gemeinsam haben//.

     

     Weil die Mathematik ein Kalkül ist und daher wesentlich von nichts handelt, gibt es keine Metamathematik.






     


     Die Regel über das Gewinnen und Verlieren unterscheidet eigentlich nur zwei Pole. Welche Bewandtnis es (dann?) mit dem hat, der gewinnt (oder verliert), geht sie eigentlich nichts an. Ob z.B. der Verlierende dann etwas zu zahlen hat.
     (Und ähnlich, kommt es uns ja vor, verhält es sich mit dem “richtig” und “falsch” im Rechnen.)





     


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Es gibt keine Metamathematik






     


     Auch die Logik ist keine Metamathematik, d.h. auch Operationen des logischen Kalküls können| das Arbeiten mit dem logischen Kalkül kann keine wesentlichen Wahrheiten    über   die Mathematik zu Tage fördern. Siehe hierzu das “Entscheidungsproblem” und ähnliches in der modernen mathematischen Logik.

     


     /Durch Russell, aber besonders durch Whitehead, ist in die Philosophie eine Pseudoexaktheit gekommen, die die schlimmste Feindin wirklicher Exaktheit ist. Am Grunde liegt hier der Irrtum, ein Kalkül könne die metamathematische Grundlage der Mathematik sein./




     


     Es ist ein Unterschied, ob ein System auf ersten Prinzipien    ruht  , oder ob es bloß von ihnen ausgehend entwickelt wird. Es ist ein Unterschied, ob es, wie ein Haus, auf seinen untersten Mauern ruht oder ob es, wie etwa ein Himmelskörper, im Raum frei schwebt und wir bloß unten zu bauen angefangen haben, obwohl wir es auch es auch irgendwo anders hätten tun können.




     


     Das Wesen des “logischen Gesetzes” ist es ja, daß es im Produkt mit irgendeinem Satz diesen Satz ergibt. Und man könnte den Kalkül Russells auch mit Erklärungen beginnen von der Art:
pCp : q = q
p : p⌵q = p etc.


     


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Beweis der Relevanz



     


     Der Beweis der Beweisbarkeit eines Satzes wäre der Beweis des Satzes selbst. Dagegen gibt es etwas, was wir den Beweis der Relevanz nennen könnten. Das wäre z.B. der Beweis, der mich davon überzeugt, daß ich die Gleichung 17 × 38 = 456 nachprüfen    kann  , noch ehe ich es getan habe. Woran erkenne ich nun, daß ich 17 × 38 = 456 überprüfen kann, während ich das beim Anblick eines Integralausdrucks vielleicht nicht weiß? Ich erkenne offenbar, daß er nach einer bestimmten Regel gebaut ist und auch,

wie die Regel| // Vorschrift // zur Lösung der Aufgabe an dieser Bauart des Satzes haftet. Der Beweis der Relevanz ist dann etwa eine Darstellung der allgemeinen Form der Lösungsmethode, etwa der Multiplikationsaufgaben, die die allgemeine Form der Sätze erkennen läßt, deren Kontrolle sie möglich macht. Ich kann dann sagen, ich erkenne, daß diese Methode auch diese Gleichung nachprüft, obwohl ich die Nachprüfung noch nicht vollzogen habe.

     


     Wenn von Beweisen der Relevanz (und ähnlichen Dingen der Mathematik) geredet wird, so geschieht es immer, als hätten wir, abge-
sehen

     


Es wäre etwa so: Ist mir eine allgemeine (variable) Regel gegeben, so muß ich immer von neuem erkennen, daß diese Regel auch    hier   angewendet werden kann (daß sie auch für    diesen   Fall gilt). Kein Art der Voraussicht kann mir diesen Akt der    Einsicht   ersparen. Denn tatsächlich ist die Form, auf die die Regel angewandt wird, bei jedem neuen Schritte eine neue. — Es handelt sich aber hier nicht um einen Akt der    Einsicht  , sondern um einen Akt der    Entscheidung  .


     

     Der sogenannte Beweis der Relevanz steigt die Leiter zu seinem Satz nicht hinauf, denn dazu    muß   man jede Stufe nehmen, sondern zeigt nur, daß die Leiter in der Richtung zu jenem Satze führt. (In der Logik gibt es kein Surrogat.) Es ist auch der Pfeil, der die Richtung weist, kein Surrogat für das Durchschreiten aller Stufen bis zum bestimmten Ziel.

     


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Beweis der Widerspruchsfreiheit


     


gebraucht werden    kann  , kann nicht gesagt werden.











     


     “In den Regeln    darf   kein Widerspruch sein”, das klingt so, wie eine Vorschrift: “in einer Uhr darf der Zeiger nicht locker auf seiner Welle sitzen”. Man erwartet sich dann eine Begründung: weil sonst… Im ersten Falle könnte diese Begründung aber nur lauten: weil es sonst kein Regelverzeichnis ist. Es ist eben wieder ein Fall der grammatischen Struktur, die sich logisch nicht begründen läßt.


     


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Die Begründung der Arithmetik, in der diese auf ihre Anwendungen vorbereitet wird. (Russell, Ramsey)




     


     Es handelt sich immer darum, ob und wie es möglich ist, die allgemeinste Form der Anwendung der Arithmetik darzustellen. Und hier ist eben das Seltsame, daß das in gewissem Sinne nicht nötig zu sein scheint. Und wenn es wirklich nicht nötig ist, dann ist es auch unmöglich.



     


     Das Charakteristische an der Zahlangabe ist, daß man statt der einen Zahl jede andere einsetzen kann und der Satz immer sinnvoll bleiben muß; also die unendliche Formenreihe von Sätzen.






     

So verschieden Striche und Gerichtsverhandlungen sind, so kann man doch Gerichtsverhandlungen durch Striche in einem Kalender darstellen. Und kann die einen statt der anderen zählen.      Es ist nicht so, wenn ich etwa Hutgrößen zählen will. Drei Hutgrößen durch 3 Striche zu repräsentieren wäre nicht natürlich. Ebenso, wie wenn ich eine Maßzahl, 3m, durch 3 Striche darstellen wollte. Man kann das ja tun, nur stellt dann “|||” auf eine andere Weise dar.



     

     Der Buchstabe π steht für ein Gesetz. Das Zeichen π' heißt nichts, wenn in dem Gesetz des π von keiner 7 die Rede ist, die man durch eine 3 ersetzen kann. Analoges gilt für . (Dagegen könnte bedeuten √5)


     


     Der Begriff “Primzahl” ist die allgemeine Form der Untersuchung einer Zahl auf die betreffende Eigenschaft hin; der Begriff “teilbar” die allgemeine Form der Untersuchung auf die Teilbarkeit u.s.f.

     


Aber ist nicht ein Satz von Interesse „101 ist durch 7 nicht teilbar”?

     


     Ich sagte: “Eine Schwierigkeit der Fregeschen Theorie ist die Allgemeinheit der Worte ‘Begriff’ und ‘Gegenstand’. Denn, da man Tische, Töne, Schwingungen und Gedanken zählen kann, so ist es schwer, sie alle unter einen Hut zu bringen”. — Aber was heißt es: “man    kann   sie zählen”? Doch, daß es    Sinn hat  , sie zu zählen|//, auf sie die Kardinalzahlen anzuwenden//. Wenn wir aber das wissen,    diese   grammatische Regel wissen, was brauchen wir uns da den Kopf über die andern grammatischen Regeln zu zerbrechen, wenn es sich uns nur um eine Rechtfertigung der Anwendung der Kardinalarithmetik handelt? Es ist nicht schwer “sie alle unter einen Hut zu bringen”, sondern sie sind, soweit das für diesen Zweck| Fall nötig ist, unter einen Hut gebracht.


     

     Die Arithmetik aber kümmert sich (wie wir alle sehr wohl wissen) überhaupt nicht um diese Anwendung. Ihre Anwendbarkeit

sorgt für sich selbst.

     

     Daher ist alles ängstliche Suchen nach den Unterschieden zwischen Subjekt-Prädikat-Formen, aber auch die Konstruktion von Funktionen ‘in extension’ (Ramsey), zur Begründung der Arithmetik Zeitverschwendung.

     



      Die Gleichung 4 Äpfel + 4 Äpfel = 8 Äpfel ist eine Ersetzungsregel, die ich verwende, wenn ich nicht das Zeichen “4+4” durch “8”, sondern das Zeichen 4 Äpfel + 4 Äpfel” durch “8 Äpfel” ersetze.
     Man muß sich aber davor hüten zu glauben “4 Äpfel + 4 Äpfel = 8 Äpfel” ist die konkrete Gleichung, dagegen 4+4 = 8 der abstrakte Satz, wovon die erste Gleichung nur eine spezielle Anwendung ist| sei. So daß zwar die Arithmetik der Äpfel viel weniger allgemein ist| wäre, als die eigentliche allgemeine, aber eben in ihrem beschränkten Bereich (für Äpfel) gälte. — Es gibt aber keine “Arithmetik der Äpfel”, denn die Gleichung mit den benannten Zahlen| 4 Äpfel + 4 Äpfel = 8 Äpfel ist nicht ein Satz, der von Äpfeln handelt. Man kann sagen, daß in dieser Gleichung das Wort “Äpfel” keine Bedeutung hat. (Wie man es überhaupt von dem Zeichen in einer Zeichenregel sagen kann, die seine Bedeutung bestimmen hilft.)

     


     Wie kann man Vorbereitungen zum Empfang von etwas eventuell Existierendem treffen, — in dem Sinn, in welchem Russell und Ramsey das (immer) tun wollten? Man bereitet etwa die Logik für die Existenz von vielstelligen Relationen vor, oder für die Existenz einer unendlichen Zahl von Gegenständen. —


     

     Nun kann man doch für die Existenz eines Dinges vorsorgen: Ich mache z.B. ein Kästchen, um den Schmuck hineinzulegen, der vielleicht einmal gemacht werden wird. — Aber hier kann ich doch sagen, was der Fall sein muß, — welcher Fall es ist, für den ich vorsorge. Ich kann diesen Fall jetzt so gut beschreiben,| // Dieser Fall läßt sich jetzt so gut beschreiben, // wie, nachdem er schon eingetreten ist; und auch dann, wenn er nie eintritt. (Lösung mathematischer Probleme.) Dagegen sorgen Russell und Ramsey für eine eventuelle Grammatik vor.


     

     Man denkt einerseits, daß es die Mathematik mit der Art der Funktionen zu tun hat und ihren Gegenständen| // Argumenten//, von deren Anzahlen sie handelt. Aber man will sich nicht durch die uns jetzt bekannten Funktionen binden lassen und man weiß nicht, ob jemals eine gefunden werden wird, die 100 Argumentstellen hat; also muß man vorsorgen und eine Funktion konstruieren, die alles für die 100-stellige Relation vorbereitet, wenn sich eine finden sollte. — Was heißt es aber überhaupt: “es findet sich (oder: es gibt) eine 100-stellige Relation”? Welchen Begriff haben wir von ihr? oder auch von einer 2-stelligen? — Als Beispiel einer 2-stelligen Relation

     

     Die Grammatik ist für uns ein reiner Kalkül. (Nicht die Anwendung eines auf die Realität.)

     


     “Wie kann man Vorbereitungen für etwas eventuell Existierendes treffen” heißt: Wie kann man die Arithmetik auf eine Logik aufbauen, in der man im Speziellen noch Resultate einer Analyse der| // unse-
rer Sätze erwartet, und dabei für alle eventuellen Resultate durch eine Konstruktion a priori aufkommen wollen? —

     


Handlungen dieses Kalküls // selbst mittels dieser Notation beschreiben.


     


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Ramseys Theorie der Identität



     


     Wenn die Dirichletsche Auffassung der Funktion einen strengen Sinn hat, so muß sie sich in einer    Definition   ausdrücken, die das Funktionszeichen mit der Tabelle als gleichbedeutend erklärt.

     


     Ramsey definiert x = y als
     (Fe).Fex ≡ Fe.
Aber nach den Erklärungen, die er über seine Funktionszeichen “ Fe ” gibt, ist (Fe).Fex ≡ Fex die Aussage: “jeder Satz ist sich selbst äquivalent”
      (Fe).Fex ≡ Fey die Aussage: “jeder Satz ist jedem Satz äquivalent”.| //Ramsey erklärt “x = x” auf einem Umweg als die Aussage “jeder Satz ist sich selbst äquivalent” und “ x = y” als “jeder Satz ist jedem Satz äquivalent”.//
Er hat also mit seiner Erklärung nichts andres erreicht, als was die zwei

     


Der Endzweck der Einführung der extensiven Funktionen war übrigens die Analyse von Sätzen über unendliche Extensionen und dieser Zweck ist verfehlt, da eine extensive Funktion durch eine Liste von Definitionen eingeführt wird.

     


     Es besteht eine Versuchung, die Form der Gleichung

für die Form von Tautologien und Kontradiktionen zu halten, und zwar darum, weil es scheint, als könne man sagen, x = x ist selbstverständlich wahr (und) x=y selbstverständlich falsch. Eher noch kann man natürlich ?—sagen, daß x=x die Rolle einer Tautologie spielt, als x=y die der Kontradiktion—?| // kann man natürlich x=x mit einer Tautologie vergleichen, als x=y mit einer Kontradiktion//, da ja alle richtigen (und “sinnvollen” Gleichungen der Mathematik von der Form x=y sind. Man könnte x=x eine degenerierte Gleichung nennen (Ramsey nannte sehr richtig Tautologien und Kontradiktionen degenerierte Sätze) und zwar eine richtige degenerierte Gleichung (den Grenzfall einer Gleichung). Denn wir gebrauchen Ausdrücke der Form x=x wie richtige Gleichungen, wobei wir uns vollkommen bewußt sind, daß es sich um degenerierte Gleichungen handelt. Im gleichen Fall sind Sätze in geometrischen Beweisen, wie etwa: “der Winkel
     
ist gleich dem Winkel
     
, der Winkel ist sich selbst gleich …”.
     Man könnte nun einwenden, daß richtige Gleichungen der Form x=y auch Tautologien, dagegen falsche, Kontradiktionen sein müßten, weil man ja die richtige Gleichung muß beweisen können und das, indem man die beiden Seiten der Gleichung transformiert, bis eine Identität x=x herauskäme. Aber obwohl durch diesen Prozeß die erste Gleichung als richtig erwiesen ist und insofern die Identität x=x das Endziel der Transformationen war, so ist sie nicht das Endziel in dem Sinne, als hätte man durch die Transformationen der Gleichung ihre richtige Form geben wollen, wie man einen krummen Gegenstand zurechtbiegt, und als habe sie nun in der Identität diese vollkommene Form (endlich) erreicht. Man kann also nicht sagen: die richtige Gleichung ist ja    eigentlich   eine Identität. Sie ist eben    keine   Identität.

     


     Wenn man sagt: “es muß der Mathematik wesentlich sein, daß sie angewandt werden kann”, so meint man, daß diese    Anwendbarkeit  | // Anwend   barkeit   // nicht die eines Stückes Holz ist, von dem ich sage “das werde ich zu dem und dem anwenden können”.

     


     Die Geometrie ist nicht die Wissenschaft (Naturwissenschaft) von den geometrischen Ebenen, geometrischen Geraden und geometrischen Punkten, im Gegensatz etwa zu einer anderen Wissenschaft, die von den groben, physischen Geraden, Strichen,| — Strichen — Flächen etc. handelt und    deren   Eigenschaften angibt. Der Zusammenhang der Geometrie mit Sätzen des praktischen Lebens, die von Strichen, Farbgrenzen, Kanten und Ecken etc. handeln, ist nicht der, daß sie über ähnliche Dinge spricht, wie diese Sätze, wenn auch über    ideale   Kanten, Ecken, etc.; sondern der, zwischen diesen Sätzen und ihrer Grammatik. Die angewandte Geometrie ist die Grammatik der Aussagen über die räumlichen Gegenstände. Die sogenannte geometrische Gerade verhält sich zu einer Farbgrenze nicht wie etwas Feines zu etwas Grobem, sondern wie Möglichkeit zur Wirklichkeit. (Denke an die Auffassung der Möglichkeit als Schatten der Wirklichkeit.)




     


Über Kardinalzahlen


     


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Kardinalzahlenarten


     


     Was die Zahlen sind? — Die Bedeutungen der Zahlzeichen; und die Untersuchung dieser Bedeutung ist die Untersuchung der Grammatik der Zahlzeichen.


     

     Wir suchen nicht nach einer Definition des Zahl-Begriffs, sondern nach einer Klärung der Grammatik des Wortes “Zahl” und der Zahlwörter.|//, sondern versuchen eine Darlegung der Grammatik des Wortes “Zahl” und der Zahlwörter.//

     


     Es gibt unendlich viele Kardinalzahlen, weil    wir   dieses unendliche System konstruieren und es das der Kardinalzahlen nennen. Es gibt auch ein Zahlensystem “1, 2, 3, 4, 5, viele” und auch eines: “1, 2, 3, 4, 5,”. Und warum sollte ich das nicht auch ein System von Kardinalzahlen nennen? (und also ein endliches).

     


     Daß das axiom of infinity nicht ist, wofür Russell es gehalten hat, daß es weder ein Satz der Logik, noch auch — wie es da steht — ein Satz der Physik ist, ist klar. Ob der Kalkül damit, in eine ganz andre Umgebung gebracht (in ganz anderer “Interpretation”), irgendwo eine praktische Anwendung finden könnte, weiß ich nicht.
     Von den logischen Begriffen, z.B. von dem (oder: einem) der Unendlichkeit, könnte man sagen: ihre Essenz beweise ihre Existenz.

     


     (Frege hätte noch gesagt: “es gibt vielleicht Völker| // Menschen//, die in der Kenntnis der Kardinalzahlenreihe nicht über die 5 hinausgekommen sind (und etwa das Übrige der Reihe nur in unbestimmter Form sehen), aber diese Reihe existiert unabhängig von uns”. Existiert das Schachspiel unabhängig von uns, oder nicht?— )


     


     Könnte man auch eine Zahlenart den Kardinalzahlen

entgegensetzen, deren Reihe der der Kardinalzahlen ohne der 5 entspräche? Oh ja: nur wäre diese Zahlenart zu    nichts   zu brauchen, wozu die Kardinalzahlen es sind. Und die 5 fehlt diesen Zahlen nicht, wie ein Apfel, den man aus einer Kiste voller Äpfel herausgenommen| // genommen // hat und wieder hineinlegen kann, sondern die 5 fehlt dem Wesen dieser Zahlen; sie    kennen   die 5 nicht (wie die Kardinalzahlen die Zahl 1/2 nicht kennen). Angewendet würden also diese Zahlen (wenn man sie so nennen will) in einem Fall, in dem die Kardinalzahlen (mit der 5) nicht mit Sinn angewendet werden könnten.
     (Zeigt sich hier nicht die Unsinnigkeit des Geredes von der “Grundintuition”?)



     


     Wenn man bei geschlossenen Augen ein Flimmern sieht, unzählige Lichtpünktchen, die kommen und verschwinden — wie man es etwa beschreiben würde — so hat es keinen Sinn, hier von einer ‘Anzahl’ der zugleich gesehenen Pünktchen zu reden. Und man kann nicht sagen “es sind immer eine bestimmte Anzahl von Lichtpünktchen da, wir wissen sie bloß nicht”; dies entspräche einer Regel, die dort angewandt wird, ?—wo von einer Kontrolle dieser Anzahl gesprochen werden kann—?.


     


     Die Null ist keine der Kardinalzahlen, denn “es ist 1 Mensch im Zimmer” ist vereinbar mit “es sind 2 Menschen im Zimmer” und das mit “es sind 3 Menschen im Zimmer” u.s.f.; dagegen ist der Satz “es ist kein (0) Mensch im Zimmer” mit dem ersten der früheren Reihe nicht vereinbar.

     


     Von einem Teil meines Gesichtsfeldes zu sagen, er habe keine Farbe, ist Unsinn; ebenso — natürlich auch — zu sagen, er habe Farbe (oder, eine Farbe). Wohl aber| // Anderseits // hat es Sinn zu sagen, er habe nur    eine   Farbe (sei einfärbig, oder    gleichfärbig  ), er habe mindestens zwei Farben, nur zwei Farben, u.s.w..
     Ich kann also in dem Satz “dieses Viereck in meinem Gesichtsfeld hat mindestens zwei Farben” statt “zwei” nicht “eine” substituieren. Oder auch: “das Viereck hat nur eine Farbe” heißt nicht — analog (∃x).fx & ~(∃ x,y)·fx & fy — “das Viereck hat eine Farbe, aber nicht zwei Farben”.

     


immer mit der Anzahl von Soldaten gezählt werden, welche über    einen   Soldaten angetreten sind (etwa, indem die Anzahl der möglichen Kombinationen des Flügelmanns und eines andern Soldaten der Reihe angegeben werden soll). Aber auch ein Herkommen könnte existieren, wonach die Anzahl der Soldaten immer um 1 größer als die wirkliche angegeben wird. Das wäre etwa ursprünglich geschehen, um einen bestimmten Vorgesetzten über die wirkliche Zahl zu täuschen, dann aber habe es sich als Zählweise für Soldaten eingebürgert. (Akademisches Viertel.) Die Anzahl der verschiedenen Farben in einer Fläche könne auch durch die Anzahl der möglichen Kombinationen zu zwei Gliedern angegeben werden. Und dann kämen für diese Anzahl nur die Zahlen in Betracht und es wäre dann sinnlos, von 2 oder 4 Farben in einer Fläche zu reden, wie jetzt von √2 oder i Farben. Ich will sagen, daß nicht die Kardinalzahlen wesentlich primär und die — nennen wir's — Kombinationszahlen 1, 3, 6, 10, etc. sekundär sind. Man könnte auch eine Arithmetik der Kombinationszahlen konstruieren und diese wäre in sich so geschlossen, wie die Arithmetik der Kardinalzahlen. Aber ebenso natürlich kann es eine Arithmetik der geraden Zahlen oder der Zahlen 1, 3, 4, 5, 6, 7 … geben. Es ist natürlich das Dezimalsystem zur Schreibung dieser Zahlenarten ungeeignet.

     


     Denken wir uns eine Rechenmaschine, die, anstatt mit Kugeln, mit Farben in einem Streifen rechnet. Und während wir jetzt auf unserm Abakus mit Kugeln, oder den Fingern, die Farben in einem Streifen zählen, so würden wir dann die Kugeln auf einer Stange, oder die Finger an unserer Hand, mit Farben in einem Streifen zählen. Wie aber müßte diese Farbenrechenmaschine konstruiert sein, um funktionieren zu können? Wir brauchten ein Zeichen dafür, daß keine Kugeln an der Stange sitzen. Man muß sich den Abakus als ein Gebrauchsinstrument denken und als Mittel der Sprache. Und, so wie man etwa 5 durch die fünf Finger einer Hand darstellen kann (man denke an einer Gebärdensprache), so würde man es durch den Streifen mit … 5 Farben darstellen. Aber für die 0 brauche ich ein Zeichen, sonst habe ich die nötige Multiplizität nicht. Nun, da kann ich entweder die Bestimmung treffen, daß die Farbe| Fläche schwarz die 0 bezeichnen soll (dies ist natürlich willkürlich und die einfärbige rote Fläche täte es ebensogut); oder aber die einfärbige Fläche soll 0 bezeichnen, die zweifärbige 1, etc.. Es ist ganz gleichgültig, welche Bezeichnungsweise ich wähle. Und man sieht hier, wie sich die Mannigfaltigkeit der Kugeln auf die Mannigfaltigkeit der Farben in einer Fläche projiziert.

     


     Es hat keinen Sinn, von einem schwarzen Zweieck in weißen Kreis zu reden; und dieser Fall ist analog dem: es ist sinnlos zu sagen, das Viereck bestehe aus 0 Teilen (keinem Teil).
     Hier haben wir etwas, wie eine untere Grenze des Zählens, noch ehe wir die Eins erreichen.

     


     
     
Ist Teile Zählen in I das Gleiche, wie Punkte Zählen in IV? Und worin besteht der Unterschied? Man kann das Zählen der Teile in I auffassen als ein Zählen

     


     Man wird sich aber vielleicht auch enthalten, den Unterschied überhaupt mit einer Zahl zu bezeichnen, sondern sich ganz an die Schemata A, AB, ABC, etc. halten. Oder es auch so beschreiben:
1, 12, 123, etc., oder, was auf das Gleiche hinauskommt: 0, 01, 012, etc..
     Diese kann man sehr wohl auch Zahlzeichen nennen.


     

     Die Schemata: A, AB, ABC, etc.: 1, 12, 123, etc.; !, !!, !!!, etc.; !.!, !..!, !...!, etc.; 0, 1, 2, 3, etc.; 1, 2, 3, etc.; 1, 12, 121323, etc.; etc. — sind alle gleich fundamental.


     

     Man wundert sich nun darüber, daß das Zahlenschema, mit welchem man Soldaten in einer Kaserne zählt, nicht auch für die Teile eines Vierecks gelten soll. Aber das Schema der Soldaten in der Kaserne ist
     
, das der Teile des Vierecks
     
. Keines ist im Vergleich zum andern primär.


     

     Ich kann die Reihe der Teilungsschemata sowohl mit der Reihe 1, 2, 3, etc. als auch mit der Reihe 0, 1, 2, 3, etc. vergleichen.
     Zähle ich die Teile, so gibt es in meiner Zahlenreihe keine 0, denn die Reihe
etc. fängt mit    einem   Buchstaben an, während die Reihe ! !, !.!, !..!, etc. nicht mit    einem   Punkt anfängt. Ich kann dagegen auch mit dieser Reihe alle Tatsachen der Teilung darstellen, nur “zähle ich dann nicht die Teile”.

     


     Unrichtig ausgedrückt, aber so, wie man es zunächst ausdrücken würde, lautet das Problem: “warum kann man sagen ‘es gibt 2 Far-

ben auf dieser Fläche’ und nicht ‘es gibt    eine   Farbe auf dieser Fläche’?” Oder: wie muß ich die grammatische Regel ausdrücken, daß ich nicht mehr versucht bin Unsinniges zu sagen, und daß sie mir selbstverständlich ist? Wo liegt der falsche Gedanke, die falsche Analogie, durch die ich verführt werde, die Sprache unrichtig zu gebrauchen? Wie muß ich die Grammatik darstellen, daß diese Versuchung wegfällt? Ich glaube, daß die Darstellung durch die Reihen
u.s.w. und
u.s.w. die Unklarheit hebt.
     Es kommt alles darauf an, ob ich mit einer Zahlenreihe zähle, die mit 0 anfängt, oder mit einer, die mit 1 anfängt.
     So ist es auch, wenn ich die Längen von Stäben, oder die Größen von Hüten zähle.
     Wenn ich mit Zählstrichen zähle, so könnte ich sie dann so schreiben:
     
, um zu zeigen, daß es auf den Richtungs   unterschied   ankommt und der einfache Strich der 0 entspricht (d.h. der Anfang ist).




     


     Wie kann ich wissen, daß !!!!!!!! und !!!!!!!!    dasselbe   Zeichen sind? Es genügt doch nicht, daß sie    ähnlich   ausschauen. Denn es ist nicht die ungefähre Gleichheit der Gestalt, was die Identität der Zeichen ausmachen darf, sondern gerade eben die Zahlengleichheit.


     


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2 + 2 = 4



     


     Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem Begriff zu tun? Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu fragen, ob es einen Sinn hat, von einer Anzahl von Gegenständen zu reden, die nicht unter einen Begriff gebracht sind. Hat es z.B. Sinn zu sagen “a, b und c sind drei Gegenstände”? — Es ist allerdings ein Gefühl vorhanden, das uns sagt: Wozu von Begriffen reden, die Zahl hängt ja nur vom    Umfang   des Begriffes ab, und wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff sozusagen abtreten. Der Begriff ist nur eine Methode| // nur ein Hilfsmittel//, um einen Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig und in seinem Wesen unabhängig vom Begriff; denn es kommt ja auch nicht darauf an, durch welchen Begriff wir den Umfang bestimmt haben. Das ist das Argument für die extensive Auffassung. Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn der Begriff wirklich nur ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu gelangen, dann hat der Begriff in der Arithmetik nichts zu suchen; dann muß man eben die Klasse gänzlich von dem zufällig mit ihr verknüpften Begriff scheiden. Im entgegengesetzten Fall aber ist der vom Begriff unabhängige Umfang nur eine Chimäre und dann ist es besser, von ihm überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom Begriff.
     Das Zeichen für den Umfang eines Begriffes ist eine Liste. Man könnte — beiläufig — sagen: die Zahl| // Anzahl // ist die externe Eigenschaft

eines Begriffs und die interne seines Umfangs (der Liste der Gegenstände, die unter ihn fallen). Die Anzahl ist das Schema eines Begriffsumfangs. D.h.: die Zahlangabe ist, wie Frege sagte, die Aussage über einen Begriff (ein Prädikat). Sie bezieht sich nicht auf einen Begriffsumfang, d.i. auf eine Liste, die etwa der Umfang eines Begriffes sein kann. Aber die Zahlangabe über einen Begriff ist ähnlich dem Satz, welcher aussagt, daß eine bestimmte Liste der Umfang dieses Begriffs sei. Von so einer Liste wird Gebrauch gemacht, wenn ich sage: “a, b, c, d fallen unter den Begriff F(x)”. “a, b, c, d” ist die Liste. Natürlich sagt der Satz nichts anderes, als Fa & Fb & Fc & Fd; aber er zeigt, mit Hilfe der Liste geschrieben, seine Verwandtschaft mit “(∃ x,y,z,u). Fx & Fy & Fz & Fu”, welches wir kurz “(∃||||x)F(x)” schreiben können.
     Die Arithmetik hat es mit dem Schema !!!! zu tun. — Aber redet denn die Arithmetik von Strichen, die ich mit Bleistift auf Papier mache? — Die Arithmetik redet nicht von den Strichen, sie    operiert   mit ihnen.


     


     Wenn man wissen will, was “2+2 = 4” heißt, muß man fragen, wie wir es (erhalten), es? ausrechnen. Wir betrachten dann den Vorgang der Berechnung als das Wesentliche, und diese Betrachtungsweise ist die des gewöhnlichen Lebens, wenigstens, was die Zahlen anbelangt, für die wir eine Ausrechnung bedürfen. Wir dürfen uns ja nicht schämen, die Zahlen| // Ziffern // und Rechnungen so aufzufassen, wie sie die alltägliche Arithmetik jedes Kaufmanns auffaßt. Wir rechnen dann 2+2 = 4 und überhaupt die Regeln des kleinen Einmaleins gar nicht aus, sondern nehmen sie — sozusagen als Axiome — an und rechnen nur    mit ihrer Hilfe  . Wir könnten aber natürlich auch 2+2 = 4 ausrechnen und die Kinder tun es auch durch Abzählen. Gegeben die Ziffernfolge 1 2 3 4 5 6, ist die Ausrechnung:
1
1
 2
2
 1
3
 2
4
.

     


Definitionen zur Abkürzung:

u.s.w.

     
      u.s.w..

     


ich es nicht nötig habe, einen bestimmten Kalkül, z.B. den des Dezimalsystems, zu verachten. Einer ist für mich so gut wie der andere. Einen besondern Kalkül gering zu achten ist so, als wollte man Schach spielen ohne wirkliche Figuren, weil das zu wenig abstrakt, zu speziell sei. Soweit es auf die Figuren    nicht   ankommt, sind eben die einen so gut wie die andern. Und soweit ein Spiel sich von dem andern doch unterscheidet, ist eben ein Spiel so gut, d.h. so interessant, wie das andere. Keines aber ist sublimer als das andre.| // Und soweit die Spiele sich doch voneinander unterscheiden, ist eben ein Spiel so gut, d.h. so interessant, wie das andere. Keines aber ist sublimer als das andre.//



     


     
Die Reihe von Sätzen

      (∃x):aRx & xRb
     (∃x,y):aRx & xRy & yRb
     (∃x,y,z):aRx & xRy & yRz & zRb u.s.f. kann man sehr wohl so ausdrücken: “es gibt ein Glied zwischen a und b”
      “es gibt zwei Glieder zwischen a und b” u.s.w. und kann das etwa Schreiben (∃1x).aRxRb, (∃2x).aRxRb, etc.. Es ist aber klar, daß zum Verständnis dieser Ausdrücke die obere Erklärung nötig ist, weil man sonst nach Analogie von (∃2x).fx = (∃ x,y)fx & fy glauben könnte (∃2x).aRxRb sei gleichbedeutend einem Ausdruck (∃ x,y).aRxRb & aRyRb.
     Ich könnte natürlich auch statt “(∃x,y).F(x,y)” schreiben “(∃ 2x,y).F(x,y)”. Aber die Frage wäre nun: was habe ich dann unter “(∃ 3x,y).F(x,y)” zu verstehen? Aber hier läßt sich eine Regel geben; und zwar brauchen wir eine, die uns in der Zahlenreihe beliebig weiterführt. Z.B. die (∃ 3 x,y).F(x,y) = (∃ x,y,z): F(x,y) & F(x,z) & F(y,z)
     (∃ 4 x,y).F(x,y) = (∃ x,y,z,u): F(x,y) & F(x,z) & … es folgen die Kombinationen zu zwei Elementen. U.s.f.. Es könnte aber auch definiert werden: (∃ 3 x,y).F(x,y) = (∃ x,y,z).F(x,y) & F(y,x) & F(x,z) & F(z,x) & F(y,z) & F(z,y) u.s.f..

“(∃ 3x).F(x,y)” entspräche etwa dem Satz der Wortsprache “F(x,y) wird von 3 Dingen befriedigt” und auch dieser Satz bedürfte einer Erklärung um eindeutig zu werden.
     Soll ich sagen, daß in den| // in diesen // verschiedenen Fällen das Zeichen “3” eine andere| // verschiedene // Bedeutung hat? Drückt nicht vielmehr das Zeichen “3” das aus, was den verschiedenen Interpretationen gemeinsam ist? Warum hätte ich es sonst gewählt. Es gelten ja auch die gleichen Regeln von dem Zeichen “3” in dieser wie| // und // in jener Verwendung| // in jedem dieser Zusammenhänge//. Es ist nach wie vor durch 2+1 zu ersetzen; etc.. Allerdings aber ist ein Satz nach dem Vorbild von é||. é||| .C. ε||||| nun keine Tautologie. Zwei Menschen, die miteinander in Frieden leben und drei weitere Menschen, die miteinander in Frieden leben geben nicht fünf Menschen, die miteinander in Frieden leben. Aber das heißt nicht, daß nun 2+3 nicht 5 ist. Vielmehr läßt sich die Addition nur nicht so anwenden. Denn man könnte sagen: 2 Menschen, die … und 3 Menschen, die … und von denen jeder mit jedem der ersten Gruppe in Frieden lebt = 5 Menschen die …

     Mit andern Worten die Zeichen von der Form (∃ 1 x,y).F(x,y), (∃ 2 x,y).F(x,y), etc. haben die Multiplizität der Kardinalzahlen, wie die Zeichen ( ∃lx).fx, (∃ 2x).fx, etc. und wie auch die Zeichen (é1x).fx, (é2x).fx, etc..

     


     “Es gibt nur 4 rote Dinge, aber die bestehen nicht aus 2 und 2, weil es keine Funktion gibt, die sie zu je zweien unter einen Hut bringt”. Das hieße, den Satz 2 + 2 = 4 so auffassen: Wenn auf einer Fläche 4 Kreise zu sehen sind, so haben je 2 von ihnen immer eine bestimmte
     
Eigentümlichkeit miteinander gemein; sagen wir etwa ein Zeichen innerhalb des Kreises. (Dann sollen natürlich auch je 3 der Kreise ein Zeichen gemeinsam haben, etc..) Denn, wenn ich überhaupt etwas über die Wirklichkeit annehme, warum nicht    das  ? Das “axiom of reducibility” ist wesentlich von keiner andern Art. In diesem Sinne könnte man sagen, daß zwar 2 und 2 immer 4 ergeben, aber 4 nicht immer aus 2 und 2 besteht. (Nur durch die gänzliche Vagheit und Allgemeinheit des Reduktionsaxioms werden wir zu dem Glauben verleitet, als handle es sich hier| es handle sich hier — wenn überhaupt um einen sinnvollen Satz — um mehr, als eine willkürliche Annahme, zu der kein Grund vorhanden ist. Drum ist es hier und in allen ähnlichen Fällen äußerst klärend, diese Allgemeinheit, die die Sache ja doch nicht mathematischer macht, ganz fallen zu lassen und statt ihrer ganz spezialisierte Annahmen zu machen).


     

     Man möchte sagen: 4 muß nicht immer aus 2 und 2 bestehen, aber es kann, wenn es wirklich aus Gruppen besteht, aus 2 und 2 wie aus 3 und 1, etc., bestehen; aber nicht aus 2 und 1, oder 3 und 2, etc.; und so bereiten wir eben alles für den Fall vor, daß 4 in Gruppen zerlegbar ist.

     


machen, ist die Summe von m und n. Dies ist also eine Additionsmethode, und zwar eine äußerst umständliche.


     

     Vergleiche: “Wasserstoff und Sauerstoff geben zusammen Wasser” — “2 Punkte und 3 Punkte geben zusammen 5 Punkte”.


     

     Bestehen denn z.B. 4 Punkte in meinem Gesichtsfeld, die ich “als 4”, nicht “als 2 und 2 sehe”, aus 2 und 2? Ja, was heißt das? Soll es heißen, ob sie in irgendeinem Sinne in Gruppen von je 2 Punkten geteilt waren? Gewiß nicht. (Denn dann müßten sie ja wohl auch in allen andern denkbaren Weisen geteilt sein.) Heißt es, daß sie sich in Gruppen von 2 und 2 teilen    lassen  ? also, daß es    Sinn hat  , von solchen Gruppen in den vieren zu reden? — Jedenfalls entspricht doch das dem Satz “ 2+2 = 4”, daß ich nicht sagen kann, die Gruppe der 4 Punkte, die ich gesehen habe, habe aus getrennten Gruppen von 2 und 3 Punkten bestanden. Jeder wird sagen: das ist unmöglich,    denn   3+2 = 5. (Und “unmöglich” heißt hier “unsinnig”.)


     

     “Bestehen 4 Punkte aus 2 und 2” kann eine Frage nach einer physikalischen oder optischen| // visuellen // Tatsache sein; dann ist es nicht die Frage der Arithmetik. Die arithmetische Frage könnte aber allerdings in der Form gestellt werden: “   Kann   eine Gruppe von 4 Punkten aus getrennten Gruppen von je 2 Punkten bestehen”.

     


     “Angenommen, ich glaubte, es gäbe überhaupt nur eine Funktion und die 4 Gegenstände, die sie befriedigen. Später komme ich darauf, daß sie noch von einem fünften Ding befriedigt wird; ist jetzt das Zeichen ‘4’ sinnlos geworden?” — Ja, wenn    im Kalkül   die 4 nicht existiert, dann ist ‘4’ sinnlos.| // Ja, wenn es im    Kalkül   die 4 nicht gibt, dann ist ‘4’| // sie? // sinnlos.//


     

     Wenn man sagt, es wäre möglich, mit Hilfe der Tautologie
(En2x) .fx & (En3x).Fx & Ind. .C. (En5x).fx ⌵ Fx.… A) zu addieren, so wäre das folgendermaßen zu verstehen: Zuerst ist es möglich, nach gewissen Regeln herauszufinden, daß
     (Enx).fx & (Enx).Fx & Ind. .C. (Enx,y):fx ⌵ Fx .&. fy ⌵ Fy tautologisch ist. (Enx).fx ist eine Abkürzung für
     (∃ x).fx & ~(∃ x,y). fx & fy. Ich werde ferner Tautologien der Art A zur Abkürzung so schreiben: (E' )&(') C (E)
     So geht also aus den Regeln hervor, daß (E'x) & (E'x) C (E'x,y), (E'x,y) & (E x) C (E'x,y,z) und andere Tautologien. Ich schreibe “und andere” und nicht “u.s.w. ad inf.”, weil man mit diesem Begriff noch

     


      17+28 kann ich mir nach Regeln ausrechnen, ich brauche 17+28 = 45 (s) nicht als Regel zu geben. Kommt also in einem Beweis der Übergang von f(17+28) auf f(45) vor, so brauche ich nicht sagen, er geschähe nach der Regel s, sondern nach andern Regeln des 1+1.

     


     Wie ist es hiermit aber in der (((1)+1)+1)-Notation? Kann ich sagen, ich könne mir in ihr z.B. 2+3 ausrechnen? Und nach welcher Regel? Es geschähe so:
      /(1)+1/+/((1)+1)+1/ = ((/(1)+1/+1)+1)+1 = /((((1)+1)+1)+1)+1/……

     



|      Als die Zahlen im Dezimalsystem hingeschrieben waren, gab es Regeln, nämlich die der Addition für je zwei Zahlen von 0 bis 9, und die reichten mir, entsprechend angewandt, für Additionen aller Zahlen aus. Welche Regel entspricht nun diesen Elementarregeln? Es ist offenbar, daß wir uns in einer Rechnung wie t weniger Regeln merken brauchen als in 17+28. Ja, wohl nur    eine   allgemeine und gar keine der Art 3+2 = 5. Im Gegenteil, wieviel 3+2 ist, scheinen wir jetzt    ableiten  , ausrechnen zu können.

     


     Haben wir 45 in s in demselben Sinne ausgerechnet, wie das Ergebnis in t?


     


     Man könnte auch fragen: ist
ein Beweis von 2+3 = 5, oder zeigt er sozusagen nur daß 2+3 2+3 ist?      Ich kann aber doch sagen r!!!!! = 5, !! = 2, !!! = 3, nun mache ich die (geometrische) Konstruktion
und zeige so, daß 2+3 = 5 ist.

     


     Oder sollen wir das Additionstheorem so lauten lassen:
a+(b+1) = (a+1)+b, also so addieren:
((1)+1)+(((1)+1)+1) = (((1)+1)+1)+((1)+1) = ((((1)+1)+1)+1)+(1) = (((((1)+1)+1)+1)+1)?

     



|      Es ist übrigens klar, daß das Problem, ob 5+(4+3) = (5+4)+3 ist, sich    so   lösen läßt:
denn diese Konstruktion hat genau die Multiplizität jedes andern Beweises dieses Satzes.

     


     
Wenn ich die Zahl nach ihrem letzten Buchstaben nenne, so beweist das, daß (E+D)+C = E+(D+C) = L.. Diese Form des Beweises ist gut, weil sie deutlich zeigt, daß das Ergebnis wirklich errechnet ist und weil man aus ihr doch auch wieder den allgemeinen Beweis herauslesen kann.




     

     Übrigens ist das Zahlzeichen, jetzt in einem andern Sinne, nicht mit “∃” verbunden: insofern nämlich “(∃ 3x)…” nicht in “(∃ 2+3 x)…” enthalten ist.| // insofern| da nämlich “(∃3)x…” nicht in “(∃ 2+3)x…” enthalten ist.//

     


     Wenn wir von den, mittels “=” konstruierten Funktionen (x=a ⌵ x=b etc.) absehen, so wird nach Russells Theorie

     


Was wir dazu    brauchen  , sind, etwa, die Schreibutensilien, nicht die Bestandteile des Satzes. Ebensowenig hieße es, zu sagen: “Um ‘(∃ x,y). fx & fy’ auszudrücken, brauchen wir das Zeichen ‘(∃ x,y). fx & fy’.”//

     


     Wenn man fragt: “was heißt denn dann ‘5+7 = 12’ — was für ein Sinn oder Zweck bleibt denn noch für diesen Ausdruck, nachdem man die Tautologien etc. aus dem arithmetischen Kalkül ausgeschaltet| // ausgeschlossen// hat, — so ist die Antwort: Diese Gleichung ist eine Ersetzungsregel, die sich auf bestimmte allgemeine Ersetzungsregeln, die Regeln der Addition, stützt. Der Inhalt von 5+7 = 12 ist (wenn einer es nicht wüßte) genau das, was den Kindern Schwierigkeiten macht, wenn sie diesen Satz im Rechenunterricht lernen.


     

     Keine Untersuchung der Begriffe, nur die Einsicht in den Zahlenkalkül kann vermitteln, daß 3+2 = 5 ist. Das ist es, was

sich in uns auflehnt gegen den Gedanken, daß
     (E'3x).fx & (E'2x).gx & Independent .C. (E'5x).fx ⌵ gx”
der Satz 3+2 = 5 sein könnte. Denn das| // dasjenige//, wodurch wir diesen| // jenen // Ausdruck als Tautologie erkennen, kann ich selbst nicht aus einer Betrachtung von Begriffen ergeben, sondern muß aus dem Kalkül zu ersehen sein. Denn die Grammatik ist ein Kalkül. D.h., was im Tautologien-Kalkül noch außer dem Zahlenkalkül da ist, rechtfertigt diesen nicht und ist, wenn wir uns für ihn interessieren, nur Beiwerk.

     


     Die Kinder lernen in der Schule wohl 2×2 = 4, aber

nicht 2 = 2.

     


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Zahlangaben innerhalb
der Mathematik.


     


     Worin liegt der Unterschied zwischen der Zahlangabe über einen Begriff| // Zahlangabe, die sich auf einen Begriff // und

der Zahlangabe, die sich auf eine Variable bezieht? Die Erste ist ein Satz, der von dem Begriff handelt, die zweite eine grammatische Regel die Variable betreffend.
     Kann ich aber nicht eine Variable dadurch bestimmen, daß ich sage, ihre Werte sollen alle Gegenstände sein, die eine bestimmte Funktion befriedigen? — Dadurch    bestimme   ich ja die Variable nicht, außer wenn ich    weiß  , welche Gegenstände die Funktion befriedigen, d.h. wenn mir diese Gegenstände auch auf andre Weise (etwa durch eine Liste) gegeben sind; und dann wird die Angabe der Funktion überflüssig. Wissen wir nicht, ob ein Gegenstand die Funktion befriedigt, so wissen wir nicht, ob er ein Wert der Variablen sein soll und die Grammatik der Variablen ist dann in dieser Beziehung einfach nicht bestimmt| // ausgesprochen//.


     

     Zahlangaben    in   der Mathematik (z.B. “die Gleichung x² = 1 hat 2 Wurzeln”) sind daher von ganz anderer Art, als Zahlangaben außerhalb der Mathematik (“auf dem Tisch liegen 2 Äpfel”.)


     

     Eine Kombinationsrechenmaschine ist denkbar ganz analog der Russischen.



     

     Der Satz, es gibt 6 Permutationen von 3 Elementen, ist identisch mit dem Permutationsschema und darum gibt es hier keinen Satz “es gibt 7 Permutationen von 3 Elementen”, denn dem entspricht kein solches Schema.




     

Eine andere ebenso nützliche Frage ist “wie wird dieser Satz in praxi wirklich angewandt” und da wird jener Satz der Kombinationslehre natürlich als Schlußgesetz angewandt, zum Übergang von einem Satz zum andern, deren jeder eine Wirklichkeit, keine    Möglichkeit  , beschreibt.



     


     Der Satz “die Relation R verbindet zwei Gegenstände miteinander”, wenn das soviel heißen soll, wie “R ist eine zweistellige Relation” ist ein Satz der Grammatik.

     


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Zahlengleichheit
Längengleichheit


     


     Wie soll man nun den Satz auffassen “diese Hüte haben die gleiche Größe”, oder “diese Stäbe haben die gleiche Länge”, oder “diese Flecke haben die gleiche Farbe”? Soll man sie in der Form schreiben:
     “(∃ L).La & Lb”? Aber wenn das in der gewöhnlichen Weise gemeint wird, also mit den gewöhnlichen Regeln gebraucht wird, so müßte es ja dann Sinn haben zu schreiben “(∃ L).La” also “der Fleck a hat eine Farbe”, “der Stab hat eine Länge”. Ich kann freilich “(∃ L).La & Lb” für “a und b sind gleichlang” schreiben, wenn ich nur weiß und berücksichtige, daß “(∃ L).La” sinnlos ist; aber dann wird die Notation irreführend und verwir-

rend. (“Einen|eine Länge haben”, “einen Vater haben”.) — Wir haben hier den Fall, den wir in der gewöhnlichen Sprache oft so ausdrücken: “Wenn a die Länge L hat, so hat b auch L”; aber hier hätte der Satz “a hat die Länge L” gar keinen Sinn, oder doch nicht als Aussage über a; und der Satz lautet richtiger “nennen wir die Länge von a ‘L’, so ist die Länge von b auch L” und ‘L’ ist eben hier wesentlich eine Variable. Der Satz hat übrigens die Form eines Beispiels, eines Satzes, der als Beispiel zum allgemeinen Satz dienen kann und man würde etwa auch fortfahren| // fortsetzen//: “wenn z.B. a 5m lang ist| // die Länge 5m hat//, so hat b auch 5m, u.s.w.”. — Zu sagen “die Stäbe a und b haben die gleiche Länge” sagt nämlich gar nichts über die Länge jedes Stabes; denn es sagt auch nicht, “daß jeder der beiden eine Länge hat”. Der Fall hat also gar keine Ähnlichkeit mit dem: “A und B haben den gleichen Vater” und “der Name des Vaters von A und B ist ‘N’”, wo ich einfach für die allgemeine Bezeichnung den Eigennamen einsetze. ‘5m’ ist aber nicht der Name der betreffenden Länge, von der zuerst nur gesagt wurde, daß a und b sie beide besäßen. Wenn es sich um Längen im Gesichtsfeld handelt, können wir zwar sagen, die beiden Längen seien gleich, aber wir können sie im allgemeinen nicht mit einer Zahl “benennen”. — Der Satz “ist L die Länge von a, so hat auch b die Länge L” schreibt seine Form nur als eine von der Form eines| des Beispiels derivierte| von der eines Beispiels derivierte Form hin. Und man könnte den allgemeinen Satz auch wirklich durch eine Anführung| // Aufzählung // von Beispielen mit einem “u.s.w.” ausdrücken. Und es ist eine Wiederholung desselben Satzes, wenn ich sage: “a und b sind gleichlang; ist die Länge von a L, so ist die Länge von b auch L; ist a 5m lang, so ist auch b 5m lang, ist a 7m, so ist b 7m, u.s.w.”. Die dritte Fassung zeigt schon, daß in dem Satz nicht das “und” zwischen zwei Formen steht, wie in “(∃x). fx & Fx”, so daß man auch (∃x). fx” und (∃x). Fx” schreiben dürfte.
     Nehmen wir als Beispiel auch den Satz “in den beiden Kisten sind

gleichviel Äpfel”. Wenn man diesen Satz in der Form schreibt” es gibt eine Zahl, die die Zahl der Äpfel in beiden Kisten ist”, so kann man auch hier nicht die Form bilden: “es gibt eine Zahl, die die Zahl der Äpfel in dieser Kiste ist”, oder “die Äpfel in dieser Kiste haben eine Zahl”. Schreibe ich:
(∃x). fx.&. ~(∃x,y). fx & fy .=. (∃n1x).fx .=. f1 etc., so könnte man den Satz “die Anzahl der Äpfel in den beiden Kisten ist die gleiche” schreiben:
“(∃ n). fn & Fn”. “(∃n). fn” aber wäre kein Satz.

     



     Will man den Satz “ unter f und F fallen gleichviele Gegenstände” in übersichtlicher Notation schreiben, so ist man vor allem versucht, ihn in der Form “fn & Fn” zu schreiben. Und ferner empfindet man das nicht

     


     Russells Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen Gründen ungenügend. Aber die Wahrheit ist, daß man in der Mathematik keine solche Erklärung der Gleichzahligkeit braucht. Hier ist überhaupt alles falsch aufgezäumt.
     Was uns verführt die Russellsche, oder Fregesche, Erklärung anzunehmen, ist der Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Äpfeln in zwei Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander 1 zu 1 zuordnen    könne  . Man denkt sich die Zuordnung als eine Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung und Verbindung durch eine Relation; und zwar wird die Zuordnung zur Verbindung, was die “geometrische Gerade” zu einer wirklichen ist, eine Art idealer Verbindung; einer Verbindung, die quasi von der Logik vorgezeichnet ist und durch die Wirklichkeit nun nachgezogen werden kann. Es ist die Möglichkeit, aufgefaßt als eine schattenhafte Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der Auffassung von “(∃x). fx” als Ausdruck der Möglichkeit von fx zusammen.
     “f und F sind gleichzahlig” (ich werde dies schreiben “S(f,F)”, oder auch einfach “S”) soll ja aus “f5 & F5” folgen; aber aus f5 & F5 folgt nicht, daß f und F durch eine 1—1 Relation R verbunden sind (dies werde ich “P(f,F)” oder “P” schreiben). Man hilft sich, indem man sagt, es bestehe dann eine Relation der Art “x=a & y=b .⌵. x=c & y=d .⌵. u.s.w.”.

     


gleichgesetzt werden. (Und man kann dann nur sagen: Wenn in Deiner| // einer // Notation S = P ist, dann bedeutet S nichts andres als P.)
     Es folgt zwar nicht P aus f5 & F5, wohl aber f5 & F5 aus P & f5.
P & f5 = P & f5 & F5 = P & F5

u.s.w..
Also kann man schreiben:
.
Und dies kann man dadurch ausdrücken, daß man sagt, die Gleichzahligkeit folge aus P. Und man kann auch die Regel geben P & S = P, die mit den Regeln, oder    der   Regel, B und der Regel A übereinstimmt.

     


     Die Regel “aus P folgt S” also P & S = P könnte man auch ganz gut weglassen: die Regel B tut denselben Dienst.
     Schreibt man S in der Form f0 & F0 .⌵. f1 & F1 . ⌵. f2 & F2 .⌵. .⌵. …ad inf., so kann man mit grammatischen Regeln, die der gewohnten Sprache entsprechen, leicht P & S = P ableiten. Denn
      (f0 & F0 .⌵. f1 & F1 etc. ad inf.) & P = f0 & F0 & P .⌵. f1 & F1 & P .⌵. .⌵. etc. ad inf. = f0 & P .⌵. f1 & P .⌵. f2 & P .⌵. etc. ad inf. = = P & (f0 ⌵ f1 ⌵ f2 ⌵ etc. ad inf.) = P. Der Satz
“ f0 ⌵ f1 ⌵ f2 ⌵ etc. ad inf.” muß als Tautologie behandelt werden.


     

     
     
Man kann den Begriff der Gleichzahligkeit so auffassen, daß es keinen Sinn hat, von zwei Gruppen von Punkten Gleichzahligkeit oder das Gegenteil auszusagen, wenn es sich nicht um zwei Reihen handelt, deren eine zum mindesten einem Teil der andern 1—1 zugeordnet ist. Zwischen solchen Reihen kann dann nur von einseitiger oder gegenseitiger Inklusion| // Einschließung // die Rede sein. Und diese hat eigentlich mit besondern Zahlen so wenig zu tun, wie die Längengleichheit oder Ungleichheit im Gesichtsraum mit Maßzahlen. Die Verbindung mit den Zahlen    kann   gemacht werden, muß aber nicht gemacht werden. Wird die Verbindung mit der Zahlenreihe gemacht, so wird die Beziehung der gegenseitigen Inklusion oder Längengleichheit der Reihen zur Beziehung der Zahlengleichheit. Aber nun folgt nicht nur F5 aus P & f5 sondern auch P aus f5 & F5. Das heißt, hier ist S = P.

     


Mathematischer Beweis


     


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Wenn ich sonst etwas suche, so kann ich das Finden beschreiben, auch wenn es nicht eingetreten ist; anders, wenn ich die Lösung eines mathematischen Problems suche.
Mathematische Expedition & Polarexpedition.






     


     Der Begriff der Primzahl ist das allgemeine Gesetz, wonach ich prüfe, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht.




     

     Wie konnte man nach der Statistik    das   vermuten, was dann der Beweis zeigte?

     


     Wo soll aus dem Beweis dieselbe Allgemeinheit hervorspringen, die die früheren Versuche wahrscheinlich machten?


     

     Ich hatte die Allgemeinheit vermutet, ohne den Beweis zu vermuten (nehme ich an) und nun beweist der Beweis gerade die Allgemeinheit, die ich vermutete!?

     


die läßt sich aussprechen — daß, wenn er mit dieser Untersuchung fortfährt, er solange er lebt keinen widersprechenden Fall antreffen werde. Angenommen, es werde nun ein Beweis des Satzes gefunden, — beweist der dann auch die Vermutung des Mannes? Wie ist das möglich?







     


     Sofern man die Unmöglichkeit der 3-Teilung als eine physische Unmöglichkeit darstellen kann, indem man z.B. sagt: “versuch' nicht, den Winkel in 3 gleiche Teile zu teilen, es ist hoffnungslos!”, insofern beweist der “Beweis der Unmöglichkeit” diese    nicht  . Daß es    hoffnungslos   ist, die Teilung zu versuchen, das hängt mit physikalischen Tatsachen zusammen.

     


     Denken wir uns, jemand stellte sich folgendes| // dieses // Problem: Es ist ein Spiel zu erfinden: das Spiel soll auf einem Schachbrett gespielt werden; jeder Spieler soll 8 Steine haben; von den weißen Steinen sollen 2 (die “Konsulen”), die an den Enden der Anfangsposition stehen, durch die Regeln irgendwie ausgezeichnet sein; sie sollen eine größere Bewegungsfreiheit haben als die andern; von den schwarzen Steinen soll einer (der “Feldherr”) ein ausgezeichneter sein; ein weißer Stein nimmt einen schwarzen (und umgekehrt), indem er sich an dessen Stelle setzt; das ganze Spiel soll eine gewisse Analogie mit den Punischen Kriegen haben. Das sind die Bedingungen, denen das Spiel zu genügen hat. — Das ist gewiß eine Aufgabe, und eine Aufgabe ganz andrer Art, als die, herauszufinden, wie Weiß im Schachspiel unter gewissen Bedingungen gewinnen könne. — Denken wir uns nun aber die Frage| // das Problem//: “Wie kann Weiß in unserm| dem Kriegsspiel, dessen Regeln wir noch nicht genau kennen, in 20 Zügen gewinnen?” — Dieses Problem wäre ganz analog den Problemen der Mathematik (nicht ihren Rechenaufgaben).











     


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Beweis, & Wahrheit & Falschheit eines mathematischen Satzes.

     


     Der bewiesene mathematische Satz hat in seiner Grammatik zur Wahrheit hin ein Übergewicht. Ich kann, um den Sinn von 25 × 25 = 625 zu verstehen, fragen: wie wird dieser Satz bewiesen. Aber ich kann nicht fragen: wie wird — oder würde — sein Gegenteil bewiesen; denn es hat keinen Sinn, vom Beweis des Gegenteils von 25 × 25 = 625 zu reden. Will ich also eine Frage stellen, die von der Wahrheit des Satzes unabhängig ist, so muß ich von der    Kontrolle   seiner Wahrheit, nicht von ihrem Beweis, oder Gegenbeweis, reden. Die Methode der Kontrolle entspricht dem, was man den Sinn des mathematischen Satzes nennen kann. Die Beschreibung dieser Methode ist allgemein und bezieht sich auf ein System von Sätzen, etwa den Sätzen der Form a × b = c.

     


     Man kann nicht sagen: “ich werde ausrechnen,    daß   es so ist”, sondern “   ob   es so ist”. Also, ob    so  , oder anders.

     


     Die Methode der Kontrolle der Wahrheit entspricht dem Sinn des mathematischen Satzes. Kann von so einer Kontrolle nicht die Rede sein, dann bricht die Analogie der “mathematischen Sätze” mit dem, was wir sonst Satz nennen, zusammen. So gibt es eine Kontrolle für die Sätze der Form “(∃ k)
n
m
…” und “non(∃ k)
n
m
…”, die sich auf Intervalle beziehen.

     



     Denken wir nun an die Frage: “hat die Gleichung x² + ax + b = 0 eine reelle Lösung”. Hier gibt es wieder eine Kontrolle und die Kontrolle scheidet zwischen den Fällen (∃…) etc. und non(∃…) etc.. Kann ich aber in demselben Sinne auch fragen und kontrollieren “ob die Gleichung eine Lösung hat”? es sei denn, daß ich diesen Fall wieder mit andern in ein System bringe.


     

     (In Wirklichkeit konstruiert der “Beweis des Hauptsatzes der Algebra” eine neue Art von Zahlen.)

     



     Der “Satz der Mathematik”, welcher durch eine Induktion bewiesen ist —, so aber, daß man nach dieser Induktion nicht in einem System von Kontrollen suchen| // fragen // kann, — ist nicht ‘Satz’ in dem Sinne, in welchem es die Antwort auf eine mathematische Frage ist.
     “Jede Gleichung G hat eine Wurzel”. Und wie, wenn sie keine hat? können wir diesen Fall beschreiben, wie den, daß sie keine rationale Lösung hat? Was ist das Kriterium dafür, daß eine Gleichung keine Lösung hat? Denn dieses Kriterium muß gegeben sein| // werden//, wenn die mathematische    Frage   einen Sinn haben soll und wenn das, was die Form eines Existenzsatzes hat, “Satz” im Sinne der Antwort auf eine Frage sein soll.| // und wenn der Existenzsatz Antwort auf eine Frage sein soll.//
     (Worin besteht die Beschreibung des Gegenteils; worauf stützt sie sich; auf welche Beispiele, und wie sind diese Beispiele mit einem besonderen Fall des bewiesenen Gegenteils verwandt? Diese Fragen sind nicht etwa nebensächlich, sondern absolut wesentlich.)
     (Die Philosophie der Mathematik besteht in einer genauen Untersuchung der mathematischen Beweise — nicht darin, daß man die Mathematik mit einem Dunst umgibt.)

     



     Gleichungen sind eine Art von Zahlen. (D.h. sie können den Zahlen ähnlich behandelt werden.)

     


     Wenn in den Diskussionen über die Beweisbarkeit der mathematischen Sätze gesagt wird, es gäbe wesentlich Sätze der Mathematik, deren Wahrheit oder Falschheit unentschieden bleiben müsse, so bedenken| // wissen//, die es sagen, nicht, daß solche Sätze,    wenn   wir sie gebrauchen können und “Sätze” nennen wollen, ganz andere Gebilde sind, als was sonst “Satz” genannt wird: denn der Beweis ändert die Grammatik des Satzes. Man kann wohl ein und dasselbe Brett einmal als Windfahne, ein andermal als Wegweiser verwenden; aber das feststehende nicht als Windfahne und das bewegliche nicht als Wegweiser. Wollte jemand sagen “es gibt auch bewegliche Wegweiser”, so würde ich ihm antworten: “Du willst wohl sagen, ‘es gibt auch bewegliche    Bretter  ’; und ich sage nicht, daß das bewegliche Brett unmöglich irgendwie verwendet werden kann, — nur nicht als Wegweiser”.
     Das Wort “Satz”, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben soll, ist äquivalent einem Kalkül und zwar jedenfalls den, in welchem p.⌵. ~…p = Taut. ist (das “Gesetz des ausgeschlossenen Dritten” gilt). Soll es nicht

gelten, so haben wir den Begriff des Satzes geändert. Aber wir haben damit keine Entdeckung gemacht (etwas gefunden, das ein Satz ist, und dem und dem Gesetz nicht gehorcht); sondern eine neue Festsetzung getroffen, ein neues Spiel angegeben.

     


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     Wenn Du wissen willst, was bewiesen wurde, schau den Beweis an.







     


     Wenn Du wissen willst, was der Ausdruck “Stetigkeit einer Funktion” bedeutet, schau' den Beweis der Stetigkeit an; der wird ja zeigen, was er beweist. Aber sieh nicht das Resultat an, wie es in Prosa hingeschrieben| // ausgedrückt // ist und auch nicht, wie es in der Russellschen Notation lautet, die ja bloß eine Übersetzung des Prosaausdrucks ist; sondern richte Deinen Blick dorthin, wo im Beweis noch gerechnet wird. Denn der Wortausdruck des angeblich bewiesenen Satzes ist meist irreführend, denn er verschleiert das eigentliche Ziel des Beweises, das in diesem mit voller Klarheit zu sehen ist.

     


     “Wird die Gleichung von irgend welchen Zahlen befriedigt?”; “sie wird von Zahlen befriedigt”; “sie wird von allen Zahlen (von keiner Zahl) befriedigt”. Hat Dein Kalkül Beweise? und welche? daraus erst wird man den Sinn dieser Sätze und Fragen entnehmen können. '


     


     Wir werden uns zuerst fragen müssen: Ist der mathematische Satz bewiesen? und wie? Denn der Beweis gehört zur Grammatik des Satzes! — Daß das so oft nicht eingesehen wird, kommt daher, daß wir hier wieder auf der Bahn einer uns irreführenden Analogie denken. Es ist, wie gewöhnlich in diesen Fällen, eine Analogie aus unserm naturwissenschaftlichen Denken. Wir sagen z.B. “dieser Mann ist vor 2 Stunden gestorben”, und wenn man uns fragt “wie läßt sich das feststellen”, so können wir eine Reihe von Anzeigen (Symptomen) dafür angeben. Wir lassen aber auch die Möglichkeit dafür offen, daß etwa die Medizin bis jetzt unbekannte Methoden entdeckt, die Zeit des Todes festzustellen und das heißt: Wir können solche mögliche Methoden auch jetzt schon beschreiben, denn nicht ihre Beschreibung wird entdeckt, sondern, es wird nur experimentell festgestellt, ob die Beschreibung den Tatsachen entspricht. So kann ich z.B. sagen: eine Methode besteht darin, die Quantität des Hämoglobins im Blut zu finden, denn diese nehme mit der Zeit nach dem Tode, nach dem und dem Gesetz, ab. Das stimmt natürlich nicht, aber, wenn es stimmte, so würde sich dadurch an der von mir erdichteten Beschreibung nichts ändern. Nennt man nun die medizinische Entdeckung “die Entdeckung eines Beweises dafür, daß der Mann vor 2 Stunden gestorben ist”, so muß man sagen, daß diese Entdeckung an der Grammatik des Satzes “der Mann ist vor 2 Stunden gestorben”, nichts ändert. Die Entdeckung ist die Entdeckung, daß eine bestimmte Hypothese wahr ist (oder: mit den Tatsachen übereinstimmt). Diese Denkweise sind wir nun so gewöhnt, daß wir den Fall der Entdeckung eines Beweises in der Mathematik unbesehen für den gleichen oder einen ähnlichen halten. Mit Unrecht: denn,

kurz gesagt, den mathematischen Beweis konnte man nicht beschreiben, ehe er gefunden war.
     Der ‘medizinische Beweis’ hat die Hypothese, die er bewiesen hat, nicht in einen neuen Kalkül eingegliedert und ihm also keinen neuen Sinn gegeben; der mathematische Beweis gliedert den mathematischen Satz in einen neuen Kalkül ein, er verändert seine Stellung in der Mathematik. Der Satz mit seinem Beweis gehört einer andern Kategorie an, als der Satz ohne den Beweis. (Der unbewiesene mathematische Satz — Wegweiser der mathematischen Forschung, Anregung zu mathematischen Konstruktionen.)

     


     Sind die Variablen von derselben Art in den Gleichungen:
      x² + y² + 2xy = (x+y)²
      x² + 3x + 2 = 0
      x² + ax + b = 0
      x² + xy + z = 0?
Das kommt auf die Verwendung dieser Gleichungen an. — Aber der Unterschied zwischen No1 und No2 (wie sie gewöhnlich gebraucht werden) ist nicht einer der Extension der Worte, die sich befriedigen. Wie beweist Du den Satz “No1 gilt für alle Werte von x und y” und wie den Satz “es gibt Werte von x, die No2 befriedigen”? So viel Analogie in diesen Beweisen ist, soviel Analogie ist im Sinn der beiden Sätze.

     


     Aber kann ich nicht von einer Gleichung sagen: “Ich weiß, sie stimmt für einige Substitutionen nicht — ich erinnere mich nicht, für    welche   —; ob sie aber allgemein nicht stimmt, das weiß ich nicht”? — Aber was meinst Du damit, wenn Du sagst, Du weißt das? Wie weißt Du es? Hinter den Worten “ich weiß …” ist ja nicht ein bestimmter Geisteszustand, der der Sinn dieser Worte wäre. Was kannst Du mit diesem Wissen anfangen? denn das wird zeigen, worin dieses Wissen besteht. Kennst Du eine Methode, um festzustellen, daß die Gleichung allgemein ungültig ist? Erinnerst Du Dich daran, daß die Gleichung für einige Werte von x zwischen 0 und 1000 nicht stimmt? Hat Dir jemand bloß die Gleichung gezeigt und gesagt, er habe Werte für x gefunden, die die Gleichung nicht befriedigen, und weißt Du vielleicht selbst nicht, wie man dies für einen gegebenen Wert konstatiert? etc. etc..

     


     “Ich habe ausgerechnet, daß es keine Zahl gibt, welche …”. — In welchem Rechnungssystem kommt diese Rechnung vor? — Dies wird uns zeigen, in welchem Satzsystem der errechnete Satz ist. (Man fragt auch: “wie rechnet man    so etwas   aus?”)


     

     “Ich habe gefunden, daß es so eine| // eine solche // Zahl gibt”.
     “Ich habe ausgerechnet, daß es keine solche Zahl gibt”.
     Im ersten Satz darf ich nicht “keine” statt “eine” einsetzen. — Und wie, wenn ich im zweiten statt “keine” “eine” setze? Nehmen wir an, die| // eine // Rechnung ergibt nicht den Satz“ non(∃n)etc.”, sondern “ (∃n)etc.”. Hat es dann etwa Sinn zu sagen: “nur Mut! jetzt mußt Du    einmal   auf eine solche Zahl kommen, wenn Du nur lang genug probierst”?    Das   hat nur Sinn, wenn der Beweis nicht “(∃n)etc.” ergeben, sondern dem Probieren Grenzen gesteckt hat, also etwas ganz anderes geleistet hat. D.h., das, was wir den Existenzsatz nennen, der uns eine Zahl suchen lehrt, hat zum Gegenteil nicht den Satz “(n).etc.”, sondern einen Satz, der sagt, daß in dem und dem Intervall keine Zahl ist, die …. Was ist das Gegenteil des Bewiesenen? — Dazu muß man auf den Beweis schauen. Man kann sagen: das Gegenteil des bewiesenen Satzes ist das, was statt seiner durch einen bestimmten Rechnungsfehler im Beweis bewiesen worden wäre. Wenn nun z.B. der Beweis, daß non(∃n).etc. der Fall ist, eine Induktion ist die zeigt, daß, soweit ich auch gehe, eine solche Zahl nicht vorkommen kann, so ist das Gegenteil dieses Beweises (ich will einmal diesen Ausdruck gebrauchen) nicht der Existenzbeweis in unserem Sinne. — Es ist hier nicht, wie im Fall des Beweises, daß keine oder eine der Zahlen a, b, c, d die Eigenschaft P hat; und diesen

Fall hat man immer als Vorbild vor Augen. Hier könnte ein Irrtum darin bestehen, daß ich glaube c hätte die Eigenschaft und, nachdem ich den Irrtum eingesehen hätte, wüßte ich, daß    keine   der Zahlen die Eigenschaft hat. Die Analogie bricht eben hier zusammen.
     (Das hängt damit zusammen, daß ich nicht in jedem Kalkül, in dem ich Gleichungen gebrauchen, eo ipso auch die Verneinungen von Gleichungen gebrauchen darf. Denn 2 × 3 ≠ 7 heißt nicht, daß die Gleichung “2 × 3 = 7” nicht vorkommen soll, wie etwa die Gleichung “2 × 3 = Sinus”, sondern die Verneinung ist eine Ausschließung innerhalb eines von vornherein bestimmten Systems. Eine Definition kann ich nicht verneinen, wie eine nach Regeln abgeleitete Gleichung.)
     Sagt man, das Intervall im Existenzbeweis sei nicht wesentlich, da ein andres Intervall es auch getan hätte, so heißt das natürlich nicht, daß das Fehlen einer Intervallangabe es auch getan hätte. — Der Beweis der Nichtexistenz hat zum Beweis der Existenz nicht das Verhältnis eines Beweises von p zum Beweis des Gegenteils.
     Man sollte glauben, in dem Beweis des Gegenteils von “(∃n).etc.” müßte sich eine Negation einschleichen| // verirren // können, durch die irrtümlicherweise “non(∃n)etc.” bewiesen wird.
     Gehen wir doch einmal, umgekehrt, von den Beweisen aus und nehmen wir an, sie wären uns ursprünglich gezeigt worden und man hätte uns dann gefragt: was beweisen diese Rechnungen? Sieh auf die Beweise und entscheide    dann  , was sie beweisen.



     



     “Jeder Existenzbeweis muß eine Konstruktion dessen enthalten, dessen Existenz er beweist”. Man kann nur sagen “ich nenne ‘Existenzbeweis’ nur einen, der eine solche Konstruktion enthält”. Der Fehler ist| // liegt darin//, daß man glaubt| // vorgibt // einen klaren    Begriff   des Existenzbeweises| // der Existenz // zu besitzen.
     Man glaubt, ein Etwas, die Existenz, beweisen zu können, sodaß man nun    unabhängig vom Beweis   von ihr überzeugt ist. (Die Idee der, voneinander — und daher wohl auch vom Bewiesenen — unabhängigen Beweise!) In Wirklichkeit ist Existenz das, was man mit    dem   beweist, was man “Existenzbeweis” nennt. Wenn die Intuitionisten und Andere darüber reden, so sagen sie: “Dieser Sachverhalt, die Existenz, kann man nur so, und nicht so, beweisen”. Und sehen nicht, daß sie damit einfach das definiert

haben, was    sie   Existenz nennen. Denn die Sache verhält sich eben nicht so, wie wenn man sagt: “daß ein Mann in dem Zimmer ist, kann man nur dadurch beweisen, daß man hineinschaut, aber nicht, indem man an der Türe horcht”.



     


     Warum ich sage, daß wir einen Satz, wie den Hauptsatz der Algebra, nicht finden, sondern konstruieren? — Weil wir ihm beim Beweis einen neuen Sinn geben, den er früher gar nicht gehabt hat. Für diesen Sinn gab es vor dem sogenannten Beweis nur eine beiläufige Vorlage in der Wortsprache.

     


     Denken wir, Einer würde sagen: das Schachspiel mußte nur    entdeckt   werden, es war immer da! Oder das    reine   Schachspiel war immer da, nur das materielle, von Materie verunreinigte, haben wir gemacht.

     


     Wenn durch Entdeckungen ein Kalkül der Mathematik geändert wird, — können wir den alten Kalkül nicht behalten (auf-

heben)? (D.h., müssen wir ihn wegwerfen?) Das ist ein sehr interessanter Aspekt. Wir haben nach der Entdeckung des Nordpols nicht zwei Erden: eine mit, und eine ohne den Nordpol. Aber nach der Entdeckung des Gesetzes der Verteilung der Primzahlen, zwei Arten von Primzahlen.

     


     Die mathematische Frage muß so exakt sein, wie der mathematische Satz. Wie irreführend die Ausdrucksweise der Wortsprache den Sinn der mathematischen Sätze darstellt, sieht man, wenn man sich die Multiplizität eines mathematischen Beweises vor Augen stellt| // führt // und bedenkt, daß der Beweis zum    Sinn   des bewiesenen Satzes gehört, d.h. den Sinn bestimmt. Also nicht etwas ist, was bewirkt, daß wir einen bestimmten Satz glauben, sondern etwas, was uns zeigt,    was   wir glauben, — wenn hier von glauben eine Rede sein kann. Begriffswörter in der Mathematik:

Primzahl, Kardinalzahl, etc.. Es scheint darum unmittelbar Sinn zu haben, wenn gefragt wird: “Wieviel Primzahlen gibt es?” (“Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hört, …”.) In Wirklichkeit ist diese Wortzusammenstellung einstweilen Unsinn; bis für sie eine besondere Syntax gegeben wurde. Sieh' den Beweis dafür an, “daß es unendlich viele Primzahlen gibt” und dann die Frage, die er zu beantworten scheint. Das Resultat eines intrikaten Beweises kann nur insofern einen einfachen Wortausdruck haben, als das System von Ausdrücken, dem dieser Ausdruck angehört, in seiner Multiplizität einem System solcher Beweise entspricht. — Die Konfusionen in diesen Dingen sind ganz darauf zurückzuführen, daß man die Mathematik als eine Art Naturwissenschaft behandelt. Und das wieder hängt damit zusammen, daß sich die Mathematik von der Naturwissenschaft abgelöst hat. Denn, solange sie in unmittelbarer Verbindung mit der Physik betrieben wird, ist es klar, daß    sie   keine Naturwissenschaft ist. (Etwa, wie man einen Besen nicht für eine Einrichtungsstück des Zimmers halten kann, solange man ihn dazu benützt, die Einrichtungsgegenstände zu säubern.)



     


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Das mathematische Problem.
Arten der Probleme.
Suchen.
“Aufgaben” in der Mathematik.


     


     Wo man fragen kann, kann man auch suchen, und wo man nicht suchen kann, kann man auch nicht fragen. Und auch nicht antworten.

     


      Wo es keine Methode des Suchens gibt, da kann auch die Frage keinen Sinn haben. — Nur wo eine Methode der Lösung ist, ist eine Frage (d.h. natürlich nicht: “nur wo die Lösung gefunden ist, ist eine Frage”). — D.h.: dort wo die Lösung des Problems nur von einer Art Offenbarung erwartet werden kann, ist auch keine Frage. Einer Offenbarung entspricht keine Frage. — Diese Sätze sind Erklärungen eines Gebrauches| // einer Art des Gebrauches// der Worte “Frage”, . (Frage nach der Erfahrung eines “sechsten” Sinnes, den wir nicht haben. Suchen nach einer neuen Sinneserfahrung.)

     



      Der Fermatschen Satz hat keinen strengen Sinn, solange ich nach der Auflösung der Gleichung durch Kardinalzahlen nicht    suchen   kann. Und “suchen” heißt: systematisch suchen. Es ist kein Suchen, wenn ich im unendlichen Raum nach einem Gegenstand umherirre. — An unserer Schwierigkeit ist natürlich die falsche Auffassung der Variablen schuld: die Auffassung, als    verträte   die Variable Zahlen (und zwar einer Klasse, Liste, von Zahlen), während sie nichts vertritt, sondern ist, was sie ist. Verträte sie Zahlen, dann brauchte allerdings nur 5³+ 7³ = 9³ Sinn zu haben und der Sinn der allgemeinen Sätze über die Form x3+ y3 = z3 folgte daraus. Aber, da die Variable autonom ist, so hat der Satz, in welchem sie vorkommt, erst dann Sinn, wenn er nach seinem eigenen Prinzipien kontrollierbar ist, wie die Zahlengleichung nach dem ihrigen|ihren.

     


     Die Annahme der Unentscheidbarkeit setzt voraus, daß zwischen den beiden Seiten einer Gleichung, sozusagen, eine unterirdische Verbindung besteht; daß die Brücke nicht in Symbolen geschlagen werden kann. Aber dennoch besteht; denn sonst wäre die Gleichung sinnlos. — Aber die Verbindung besteht nur, wenn    wir   sie durch Symbole| // einen Kalkül // gemacht haben. Der Übergang ist nicht durch eine dunkle Spekulation hergestellt, von andrer Art als das was er verbindet. (Wie ein dunkler Gang zwischen zwei lichten Orten.)

     


     Ich kann den Ausdruck “die Gleichung G ergibt die Lösung L” nicht eindeutig anwenden, solange ich keine Methode der Lösung besitze; weil “ergibt” eine Struktur bedeutet, die ich, ohne sie zu kennen, nicht bezeichnen kann. Denn das heißt das Wort “ergibt” zu verwenden, ohne seine Grammatik zu kennen. Ich könnte aber auch sagen: Das Wort “ergibt” hat andere Bedeutung, wenn ich es so verwende, daß es sich auf eine Methode der Lösung bezieht, und eine andere, wenn dies nicht der Fall ist. Es verhält sich hier mit “ergibt” ähnlich, wie mit dem Wort “gewinnen” (oder “verlieren”), wenn das Kriterium des “Gewinnens” einmal ein bestimmter Verlauf der Partie ist (hier muß ich die Spielregeln kennen, um sagen zu können, ob Einer gewonnen hat), oder ob ich mit “gewinnen” etwas meine, was sich etwa| // beiläufig // durch “zahlen müssen” ausdrücken ließe.
     Wenn wir “ergibt” im ersten Sinne| // in der ersten Bedeutung // anwenden, so heißt “die Gleichung ergibt L”; wenn ich die Gleichung nach gewissen Regeln transformiere, so erhalte ich L. So wie die Gleichung 25 × 25 = 620 besagt, daß ich 620 erhalte, wenn ich auf 25 × 25 die Multiplikationsregeln anwende. Aber diese Regeln müssen mir nun| // hier // schon gegeben sein, ehe das Wort “ergibt” Bedeutung hat, und ehe die Frage einen Sinn hat, ob die Gleichung L ergibt.

     


     Es genügt also nicht zu sagen “p ist beweisbar”, sondern es muß heißen: beweisbar nach einem bestimmten System.
     Und zwar behauptet der Satz nicht, p sei beweisbar nach dem System S, sondern nach    seinem   System, dem System von p. Daß p dem System S angehört, das läßt sich nicht behaupten (das muß sich zeigen). — Man kann nicht sagen, p gehört zum System S; man kann nicht fragen, zu welchem System p gehört; man kann nicht das System von p suchen. “p verstehen” heißt, sein System kennen. Tritt p scheinbar von einem System in das andere über, so hat in Wirklichkeit p seinen Sinn gewechselt.

     


     Es ist unmöglich, Entdeckungen neuartiger Regeln zu machen, die von einer uns bekannten Form (etwa dem Sinus eines Winkels) gelten. Sind es neue Regeln, so ist es nicht die alte Form.

     


     Kenne ich die Regeln der elementaren Trigonometrie, so kann ich den Satz sin 2x = 2 sin x.cos x kontrollieren, aber nicht den Satz sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - …. Das heißt aber, daß der Sinus

der elementaren Trigonometrie und der Sinus der höheren Trigonometrie verschiedene Begriffe sind.
     Die beiden Sätze stehen gleichsam auf zwei verschiedenen Ebenen. In der ersten kann ich mich bewegen, soweit ich will, ich werde nie zu dem Satz auf der höheren Ebene kommen.
     Der Schüler, dem das Rüstzeug der elementaren Trigonometrie zur Verfügung stünde und von dem die Überprüfung der Gleichung sin x = x - x³/3!… verlangt würde, fände das, was er zur Bewältigung dieser Aufgabe braucht, eben nicht vor. Er kann die Frage nicht nur nicht beantworten, sondern er kann sie auch nicht verstehen. (Sie wäre wie die Aufgabe, die der Fürst im Märchen dem Schmied stellt: ihm einen “Klamank” zu bringen. Busch, Volksmärchen.)




     

     Im Falle 25×16 = 370 nun, schreibt der Kalkül, den wir benützen, jeden Schritt zur Prüfung dieser Gleichung vor.


     


     Man könnte erklären| // festlegen//: “Was man anfassen kann, ist ein Problem. — Nur wo ein Problem sein kann, kann etwas behauptet werden.”

     


     Würde denn aus dem Allen nicht das Paradox folgen: daß es in der Mathematik keine schweren Probleme gibt; weil, was schwer ist, kein Problem ist? Was folgt, ist, daß das “schwere mathematische Problem”, d.h. das Problem der mathematischen Forschung, zur Aufgabe “ 25 × 25 = ?”

nicht in dem Verhältnis steht, wie etwa ein akrobatisches Kunststück zu einem einfachen Purzelbaum (also einfach in dem Verhältnis: sehr leicht zu sehr schwer), sondern daß es ‘Probleme’ in verschiedenen Bedeutungen des Wortes sind.

     


     “Ich weiß, daß es für diese Aufgabe eine Lösung gibt, obwohl ich die Lösung| // Art der Lösung // noch nicht habe”. — In welchem Symbolismus    weiß   ich es?| // weißt Du es? //


     

     “Ich weiß, daß es da ein Gesetz geben muß”. Ist dieses Wissen ein
     
amorphes, das Aussprechen des Satzes begleitendes Gefühl? Dann interessiert es uns nicht. Und ist es ein symbolischer Prozeß — nun, dann ist die Aufgabe, ihn in einem klaren| // offenbaren // Symbolismus auszudrücken| darzustellen.

     


     Was heißt es: den Goldbachschen Satz    glauben  ? Worin besteht dieser Glaube? In einem Gefühl der Sicherheit, wenn wir den Satz aussprechen, oder hören? Das interessiert uns nicht. Ich weiß ja auch nicht, wie weit dieses Gefühl durch den Satz selbst hervorgerufen sein mag. Wie greift der Glaube in diesen Satz ein? Sehen wir nach, welche Konsequenzen er hat, wozu er uns bringt. “Er bringt mich zum Suchen nach einem Beweis dieses Satzes”. — Gut, jetzt sehen wir noch nach, worin Dein Suchen eigentlich besteht; dann werden wir wissen, ?—wie es sich mit Deinem Glauben an den Satz verhält.| // …was es mit dem Glauben an den Satz auf sich hat.—?//

     


      Man darf nicht an einem Unterschied der Formen vorbeigehen — wie man wohl an einem Unterschied zwischen Anzügen vorbeigehen kann, wenn er etwa sehr gering ist.
      In gewissem Sinne gibt es für uns — nämlich in der Grammatik — nicht ‘geringe Unterschiede’. Und überhaupt bedeutet ja das Wort Unterschied etwas ganz anderes, als dort wo es sich um einen Unterschied zweier Dinge| // Sachen // handelt.

     


     Der Philosoph spürt Wechsel im Stil seiner Ableitung, an denen der Mathematiker von heute, mit seinem stumpfen Gesicht ruhig vorübergeht. — Eine höhere Sensitivität ist es eigentlich, was den Mathema-

tikern der Zukunft von dem heutigen unterscheiden wird; und    die   wird die Mathematik — gleichsam — stutzen; weil man dann mehr auf die absolute Klarheit, als auf ein| das Erfinden neuer Spiele bedacht sein wird.

     


     Die philosophische Klarheit wird auf das Wachstum der Mathematik den gleichen Einfluß haben, wie das Sonnenlicht auf das Wachsen der Kartoffeltriebe. (Im dunklen| dunkeln Keller wachsen sie meterlang.)

     


     Den Mathematiker muß es bei meinen mathematischen Ausführungen grausen, denn seine Schulung hat ihn immer davon abgelenkt, sich Gedanken und Zweifeln, wie ich sie aufrolle, hinzugeben. Er hat sie als etwas Verächtliches ansehen lernen und hat, um eine Analogie aus der Psychoanalyse (dieser Absatz erinnert an Freud) zu gebrauchen, einen Ekel vor diesen Dingen erhalten, wie vor etwas Infantilem. D.h., ich rolle alle jene Probleme auf, die etwa ein Knabe| // Kind // beim Lernen der Arithmetik, etc. als Schwierigkeiten empfindet und die der Unterricht unterdrückt, ohne sie zu lösen. Ich sage also zu diesen unterdrückten Zweifeln: ihr habt ganz recht, fragt nur, und verlangt nach Aufklärung!

     


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Eulerscher Beweis




     


das heißt: ich habe ja gar keinen Begriff der Primzahl, der Beweis hat mir keinen gegeben. Ich könnte nur beliebige Zahlen (bzw. Reihen) hinzufügen.


     

     (“Es    muß   noch eine Primzahl| solche Zahl kommen” heißt in der Mathematik nichts. Das hängt unmittelbar damit zusammen, daß es “in der Logik nichts Allgemeineres und Spezielleres gibt”.)






     


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Dreiteilung des Winkels,
etc.


     


     Man könnte sagen: In der Geometrie der euklidischen Ebene kann man nach der 3-Teilung des Winkels nicht suchen, weil es sie nicht gibt — und nach der 2-Teilung nicht, weil es sie gibt.


     

     In der Welt der euklidischen Elemente kann ich ebensowenig nach der 3-Teilung des Winkels fragen, wie ich nach ihr suchen kann. Es ist von ihr einfach nicht die Rede.

     


     (Ich kann der Aufgabe der 3-Teilung des Winkels in einem größern System ihren Platz bestimmten (daher Geometrie nach der Möglichkeit der 3-Teilung fragen), aber nicht im System der Eukli-

dischen Geometrie nach der Möglichkeit der 3-Teilung fragen| // nach ihrer Lösbarkeit fragen//| danach fragen, ob sie lösbar ist//. In welcher    Sprache   sollte ich denn danach fragen? in der euklidischen? — Und ebensowenig kann ich in der euklidischen Sprache nach der Möglichkeit der 2-Teilung des Winkels im euklidischen System fragen. Denn das würde in dieser Sprache auf eine Frage nach der Möglichkeit schlechthin hinauslaufen, welche immer Unsinn ist.)

     


     Wir müssen übrigens hier eine Unterscheidung zwischen gewissen Arten von Fragen machen, eine Unterscheidung, die wieder zeigt, daß, was wir in der Mathematik “Frage” nennen, von dem verschieden ist, was wir im alltäglichen Leben so nennen. Wir müssen unterscheiden zwischen einer Frage “wie teilt man den Winkel in 2 gleiche Teile” und der Frage “ist    diese   Konstruktion die Halbierung des Winkels”. Die Frage hat nur Sinn in einem Kalkül, der uns eine Methode zu ihrer Lösung gibt; nun kann uns ein Kalkül sehr wohl eine Methode zur Beantwortung der einen Frage geben, aber nicht zur Beantwortung der andern. Euklid z.B. lehrt uns nicht nach der Lösung seiner Probleme suchen, sondern gibt sie uns und beweist, daß es die Lösungen sind. Das ist aber keine psychologische oder pädagogische Angelegenheit, sondern eine mathematische. D.h. der    Kalkül   (den er uns gibt) ermöglicht es uns nicht

nach der Konstruktion zu suchen. Und ein Kalkül, der es ermöglicht, ist eben ein    anderer  . (Vergleiche auch Methoden des Integrierens mit denen des Differenzierens; etc..)


     


     Welcher Art ist der    Satz   “die 3-Teilung des Winkels mit Zirkel und Lineal ist unmöglich”? Doch wohl von derselben, wie: “in der Reihe der Winkelteilungen F(n) kommt keine F(3) vor, wie in der Reihe der Kombinationszahlen keine 4”. Aber welcher Art ist    dieser   Satz? Von der des Satzes: “in der Reihe der Kardinalzahlen kommt 1/2 nicht vor”. Das ist offenbar eine (überflüssige) Spielregel, etwa wie die: im Damespiel kommt keine Figur vor, die “König” genannt wird. Und die Frage, ob eine 3-Teilung möglich ist, ist dann die, ob es eine 3-Teilung im Spiel gibt, ob es eine Figur im Damespiel gibt, die “König” genannt wird, und etwa eine ähnliche Rolle spielt, wie der Schachkönig. Diese Frage wäre natürlich einfach durch eine Bestimmung zu beantworten, aber sie würde kein Problem, keine Rechenaufgabe stellen. Hätte also einen andern Sinn, als eine, deren Antwort lautete: ich werde ausrechnen, ob es so etwas gibt. (Etwa: “ich werde ausrechnen, ob es unter den Zahlen 5, 7, 18, 25, eine gibt, die durch 3 teilbar ist”.) Ist nun die Frage nach der Möglichkeit der 3-Teilung des Winkels von dieser Art? Ja, — wenn man im Kalkül ein allgemeines System hat, um, etwa, die Möglichkeit der n-Teilung zu berechnen.
     Warum nennt man    diesen   Beweis den Beweis    dieses   Satzes? Der Satz ist ja kein Name, sondern gehört (als Satz) einem Sprach-

system an: Wenn ich sagen kann “es gibt keine 3-Teilung”, so hat es Sinn zu sagen “es gibt keine 4-Teilung” etc. etc.. Und ist    dies   ein Beweis des ersten Satzes (ein Teil seiner Syntax), so muß es also entsprechende Beweise (oder Gegenbeweise) für die andern Sätze des Satzsystems geben, denn sonst gehören sie nicht zu demselben System.

     


     Ich kann nicht fragen, ob die 4 unter den Kombinationszahlen vorkommt, wenn dieses| das mein Zahlensystem ist. Und nicht, ob 1/2 unter den Kardinalzahlen vorkommt, oder zeigen, daß es nicht eine von ihnen ist, außer, wenn ich “Kardinalzahlen” einen Teil eines Systems nenne, welches auch 1/2 enthält. (Ebensowenig kann ich aber auch sagen oder beweisen, daß 3 eine der Kardinalzahlen ist.) Die Frage heißt vielmehr etwa so: “Geht die Division 1:2 in ganzen Zahlen aus”, und das läßt sich nur fragen in einem System, worin das Ausgehen und das Nichtausgehen vorkommt| // bekannt ist//. (Die    Ausrechnung   muß Sinn haben.)
     Bezeichnen wir mit “Kardinalzahlen” nicht einen Teil der rationalen Zahlen, so können wir nicht ausrechnen, ob 81:3 eine Kardinalzahl ist, sondern, ob die Division 81:3 ausgeht oder nicht.


     

     Statt des Problems der 3-Teilung des Winkels mit Lineal und Zirkel können wir nun ein ganz entsprechendes, aber viel übersichtlicheres, untersuchen. Es steht uns ja frei, die Möglichkeiten der Konstruktion mit Lineal und Zirkel weiter einzuschränken. So können wir z.B. die Bedingung setzen, daß sich die Öffnung des Zirkels nicht verändern läßt. Und wir können festsetzen, daß die einzige Konstruktion, die wir kennen — oder besser: die unser Kalkül kennt — diejenige ist, die man zur Halbierung einer Strecke AB benützt, nämlich:
     

     


Möglichkeit dieser Zusammenstellung fragen? — Aber dieses Paradox fände sich ja wieder, wenn man fragt: “ist 25 × 25 = 620?” — da es doch    logisch   unmöglich ist, daß diese Gleichung stimmt; ich kann ja nicht beschreiben, wie es wäre, wenn —. Ja, der Zweifel ob 25 × 25 = 620 (oder der, ob es = 625 ist) hat eben den Sinn, den die Methode der Prüfung ihm gibt. Und die Frage nach der Möglichkeit der 3-Teilung hat den Sinn, den die Methode der Prüfung ihr gibt. Es ist ganz richtig: wir stellen uns hier nicht vor, oder beschreiben, wie es ist, wenn 25 × 25 = 620 ist, und das heißt eben, daß wir es hier mit einer andern (logischen) Art von Frage zu tun haben, als etwa der: “ist diese Straße 620 oder 625m lang?”


     

     (Wir sprechen von einer “   Teilung des Kreises   in 7 Teile” und von einer Teilung des Kuchens in 7 Teile.)

     


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Suchen & Versuchen








     


Induktionsbeweis.
Periodizität.


     


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     Inwiefern beweist der Induktionsbeweis einen Satz?

     


     Ist der Induktionsbeweis ein Beweis von a+(b+c) = (a+b)+c, so muß man sagen können: die    Rechnung liefert  , daß

a+(b+c) = (a+b)+c ist (und kein anderes Resultat).
     Denn dann muß erst die Methode der Berechnung (allgemein) bekannt sein und, wie wir darauf 25×16 ausrechnen können, so auch a+(b+c). Es wird also erst eine allgemeine Regel zur Ausrechnung aller solcher Aufgaben gelehrt und danach die besondere gerechnet. — Welches ist aber hier die allgemeine Methode der Ausrechnung? Sie muß auf allgemeinen Zeichenregeln beruhen ( — etwa, wie? dem assoziativen Gesetz — ).

     


     Wenn ich a+(b+c) = (a+b)+c negiere, so hat das nur Sinn, wenn ich etwa sagen will: es ist nicht a+(b+c) = (a+b)+c, sondern = (a+2b)+c. Denn es fragt sich: was ist der Raum, in welchem ich den Satz negiere? wenn ich ihn abgrenze, ausschließe, — wovon?
     Die Kontrolle von 25 × 25 = 625 ist die Ausrechnung von 25 × 25, die Berechnung der rechten Seite; — kann ich nun a+(b+c) = (a+b)+c errechnen, das, Resultat (a+b)+c ausrechnen? Je nachdem man es als berechenbar oder unberechenbar betrachtet, ist es beweisbar oder nicht. Denn ist der Satz eine Regel, der jede Ausrechnung folgen muß, ein Paradigma, dann hat es keinen Sinn, von einer Ausrechnung der Gleichung zu reden; sowenig, wie von der einer Definition.

     



     Das, was die Ausrechnung möglich macht, ist das System, dem der Satz angehört und das auch die Rechenfehler bestimmt, ?— die sich bei der Ausrechnung machen lassen—?. Z.B. ist (a+b)² = a²+2ab +b² und nicht = a² + ab + b²; aber (a+b)² = -4 ist kein möglicher Rechenfehler in diesem System.

     


     Ich könnte ja auch ganz beiläufig (siehe andere Bemerkungen) sagen: “25 × 64 = 160, 64 × 25 = 160 das beweist, daß a × b = b × a ist” (und diese Redeweise ist nicht vielleicht lächerlich und falsch; sondern man muß sie nur recht deuten). Und man kann richtig daraus schließen; also läßt sich “a.b = b.a” in    einem   Sinne berechnen| // beweisen//.
     Und ich will sagen:    Nur   in dem Sinne, in welchem die Ausrechnung so eines Beispiels Beweis des algebraischen Satzes genannt werden kann, ist der Induktionsbeweis ein Beweis dieses Satzes. Nur insofern kontrolliert er den algebraischen Satz. (Er kontrolliert seine Struktur| // seinen Bau//, nicht seine Allgemeinheit.)

     


     (Die Philosophie prüft nicht die Kalküle der Mathematik, sondern nur, was die Mathematiker über diese Kalküle sagen.)

     


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Der rekursive Beweis & der Begriff des Satzes. Hat der Beweis einen Satz als wahr erwiesen & einen andern| sein Gegenteil als falsch?

     


     Hat der rekursive Beweis von a+(b+c) = (a+b)+c …A) eine Frage beantwortet? und welche? Hat er eine Behauptung als wahr erwiesen und also ihr Gegenteil als falsch?

     



     Das, was Skolem| man den rekursiven Beweis von A nennt, kann man so schreiben:

     In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz gar nicht vor. — Man müßte nur eine allgemeine Bestimmung machen| // treffen//, die den Übergang zu ihm erlaubt. Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:

Wenn 3 Gleichungen von der Form u, v, w bewiesen sind, so sagen wir, es sei “die Gleichung D für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucksform durch die erste. Sie zeigt, daß wir das Wort “beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend zu sagen, wir hätten die Gleichung D oder A bewiesen, und vielleicht besser zu sagen, wir hätten ihre Allgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das wieder in anderer Hinsicht irreführend ist.
     Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet, eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B: Ist|ist es die Gruppe der 3 Gleichungen von der Form u, v, w, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen    behaupten   ja etwas (und beweisen nichts in dem Sinne, in dem    sie   bewiesen werden). Die Beweise von u, v, w aber beantworten die Frage, ob diese 3 Gleichungen stimmen, und erweisen die Behauptung als wahr, daß sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle bedeuten: “gelten für die Funktionen
f(x) = a+(b+x), g(x) = (a+b)+x
Gleichungen u, v und w?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von u, v, w verstanden werden (bzw. die Festsetzung von u und die Beweise von v und w mittels u).
     Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis ausrechnet, daß die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht eine Bedingung der Art, wie sie etwa die Gleichung (a+b)² = a²+ 2ab + b² erfüllen muß, um “richtig” genannt zu werden. Nenne ich A “richtig”, weil sich Gleichungen von der Form u, v, w dafür beweisen lassen, so verwende ich jetzt das Wort “richtig” anders, als im Falle der Gleichungen u, v, w, oder (a+b)² = a² + 2ab + b².

     



     Was heißt “1:3 = 0,3∙”? heißt es dasselbe wie “”? — Oder ist diese Division der Beweis des ersten Satzes? D.h.: steht sie zu ihm im Verhältnis der Ausrechnung zum Bewiesenen?
     “1 : 3 = 0,3∙” ist nicht von der Art, wie
“1 : 2 = 0,5”; vielmehr entspricht
“” dem “” (aber nicht dem “”.)
Ich will einmal statt der Schreibweise “ 1 : 4 = 0,25” die gebrauchen| annehmen:
“” also z.B. “”
dann kann ich sagen, diesem Satz entspricht nicht der: 1 : 3 = 0,3∙, sondern z.B. der: “”. 0,3∙ ist nicht in dem Sinne Resultat (Quotient) der Division, wie 0,375. Denn die Zahl 0,375| // die Ziffer “ 0,375” // war uns vor der Division 3:8 bekannt; was aber bedeutet “0,3∙” losgelöst von der periodischen Division? — Die Behauptung,

daß die Division a:b als Quotienten 0,c∙ ergibt, ist dieselbe wie die: die erste Stelle des Quotienten sei c und der erste Rest gleich dem Dividenden.
     Nun steht B zur Behauptung, A gelte für alle Kardinalzahlen, im selben Verhältnis, wie zu 1 : 3 = 0,3∙


     


     Der Gegensatz zu der Behauptung “A gilt für alle Kardinalzahlen” ist nun: eine der Gleichungen u, v, w sei falsch. Und die entsprechende Frage sucht keine Entscheidung zwischen einem (x).fx und einem (∃x).non-fx.



     


     Man kann auch so sagen: Sofern man die Regel, in irgendeinem Spiel Dezimalbrüche zu bilden, die nur aus der Ziffer 3 bestehen, sofern man    diese Regel   als eine Art Zahl auffaßt, kann eine Division sie nicht zum Resultat haben, sondern nur das, was man periodische Division nennen kann und was die Form hat.

     


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Induktion, (x)·ϕx und (∃x)·ϕx. Inwiefern erweist die Induktion den allgemeinen Satz als wahr & einen Existentialsatz als falsch?

     


     
3 × 2 = 5 + 1

3 × (a + 1) = 3 + (3 × a) = (5 + b) + 3 = 5 + (b + 3)

Warum nennst Du denn diese Induktion den Beweis dafür, daß (n): n≥2 ·C· ·C· 3 × n ≠ 5?! — Nun, siehst Du denn nicht, daß der Satz, wenn er für n = 2 gilt, auch für n = 3 gilt, und dann auch für n = 4, und daß es immer so weiter geht? (Was erkläre ich denn, wenn ich das Funktionieren des induktiven Beweises erkläre?) Du nennst ihn also einen Beweis für “ f(2) & f(3) & f(4) & u.s.w.”, ist er aber nicht vielmehr die Form der Beweise für “ f(2)” und “f(3)” und “f(4)” u.s.w.? Oder kommt das auf    eins   hinaus? Nun, wenn ich die Induktion den Beweis    eines   Satzes nenne, dann darf ich es nur, wenn das nichts anderes heißen soll, als daß sie jeden Satz einer gewissen Form beweist. (Und mein Ausdruck bedient sich der Analogie vom Verhältnis der Sätze “alle Säuren färben Lackmuspapier rot”, “Schwefelsäure färbt Lackmuspapier rot”.)
     Denken wir nun, jemand sagte “prüfen wir nach, ob f(n) für alle n gilt” und nun fängt er an, die Reihe zu schreiben:
3 × 2 = 5 + 1

     3 × (2 + 1) = (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3 = 5 + (1 + 3)
     3 × (2 + 2) = (3 × (2 + 1)) + 3 = (5 + (1 + 3)) + 3 = 5 + (1+3+3)


     


Die Frage nach der Allgemeinheit hätte|hatte vor dem Beweis noch gar keinen Sinn, also ist sie auch keine Frage, denn die Frage hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode zur Entscheidung bekannt war,    ehe   der besondere Beweis bekannt war.| // Die Frage nach der Allgemeinheit hatte vor dem Beweis noch gar keinen Sinn, also war sie auch keine Frage, denn die hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode der Entscheidung bekannt war,    ehe   der besondere Beweis bekannt war.//
     Denn der Induktionsbeweis entscheidet nichts.| // …entscheidet keine Streitfrage.//| // …entscheidet nicht in einer Streitfrage.//


     

     Wenn gesagt wird: “der Satz ‘(n).fn’ folgt aus der Induktion” heiße nur: jeder Satz der Form f(n) folge aus der Induktion; — “der Satz ‘(∃n). ~…f(n)’ widerspreche| widerspricht der Induktion” heiße nur: jeder Satz der Form ~…f(n) werde durch die Induktion widerlegt, — so kann man sich damit zufrieden geben| // so kann man damit einverstanden sein//, aber wenn wir jetzt fragen: Wie gebrauchen wir den Ausdruck “der Satz (n).f(n)” richtig? Was ist seine Grammatik. (Denn daraus, daß ich ihn in gewissen Verbindungen gebrauche, folgt nicht, daß ich ihn überall dem Ausdruck “der Satz (x).fx” analog gebrauche.)

     


     Denken wir, es stritten sich Leute darüber, ob in der Division 1:3 lauter Dreier im Quotienten herauskommen müßten; sie hätten aber keine Methode, wie dies zu entscheiden sei| // um dies zu entscheiden//. Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von und sagt: jetzt weiß ich's, es müssen lauter 3 im Quotienten stehen. Die Andern hatten an    diese   Art der Entscheidung nicht gedacht. Ich nehme an, es habe ihnen unklar etwas von einer Entscheidung durch stufenweise Kontrolle vorgeschwebt, und daß sie diese Entscheidung freilich nicht herbeiführen könnten. Halten sie nun an ihrer extensiven Auffassung fest, so ist allerdings durch die Induktion

eine Entscheidung herbeigeführt, denn die Induktion zeigt für jede Extension des Quotienten, daß sie aus lauter 3 besteht. Lassen sie aber die extensive Auffassung fallen, so entscheidet die Induktion nichts. Oder nur das, was die Ausrechnung von entscheidet: nämlich, daß ein Rest bleibt, der gleich dem Dividenden ist. Aber mehr nicht. Und nun kann es allerdings eine richtige Frage geben, nämlich: ist der Rest, der bei dieser Division bleibt, gleich dem Dividenden? und diese Frage ist jetzt an die Stelle der alten extensiven getreten und ich kann natürlich den alten Wortlaut beibehalten, aber er ist jetzt außerordentlich irreleitend, denn sie| // er // läßt es immer so erscheinen, als wäre die Erkenntnis der Induktion nur ein Vehikel, das uns in die Unendlichkeit tragen kann. (Das hängt auch damit zusammen, daß das Zeichen “u.s.w.” sich auf eine interne Eigenschaft des Reihenstückes, das ihm vorhergeht, bezieht und nicht auf seine Extension.)
     Die Frage “gibt es eine rationale Zahl, die die Wurzel von
x² + 3x + 1 = 0 ist” ist freilich durch eine Induktion entschieden,|: — aber hier habe ich eben eine Methode konstruiert, um Induktionen zu bilden; und die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine Konstruktion von Induktionen handelt. D.h. die Frage wird durch eine Induktion entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte. Wenn mir also ihr Zeichen von vornherein auf ja und nein bestimmt war, so daß ich rechnerisch zwischen ihnen entscheiden konnte, wie z.B., ob der Rest in 5 : 7 gleich oder ungleich dem Dividenden sein wird. (Die Verwendung der Ausdrücke “alle …” und “es gibt …” für diese Fälle hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verwendung des Wortes “unendlich” im Satz “heute habe ich ein Lineal mit unendlichem Krümmungsradius gekauft”.)

     



      entscheidet durch ihre Periodizität nichts, was früher offen gelassen war. Wenn vor der Entdeckung der Periodizität Einer vergebens nach einer 4 in der Entwicklung von 1:3 gesucht

hätte, so hätte er doch die Frage “gibt es eine 4 in der Entwicklung von 1:3” nicht sinnvoll stellen können, d.h.,    abgesehen davon  , daß er tatsächlich zu keiner 4 gekommen war, können wir ihn davon überzeugen, daß er keine Methode besitzt, seine Frage zu entscheiden. Oder wir könnten auch sagen: abgesehen von dem Resultat seiner Tätigkeit könnten wir ihn über die Grammatik seiner Frage und die Natur seines Suchens aufklären (wie einen heutigen Mathematiker über analoge Probleme). “Aber als Folge der Entdeckung der Periodizität hört er nun doch gewiß auf, nach einer 4 zu suchen! Sie überzeugt ihn also, daß er nie eine finden wird”. — Nein. Die Entdeckung der Periodizität bringt ihn vom Suchen ab,    wenn   er sich nun neu einstellt. Man könnte ihn fragen: “Wie ist es nun, willst Du noch immer nach einer 4 suchen?” (Oder hat Dich, sozusagen, die Periodizität auf andere Gedanken gebracht.)
     Und die Entdeckung der Periodizität ist in Wirklichkeit die Konstruktion eines neuen Zeichens und Kalküls. Denn es ist irreführend ausgedrückt, wenn wir sagen, sie bestehe darin, daß es uns    aufgefallen   sei, daß der erste Rest gleich dem Dividenden ist. Denn hätte man Einen, der die periodische Division nicht kannte, gefragt,|: ist in dieser Division der erste Rest gleich dem Dividenden, so hätte er natürlich “ja” gesagt; es wäre ihm also aufgefallen. Aber damit hätte ihm nicht die Periodizität auffallen brauchen| // müssen//; d.h.: er hätte damit nicht den Kalkül mit den Zeichen gefunden.
     Ist nicht, was ich hier sage, immer dasselbe,| // sage, das,// was Kant damit meinte, daß 5 + 7 = 12 nicht analytisch, sondern synthetisch a priori sei?

     


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Wird aus der Anschreibung des Rekursionsbeweises noch ein weiterer Schluß auf die Allgemeinheit gezogen, sagt das Rekursionsschema nicht schon alles was zu sagen war?

     


     Man sagt für gewöhnlich, die rekursiven Beweise beweisen| // zeigen//, daß die algebraischen Gleichungen für alle Kardinalzahlen gelten; aber es kommt hier momentan nicht darauf an, ob dieser Ausdruck glücklich oder schlecht gewählt ist, sondern nur darauf, ob er in allen Fällen die gleiche Bedeutung hat.| // ob er in allen Fällen die gleiche, klarbestimmte, Bedeutung hat.//




     


     Wie aber weiß ich 28+(45+17) = (28+45)+ 17 ohne es bewiesen zu haben? Wie kann mir ein allgemeiner Beweis einen besonderen Beweis schenken? Denn ich könnte doch den besondern Beweis führen, und wie treffen sich da

die beiden Beweise, und wie, wenn sie nicht übereinstimmen?










     


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     Inwiefern verdient der Rekursionsbeweis den Namen eines ‘Beweises’.

     Inwiefern ist der Übergang nach dem Paradigma A durch den Beweis von B gerechtfertigt?


     

     Ich möchte sagen:    Muß   man diese Rechnung| // die Induktionsrechnung // den Beweis des Satzes I nennen? D.h., tut's keine andere Beziehung?


     


     Darin, daß der Übergang von B auf A kein Folgen ist, liegt auch, was ich damit meinte, daß nicht das logische Produkt u & v & w die Allgemeinheit ausdrückt.








     


     Wenn ich mir die Funktionen f1, f2, F exakt definiert| // bestimmt // denke und nun das Schema des Induktionsbeweises schreibe, —

auch dann kann ich nicht sagen, der Übergang von f1y auf f2y sei auf Grund von r gemacht worden (wenn der Übergang in u, v, w nach r gemacht wurde — in speziellen Fällen r = u). Er bleibt der Gleichung A entsprechend gemacht und ich könnte nur sagen, er entspreche dem Komplex B, wenn ich nämlich ?—diesen als ein anderes Zeichen statt der Gleichung A auffasse—?.


     

     Denn das Schema des Übergangs mußte ja u, v und w enthalten.


     

     Tatsächlich ist R nicht das Schema des Induktionsbeweises B3; dieses ist viel komplizierter, da es das Schema B1 enthalten

muß.


     


     Es ist nur dann nicht ratsam, etwas ‘Beweis’ zu nennen, wenn die übliche Grammatik des Wortes ‘Beweis’ mit der Grammatik des betrachteten Gegenstandes nicht übereinstimmt.


     



     Die tiefgehende Beunruhigung rührt am Schluß von einem kleinen, aber offen zu Tage liegendem Zug des überkommenen Ausdrucks her.


     



     Was heißt es, daß R den Übergang A| // Übergang von der Form A // rechtfertigt? Es heißt wohl, daß ich mich entschieden habe, nur solche Übergänge in meinem Kalkül zuzulassen, denen ein Schema B entspricht, dessen Sätze u, v, w wieder nach| // aus // r ableitbar sein sollen. (Und das hieße natürlich nichts anderes, als daß ich nur die Übergänge A1, A2, etc. zuließe und diesen Schemata B entsprächen.) Richtiger wäre es, zu schreiben “und diesen Schemata der Form R entsprechen”. Ich wollte mit dem Nachsatz in der Klammer sagen, der Schein der Allgemeinheit — ich meine, der Allgemeinheit des Begriffs der Induktionsmethode — ist unnötig, denn es kommt am Schluß doch nur darauf hinaus, daß die speziellen Konstruktionen B1, B2, etc. um die Seiten der Gleichungen A1, A2, etc. konstruiert wurden.

     


Als Antwort muß er? mich auf die Beziehung zwischen A und B aufmerksam machen, die in V ausgedrückt ist.


     


     Es zeigt uns jemand B1 und erklärt uns den Zusammenhang mit A1, d.i., daß die rechte Seite von A so und so erhalten wurde, etc. etc. Wir verstehen ihn; und er fragt (nun?): ist nun das ein Beweis von A? Wir würden| // werden // antworten: gewiß    nicht  !
     Hatten wir nun alles verstanden, was über diesen Beweis zu verstehen war? Ja. Hatten wir auch die allgemeine Form des Zusammenhangs von B und A gesehen? Ja!
     Und wir können auch daraus schließen, daß man so aus jedem A ein B konstruieren kann    und also auch umgekehrt A aus B  .


     


     Dieser Beweis ist nach einem bestimmten Plan gebaut (nach dem noch andere Beweise gebaut sind). Aber dieser Plan kann den Beweis nicht zum Beweis machen. Denn wir haben jetzt hier nur die eine Verkörperung dieses Planes, und können von dem Plan als allgemeinem Begriff (ganz?) absehen. Der Beweis muß für sich sprechen und der Plan ist nur in ihm verkörpert, aber selbst kein Bestandteil| // kein Instrument // des Beweises. (Das wollte ich immer sagen.) Daher nützt es mich nichts, wenn man mich auf die Ähnlichkeiten zwischen Beweisen aufmerksam macht, um mich davon zu überzeugen, daß sie Beweise sind.


     



     Ist nicht unsere Prinzip: keinen    Begriff   zu verwenden, wo keiner| kein    Begriffswort   zu verwenden, wo keines nötig ist? — D.h. die Fälle zu zeigen, in denen das Begriffswort in Wirklichkeit für eine Liste| // Aufzählung // steht.| // D.h. in den Fällen, in denen das Begriffswort für eine Liste steht, dies klar zu machen.//| // D.h. die Fälle, in denen das Begriffswort in Wirklichkeit für eine Liste| Aufzählung steht, als solche zu erklären.//


     



     Wenn ich nun früher sagte “das ist doch kein Beweis”, so meinte ich ‘Beweis’ in einem bereits festgelegtem Sinne, in welchem es aus A und B allein zu ersehen ist. Denn in diesem Sinne kann ich sagen: Ich verstehe doch ganz genau, was B tut und in welchem Verhältnis es zu A steht. Jede weitere Belehrung ist überflüssig und    das   ist kein Beweis.| // und das, was da ist, ist kein Beweis.// In diesem Sinne habe ich es nur mit B und A allein zu tun; ich sehe außer ihnen nichts und nichts anderes geht mich an.
     Dabei sehe ich das Verhältnis nach der Regel V sehr gut| // wohl//, aber es kommt für mich als    Konstruktionsbehelf   gar nicht in Frage. Sagte mir jemand, während meiner Betrachtung von B und A, daß man auch hätte B aus A (oder umgekehrt) nach einer Regel konstruieren können, so könnte ich ihm nur sagen “komm' mir nicht mit unwesentlichen Sachen”. Denn das ist ja selbstverständlich, und ich sehe sofort, daß es B nicht zu einem Beweis von A macht. Denn, daß es so eine allgemeine Regel gibt, könnte nur zeigen| // Denn diese allgemeine Regel könnte nur zeigen//, daß B der Beweis    von A und keinem andern Satz  | // der Beweis    gerade von A   // ist, wenn es überhaupt ein Beweis wäre.


     



     Die Klammer } in R, welche u, v, und w zusammenhält, kann weiter nichts bedeuten, als daß wir den Übergang in A (oder einen von der Form A) als berechtigt ansehen, wenn die Glieder (Seiten) des Übergangs in einer, durch das Schema B charakterisierten Beziehung, zu einander stehen. Es nimmt dann B den Platz von A. Und wie es früher hieß: der Übergang ist in meinem Kalkül erlaubt, wenn er einem der A entspricht, so kann es jetzt heißen| // so heißt es jetzt//: er ist erlaubt, wenn er einem der B entspricht.
     Damit aber hätten wir noch keine Vereinfachung, keine Reduktion gewonnen.


     



     Der Gleichungskalkül ist gegeben. In diesem Kalkül hat ‘Beweis’ eine festgelegte| // fixe // Bedeutung. Nenne ich nun auch die induktive Rechnung einen Beweis, so erspart mir dieser Beweis doch

nicht die Kontrolle, ob die Übergänge der Gleichungskette, nach diesen bestimmten Regeln (oder Paradigmen) gemacht sind. Ist das der Fall, so sage ich, die letzte Gleichung der Kette sei bewiesen; oder auch, die Gleichungskette stimme.


     



     Man kann daher auch nicht sagen, Skolem habe das algebraische System auf eine kleinere Grundlage gesetzt, denn er hat es in einem andern Sinne als dem algebraischen ‘begründet’.| // denn er hat es in einem andern Sinne als dem der Algebra ‘begründet’.//


     



     Wird ein Zusammenhang der A durch die Induktionsbeweise mittels u gezeigt und ist dies nicht das Zeichen dafür, daß wir es hier doch mit Beweisen zu tun haben? — Es wird nicht    der   Zusammenhang gezeigt, den ein Zerlegen der Übergänge A in Übergänge r herstellen würde. Und    ein   Zusammenhang der A ist ja schon vor jedem Beweis zu sehen.




     



     Ich kann die Regel R auch    so   schreiben:

oder auch so:
      a+(b+1) = (a+b)+1, wenn ich R oder S als Erklärung oder Ersatz für diese Form nehme.
     Wenn ich nun sage, in

seien die Übergänge durch die Regel R gerechtfertigt, — so kann man mir drauf antworten: “Wenn Du das eine Rechtfertigung nennst, so hast Du die Übergänge gerechtfertigt. Du hättest uns aber ebensoviel gesagt, wenn Du uns nur auf die Regel R und ihre formale Beziehung zu u (oder zu u, v und w) aufmerksam gemacht hättest.”


     


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Der rekursive Beweis reduziert die Anzahl der Grundgesetze nicht.







     



     Wir haben also hier nicht den Fall, in welchem eine Gruppe von Grundgesetzen durch eine mit weniger Gliedern bewiesen wird, aber nun weiter in den Beweisen alles im Gleichen bleibt. (Wie auch in einem System von Grundbegriffen an der späteren Entwicklung dadurch

nichts geändert wird, daß man die Anzahl der Grundbegriffe durch Definitionen reduziert.)
     (Übrigens, welche verdächtige Analogie, zwischen “Grundgesetzen” und “Grundbegriffen”!)


     


     Es ist gleichsam| // etwa // so: der Beweis eines alten Grundgesetzes setzt sonst das System der Beweise (einfach) nach rückwärts fort. Die Rekursionsbeweise aber setzen das System von algebraischen Beweisen (mit den alten Grundgesetzen) nicht nach rückwärts fort, sondern sind ein neues System, das mit dem ersten nur parallel zu laufen scheint.


     



     Das ist eine seltsame Bemerkung, daß in den Induktionsbeweisen der Grundregeln nach wie vor ihre Unreduzierbarkeit (Unabhängigkeit) sich zeigen muß| // ?—zu Tage treten muß—?//. Was, wenn man das für den Fall von gewöhnlichen Beweisen (oder Definition) sagte, also für den Fall, wo die Grundregeln eben weiter reduziert werden, eine neue Verwandtschaft zwischen ihnen gefunden (oder konstruiert) wird.


     



     Wenn ich darin Recht habe, daß durch die Rekursionsbeweise die Unreduzierbarkeit| // Unabhängigkeit // intakt bleibt, dann ist damit (wohl?) alles gesagt, was ich gegen den Begriff vom Rekursions-“Beweis” sagen| // vorbringen // wollte| // kann//.


     



     Der induktive Beweis zerlegt den Übergang in A nicht. Ist es nicht das, was macht, daß ich mich dagegen sträube, ihn Beweis zu nennen? Warum ich versucht bin zu sagen, er kann auf keinen Fall — nämlich auch, wenn man A durch R und u konstruiert — mehr tun, als etwas    über   den Übergang zu zeigen.


     


     Wenn man sich einen Mechanismus aus Zahnrädern und diese aus lauter gleichen keilförmigen Stücken und je einem Ring, der sie zu einem Rad zusammenhält, zusammengesetzt denkt, so blieben in einem gewissen Sinne die Einheiten des Mechanismus doch die Zahnräder.


     


     Es ist so: Wenn ein Faß aus Dauben und Böden besteht, so halten doch nur alle diese in dieser (bestimmten) Verbindung (als Komplex) die Flüssigkeit und bilden als Behälter neue Einheiten.


     



     Denken wir uns eine Kette, sie besteht aus Gliedern und es ist möglich, (je) ein solches Glied durch zwei kleinere zu ersetzen. Die Verbindung, die die Kette macht, kann dann, statt durch die großen, ganz durch die kleineren| // kleinen // Glieder gemacht werden. Man könnte sich aber auch denken, daß jedes Glied der Kette aus — etwa — zwei halbringförmigen Teilen bestünde, die zusammen das Glied bildeten, einzeln aber nicht als Glieder verwendet werden könnten.
     Es hätte nun ganz verschiedenen Sinn, einerseits, zu sagen: die Verbindung, die die großen Glieder machen, kann durch lauter kleine Glieder gemacht werden; — und anderseits: diese Verbindung kann durch lauter halbe große Glieder gemacht werden. Was ist der Unterschied?


     


     Der eine Beweis ersetzt eine großgliedrige Kette durch eine kleingliedrige, der andere zeigt, wie man die (alten) großen Glieder aus mehreren Bestandteilen zusammensetzen kann.


     


     Ähnlichkeit, sowie| // und // Verschiedenheit der beiden Fälle sind augenfällig| // klar zu Tage liegend//.


     


     Der Vergleich des Beweises mit der Kette ist natürlich ein    logischer   Vergleich und also ein vollkommen exakter Ausdruck dessen, was er illustriert.

     


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Periodizität
1 : 3 = 0.3∙.








     

⇒
     Von dem Zeichen “0,3∙” kann man sagen:    es ist keine Abkürzung  .


     




     Man faßt die Periodizität eines Bruches, z.B. ⅓, so auf, als    bestünde  | // bestehe // sie darin, daß etwas, was man die Extension des unendlichen Dezimalbruchs nennt, nur aus| // aus lauter // Dreien besteht, und daß die Gleichheit des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das    Anzeichen   für diese Eigenschaft der unendlichen Extension sei. Oder aber man korrigiert diese Meinung dahin, daß nicht eine unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern eine unendliche Reihe endlicher Extensionen; und hierfür sei wieder die Eigenschaft der Division ein Anzeigen. Man kann nun sagen: die Extension mit    einem   Glied sei 0,3, die mit 2 Gliedern 0,33, die mit dreien 0,333, u.s.w.. Das ist eine    Regel   und das “u.s.w.” bezieht sich auf die Regelmäßigkeit, und die Regel könnte auch geschrieben werden “/0,3, 0,x, 0,x3/”. Das, was aber durch die Division bewiesen ist, ist    diese   Re-

gelmäßigkeit im Gegensatz zu einer andern, nicht die Regelmäßigkeit im Gegensatz zur Unregelmäßigkeit. Die periodische Division, also (im Gegensatz zu beweist    eine   Periodizität der Quotienten, d.h. sie    bestimmt   die Regel (die Periode), legt sie fest, aber ist nicht ein Anzeichen dafür, daß eine Regelmäßigkeit “vorhanden ist”.    Wo   ist sie denn vorhanden? Etwa in den bestimmten Entwicklungen, die ich auf diesem Papier gebildet habe. Aber das sind doch nicht “die Entwicklungen”. (Hier werden wir irregeführt von der Idee der nicht aufgeschriebenen, idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie die idealen, nicht gezogenen geometrischen Geraden, die wir gleichsam nur in der Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie zeichnen.) Wenn ich sagte “das ‘u.s.w.’ bezieht sich auf die Regelmäßigkeit”, so unterschied ich es von dem ‘u.s.w.’ in “er las alle Buchstaben: a, b, c, u.s.w.”. Wenn ich sage: “die Extensionen von 1:3 sind 0,3, 0,33, 0,333, u.s.w.”, so gebe ich    drei   Extensionen und — eine Regel. Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als die Division .


     

⇐
     Und das Zeichen “/0,3, 0,x, 0,x3/” ist kein Ersatz für eine Extension, sondern das vollwertige Zeichen selbst; und ebensogut ist “0,3∙”. Es sollte uns doch zu denken geben, daß ein Zeichen der Art “0,3∙”    genügt  , um damit zu machen, was wir brauchen. Es ist kein Ersatz, und im Kalkül gibt es keinen Ersatz.
     Wenn man meint, die besondere Eigenschaft der Division sei ein Anzeichen für die Periodizität des unendlichen Dezimalbruchs, oder    der   Dezimalbrüche der Entwicklung, so heißt das,| // so ist das ein Anzeichen dafür, // das etwas regelmäßig    ist  ; aber was? Die Extensio-

nen, die ich gebildet habe? Aber andere gibt es ja nicht. Am absurdesten würde die Redeweise, wenn man sagte: die Eigenschaft der Division sei ein Anzeichen dafür, daß das Resultat die Form /0,a, 0,x, 0,xa/ habe; das wäre so, als wollte man sagen; eine Division ist das Anzeichen dafür, daß eine Zahl herauskommt. Das Zeichen “0,3∙” drückt seine Bedeutung nicht von einer größeren Entfernung aus, als “0,333…”, denn dieses Zeichen gibt eine Extension von drei Gliedern und eine Regel; die Extension 0,333 ist für unsere Zwecke nebensächlich und so bleibt nur die Regel, die “/0,3, 0,x, 0,x3/” ebensogut gibt. Der Satz “die Division wird nach der ersten Stelle periodisch”    heißt soviel   wie: “der erste Rest ist gleich dem Dividenden”. Oder auch: der Satz “die Division wird von der ersten Stelle an ins Unendliche die gleiche Ziffer erzeugen”    heißt   “der erste Rest ist gleich dem Dividenden”; so wie der Satz “dieses Lineal hat einen unendlichen Radius” heißt, es sei gerade.


     


     Man könnte nun sagen: die Stellen des| // eines // Quotienten von 1:3 sind    notwendig alle   3, und das würde wieder nur heißen, daß der erste Rest gleich dem Dividenden ist und die erste Stelle des Quotienten 3. Die Verneinung des ersten Satzes ist daher gleich der Verneinung des zweiten. Es ist also dem “notwendig alle” nichts entgegengesetzt, was man “zufällig alle” nennen könnte; “notwendig alle” ist sozusagen    ein   Wort. Ich brauche nur fragen: Was ist das Kriterium der notwendigen Allgemeinheit, und was wäre das, der zufälligen (das Kriterium dafür also, daß zufällig alle Zahlen die Eigenschaft P haben)?

     


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Der rekursive Beweis als Reihe von Beweisen








     



     Der “rekursive Beweis” ist das allgemeine Glied einer Reihe von Beweisen. Er ist also ein Gesetz, nach dem man Beweise konstruieren kann. Wenn gefragt wird, wie es möglich ist, daß mir diese allgemeine Form den Beweis eines speziellen Satzes, z.B. 7+(8+9) = (7+8)+9 ersparen kann, so ist die Antwort, daß sie nur alles zum Beweis dieses Satzes vorbereitet hat, ihn aber nicht beweist (er kommt ja in ihr nicht vor). Der Beweis besteht vielmehr aus der allgemeinen Form zusammen mit dem Satz.


     



     Unsere gewöhnliche Ausdrucksweise trägt den Keim der Verwirrung in ihre Fundamente, indem sie das Wort “Reihe” einerseits im Sinne von ‘Extension’, anderseits im Sinne von ‘Gesetz’ gebraucht. Das Verhältnis der beiden kann man sich an der Maschine klarmachen, die Schraubenfedern

erzeugt. Hier wird durch einen    schraubenförmig   gewundenen
     
Gang ein Draht geschoben, der nun so viele Schraubenwindungen erzeugt, als man erzeugen will. Das, was man die unendliche Schraube nennt, ist nicht vielleicht etwas von der Art der endlichen Drahtstücke, oder etwas, dem sich diese nähern je länger sie werden, sondern das Gesetz der Schraube, wie es in dem kurzen Gangstück verkörpert ist. Der Ausdruck “unendliche Schraube” oder “unendliche Reihe” ist daher irreführend.


     



     Wir können also den rekurierenden Beweis immer auch als Reihenstück mit dem “u.s.w.” anschreiben und er verliert dadurch nicht seine Strenge. Und zugleich zeigt diese Schreibweise klarer sein Verhältnis zur Gleichung A. Denn nun verliert der rekursive Beweis jeden Schein einer Rechtfertigung von A im Sinne eines algebraischen Beweises — etwa von (a+b)² = a² + 2ab + b². Dieser Beweis mit Hilfe der algebraischen Rechnungsregeln ist vielmehr ganz analog einer Ziffernrechnung.


     


nämlich als Gleichungen zwischen besonderen Zahlen, die als Beispiele funktionieren| //symbolisieren//. Ein solcher Beweis ist ganz von ähnlicher Art, wie der eines geometrischen Satzes über das Dreieck durch eine Konstruktion in| an    einem Dreieck  . (Aber doch nur ähnlich, also logisch verwandt, aber nicht ganz gleich.) Dem Satz I entspricht dann folgender Beweis:

     

     5+(4+3) = 5+(4+(2+1)) = 5+((4+2)+1) = (5+(4+2))+1 = (5+(4+(1+1)))+1 = ((5+4)+2)+1 = (5+4)+3 … (L)
     Das ist einerseits der Beweis von 5+(4+3) = (5+4)+3, anderseits kann man es als Beweis von 5+(4+4) = (5+4)+4 etc. etc. gelten lassen, d.h.    benützen  .
     Wenn ich nun sage: L ist der Beweis des Satzes a+(b+c) = (a+b)+c, so würde das Eigentümliche am Übergang vom Beweis zum Satz viel auffälliger.


     



     Definitionen führen nur praktische Abkürzungen ein, aber wir könnten auch ohne sie auskommen. Aber wie ist es mit den rekursiven Definitionen?


     


     Anwendung der Regel a+(b+1) = (a+b)+1 kann man zweierlei nennen: 4+(2+1) = (4+2)+1 ist eine Anwendung in einem Sinne, im andern: 4+(2+1) = ((4+1)+1)+1 = (4+2)+1.


     



     Die rekursive Definition ist eine Regel zur Bildung von Ersetzungsregeln. Oder auch das allgemeine Glied einer Reihe von Definitionsreihen. Sie ist ein Wegweiser, der alle Ausdrücke einer bestimmten Form    einem   Wege heimweist.


     



     Man könnte — wie gesagt — den Induktionsbeweis ganz ohne die Benützung von Buchstaben (mit voller Strenge) anschreiben. Die rekursive Definition a+(b+1) = (a+b)+1 müßte dann als Definitionsreihe geschrieben werden. Diese Reihe verbirgt sich nämlich in der Erklärung ihres Gebrauchs. Man kann natürlich auch der Bequemlichkeit halber die Buchstaben in der Definition beibehalten, muß sich aber dann in der Erklärung auf ein Zeichen der Art “ 1, (1)+1, ((1)+1)+1, u.s.w.” beziehen; oder, was auf dasselbe hinausläuft, “/1, x, x+1/”. Hier darf man aber nicht etwa glauben, daß dieses Zeichen eigentlich lauten sollte “(x)./1, x, x+1/”! —
     Der Witz unserer Darstellung ist ja, daß der Begriff “alle Zahlen” nur durch eine Struktur der Art “ /1, x, x+1/” gegeben ist. Die Allgemeinheit ist durch diese Struktur im Symbolismus    dargestellt   und kann nicht durch ein (x).fx    beschrieben   werden.
     Natürlich ist die sogenannte “rekursive Definition” keine Definition im hergebrachten Sinne des Worts, weil keine Gleichung. Denn die Gleichung “a+(b+1) = (a+b)+1” ist nur ein Bestandteil von ihr. Noch ist sie das logische Produkt von Gleichungen. Sie ist vielmehr ein Gesetz, wonach Gleichungen gebildet werden; wie /1, x, x+1/ keine Zahl ist, sondern ein Gesetz etc.. (Das Überraschende| // Verblüffende // am Beweis von a+(b+c) = (a+b)+c ist ja, daß er aus einer Definition allein hervorgehen soll. Aber u ist keine Definition, sondern eine allgemeine Additionsregel.)
     Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere, als die der periodischen Division . D.h. es ist in der Regel nichts

offen gelassen, ergänzungsbedürftig oder dergleichen.
     Und vergessen wir nicht: Das Zeichen “/1, x, x+1/” …N interessiert uns nicht als ein suggestiver Ausdruck des allgemeinen Gliedes der Kardinalzahlenreihe, sondern nur, sofern es mit analog gebauten Zeichen in Gegensatz tritt: N    im Gegensatz zu  , etwa, /2, x, x+3/; kurz als Zeichen, als Instrument, in einem Kalkül. Und das Gleiche gilt natürlich von . (Offen gelassen wird in der Regel nur ihre Anwendung.)


     


     1+(1+1) = (1+1)+1, 2+(1+1) = (2+1)+1, 3+(1+1) = (3+1)+1 …u.s.w.
      1+(2+1) = (1+2)+1, 2+(2+1) = (2+2)+1, 3+(2+1) = (3+2)+1 …u.s.w.
     1+(3+1) = (1+3)+1, 2+(3+1) = (2+3)+1, 3+(3+1) = (3+3)+1 …u.s.w.
        u.s.w.  . So könnte man die Regel “a+(b+1) = (a+b)+1” anschreiben.


     


     Vielleicht wird die Sache klarer, wenn man als Additionsregel statt der rekursiven Regel u folgende gibt:
      a+(1+1) = (a+1)+1
      a+((1+1)+1) = ((a+1)+1)+1
      a+(((1+1)+1)+1) = (((a+1)+1)+1)+1
u.s.w..

Wir schreiben diese Regel in der Form [1, ξ, ξ+1] so:
     Dann entspricht der Regel u die Form

In der Anwendung der Regel R, deren Beschreibung ja zu der Regel selbst als ein Teil ihres Zeichens gehört, läuft a der Reihe /1, x, x+1/ entlang und das könnte natürlich durch ein beigefügtes Zeichen, etwa “a N ” angegeben werden. (Die zweite und dritte Zeile der Regel R könnte man zusammen die Operation nennen, wie das zweite und dritte Glied des Zeichens N.) So ist auch die Erläuterung zum Gebrauch der rekursiven Definition u ein Teil dieser Regel selber; oder auch eine Wiederholung ebenderselben| // der // Regel in andrer Form: sowie “1, 1+1, 1+1+1, u.s.w.” das    gleiche   bedeutet, wie (d.h. übersetzbar ist in) “/1, x, x+1/”. Die Übersetzung in die Wortsprache    erklärt   den Kalkül mit den neuen Zeichen, da wir den Kalkül mit den Zeichen der Wortsprache schon beherrschen.
     Das Zeichen einer Regel ist ein Zeichen eines Kalküls wie jedes andere; seine Aufgabe ist nicht, suggestiv (?—auf eine Anwendung hin—?) zu wirken, sondern, im Kalkül nach einem System| // nach Gesetzen // gebraucht zu werden. Daher ist die äußere Form, wie die eines Pfeiles nebensächlich, wesentlich aber das System, worin das Regelzeichen verwendet wird. Das System von Gegensätzen — sozusagen — wovon| // von denen| // worin // das Zeichen sich unterscheidet, etc..
     Das, was ich hier die Beschreibung der Anwendung nenne, enthält ja selbst ein “u.s.w.”, kann also nur eine Ergänzung oder ein Ersatz des Regelzeichens selbst sein.


     



     Was ist nun der Gegensatz eines allgemeinen Satzes, wie a+(b+(1+1)) = a+((b+1)+1)? Welches ist das System von Sätzen, innerhalb dessen diese Regel| // dieser Satz // verneint wird? Oder auch: wie, in welcher Form, kann dieser Satz mit andern in Widerspruch geraten? Oder: welche Frage kann er beantworten, zwischen welchen Alternativen entscheiden? — Nicht zwischen einer “(n).fn” und einer “(∃n). ~ fn”; denn die Allgemeinheit ist dem Satz von der Regel R zugebracht. Sie kann ebensowenig in Frage gestellt| gezogen werden, wie das System der Kardinalzahlen.


     


Denn diese Methode bestimmt erst die Bedeutung von “x.y”, also,    was   bewiesen wird. Insofern gehört also die Form zur Beweismethode, die den Sinn von c∙ erklärt. Etwas anderes ist dann die Frage, ob ich richtig gerechnet habe. — Und so gehört u, v, w zur Beweismethode, die den Sinn des Satzes A erklärt.
     Die Arithmetik ist ohne eine Regel A vollständig, es fehlt ihr nichts. Der Satz A wird (nun?) mit Entdeckung einer Periodizität, mit der Konstruktion eines    neuen   Kalküls, in die Arithmetik eingeführt. Die Frage nach der Richtigkeit dieses Satzes hätte vor dieser Entdeckung (oder Konstruktion) so wenig Sinn, wie die Frage nach der Richtigkeit von
“, …ad inf.”.
     Nun ist die Festsetzung P verschieden vom Satz “1:3 = 0,3∙“ und in diesem Sinne ist “a+(b+c∙) = (a+b)+c∙“ verschieden von einer Regel (Festsetzung) A. Die beiden gehören andern Kalkülen an. Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Ersetzungsregel A ist der rekursive Beweis    nur   insofern, als er die allgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist.| // Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Regel A ist der Beweis von u, v, w    nur   insofern, als er die allgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist.//


     


     Die Periodizität ist nicht das Anzeichen (Symptom) dafür, daß es so weitergeht, aber der Ausdruck “so geht es immer weiter” ist nur eine Übersetzung in eine andere Ausdrucksweise ?—der Periodizität des Zeichens—?| // des periodischen Zeichens//. (Gäbe es außer dem periodischen Zeichen noch etwas, wofür die Periodizität nur ein Symptom ist, so müßte dieses Etwas einen spezifischen Ausdruck haben, der nichts anderes wäre, als der vollständige Ausdruck dieses Etwas.)

     


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I

     Ein Zeichen auf bestimmte Weise sehen, auffassen.
     Hervorhebungen

I

     Entdecken eines Aspekts eines mathematischen Ausdrucks.
“Den Ausdruck in bestimmter Weise sehen”.








     



     Ich sprach früher von Verbindungsstrichen, Unterstreichungen, etc. um die korrespondierenden, homologen, Teile der Gleichungen eines Rekursionsbeweises zu zeigen. Im Beweis

entspricht z.B. die Eins i nicht der m sondern dem c der nächsten Gleichung; m aber entspricht nicht k, sondern dem p; und h nicht dem k sondern dem c+k… etc..
     Oder in:


entspricht nicht m dem h und n dem i, sondern m dem v und n dem k; und nicht k dem p, aber p dem u und v dem r und k dem q und q dem s, aber nicht dem u, u.s.w. .


     



     Wie verhält es sich mit einer Rechnung wie:
(5+3)² = (5+3)(5+3) = 5(5+3)+3(5+3) = 5×5+5×3+3×5+3×3 = 5² +2×5×3+3² …R) aus welcher wir auch eine allgemeine Regel des Quadrierens eines Binoms herauslesen können?
     Wir können diese Rechnung sozusagen arithmetisch und algebraisch auffassen| // ansehen//.
     Und dieser Unterschied in der Auffassung träte z.B. zu Tage, wenn das Beispiel gelautet hätte der algebraischen Auffassung die 2 an den Stellen k einerseits, und an der Stelle i anderseits unterscheiden mußten, während sie in der arithmetischen Auf-

fassung nicht zu unterscheiden wären. Wir betreiben eben — glaube ich — beide Male einen andern Kalkül.


     


     Nach der einen Auffassung wäre z.B. die obige| // vorige // Rechnung ein Beweis von (7+8)² = 7²+2×7×8 + 8², nach der anderen nicht.


     



     Wir könnten ein Beispiel rechnen, um uns zu vergewissern, daß (a+b)² gleich a² + b² + 2ab und nicht a² + b² + 3ab ist — wenn wir es etwa vergessen hätten; aber wir könnten nicht in diesem Sinn kontrollieren, ob die Formel    allgemein   gilt. Auch    diese   Kontrolle gibt es natürlich und ich könnte in der Rechnung
(5+3)² = … = 5²+ 2×5×3 + 3² nachsehen, ob die 2 im zweiten Glied ein allgemeiner Zug der Gleichung ist oder einer, der von den speziellen Zahlen des Beispiels abhängt.


     



     Ich mache (5+2)² = 5² + 2×2×5 + 2² zu einem andern Zeichen, indem ich schreibe:

und dadurch “andeute, welche Züge der rechten Seite von den besonderen Zahlen der linken herrühren”, etc..


     


     (Ich erkenne jetzt? die Wichtigkeit dieses Prozesses der Zuordnung. Er ist der Ausdruck einer neuen Betrachtung der Rechnung und daher die| // der // Betrachtung einer neuen Rechnung.)

     



     







     Ich muß, um ‘A zu beweisen’, erst — wie man sagen würde — die Aufmerksamkeit auf etwas ganz Bestimmtes richten| // …auf ganz bestimmte Züge in| // von // B lenken//. (Wie in der Division )


     


     (Und von dem, was ich dann sehe, hatte das u sozusagen noch gar keine Ahnung.)


     


     Es verhält sich hier zwischen Allgemeinheit und Beweis der Allgemeinheit, wie zwischen Existenz und Existenzbeweis.


     



     Wenn u, v, w bewiesen sind, muß der allgemeine Kalkül erst erfunden werden.


     


     Es kommt uns ganz selbstverständlich vor, auf die Induktionsreihe hin “a+(b+c) = (a+b)+c” zu schreiben; weil wir nicht sehen, daß wir damit einen ganz neuen Kalkül beginnen. (Ein Kind, das gerade rechnen lernt, würde in dieser Beziehung klarer sehen als wir.)

     






     Die Hervorhebungen geschehen durch das Schema R und könnten so ausschauen:

Es hätte aber natürlich auch genügt (d.h. wäre ein Symbol derselben Multiplizität gewesen) B anzuschreiben und dazu:
f1x = a+(b+x), f2x = (a+b)+x.
     (Und dabei ist wieder zu bedenken| // anzumerken//, daß    jedes   Symbol — wie explizit auch immer — mißverstanden werden    kann  .—)


     


     Wer etwa zuerst darauf aufmerksam macht, daß B so gesehen werden kann, der führt ein neues Zeichen ein; ob er nun die Hervorhebungen mit B verbindet oder auch das Schema R daneben schreibt. Denn dann ist eben R das neue Zeichen. Oder, wenn man will, auch B zusammen mit R. Die Weise, wie er darauf aufmerksam gemacht hat, gibt das neue Zeichen.


     


neuen Kalkül.)

     


     Man könnte etwa sagen: Hier wurde die untere Gleichung als a+b = b+a gebraucht; und analog: hier wurde B als A gebraucht, wobei B aber gleichsam der Quere nach gelesen wurde. Oder: B wurde als A gebraucht, aber die neue Gleichung| // der neue Satz| das neue Zeichen // wird aus u & v& w so zusammengestellt, daß, indem man nun? A aus B herausliest, man nicht u & v& w in jener Art von Verkürzung liest, in der man die Prämisse im Folgesatz vor sich hat.| // …im Folgesatz liest.//| // …daß, indem man nun A aus B herausliest, u & v & w nicht in jener Art von Verkürzung erscheint, in der man die Prämisse im Folgesatz vor sich hat.| im Folgesatz liest.//


     


     Was heißt es nun: “ich mache Dich drauf aufmerksam, daß hier in beiden Funktionszeichen das gleiche Argument| // Zeichen // steht (vielleicht hast Du es nicht bemerkt)”? Heißt das, daß er den Satz nicht verstanden hatte? — Und doch hat er etwas nicht bemerkt, was wesentlich zum Satz gehörte; nicht etwa (so?), als hätte er eine externe Eigenschaft des Satzes nicht bemerkt. (Hier sieht man wieder, welcher Art das ist, was man “verstehen eines Satzes” nennt.)


     



      Das Bild vom längs und quer Durchlaufen ist natürlich wieder ein    logisches   Bild und darum ein ganz exakter Ausdruck eines grammatischen Verhältnisses. Es ist also nicht davon zu sagen: “das ist ein bloßes Gleichnis, wer weiß, wie es sich in der Wirklichkeit

verhält”.| // Der Vergleich von längs und quer Durchlaufen ist wieder? ein    logisches   Bild und darum nicht ein unverbindliches Gleichnis, sondern ein korrekter Ausdruck eines grammatischen Verhältnisses| einer grammatischen Tatsache.| // …und darum nicht als unverbindliches Gleichnis über die Achsel anzusehen, sondern ein korrekter Ausdruck eines grammatischen Verhältnisses| einer grammatischen Tatsache.//


     


     Wenn ich sagte, das neue Zeichen mit den Hervorhebungen müsse ja doch aus dem alten ohne die Hervorhebungen abgeleitet sein| // entstehen//, so heißt das nicht, weil ich ja das Zeichen mit den Hervorhebungen abgesehen von seiner Entstehung betrachten kann. Es stellt sich mir dann (Frege) dar, als drei Gleichungen, d.h. als die Figur dreier Gleichungen mit gewissen Unterstreichungen etc..
     Daß diese Figur ganz analog der der drei Gleichungen ohne den Unterstreichungen ist, ist allerdings bedeutsam, wie es ja auch bedeutsam ist, daß die Kardinalzahlen 1 und die Rationalzahl 1 analogen Regeln unterworfen sind, aber es hindert nicht, daß wir hier ein anderes| // neues // Zeichen haben.
     Ich treibe jetzt etwas ganz Neues mit diesem Zeichen.


     


     Verhält es sich hier nicht so, wie in dem Fall, den ich einmal annahm, daß der Kalkül der Wahrheitsfunktionen von Frege und Russell mit der Kombination ~…p & ~…q der Zeichen “~” und “&” betrieben worden wäre, ohne daß man das gemerkt hätte, und daß nun Sheffer, statt eine neue Definition zu geben, nur auf eine Eigentümlichkeit der bereits benützten Zeichen aufmerksam gemacht hätte.


     



     Man hätte immer Dividieren können, ohne je auf die Periodizität aufmerksam zu werden. Hat man sie gesehen, so hat man etwas Neues gesehn.


     


     Könnte man das aber dann nicht ausdehnen und sagen: ich hätte Zahlen miteinander multiplizieren können, ohne je auf den Spezialfall aufmerksam zu werden, in dem ich eine Zahl mit sich selbst multipliziere, und also ist x² nicht einfach x.x”. Die Schaffung des Zeichens “ x²” könnte, man den Ausdruck dafür nennen, daß man auf diesen Spezialfall aufmerksam geworden ist. Oder, man hätte (immer) a mit b multiplizieren und durch c dividieren können, ohne darauf aufmerksam zu werden, daß man “” auch “ a. (b/c)” schreiben kann und daß das analog a.b ist. Und weiter: das ist doch der Fall des Wilden, der die Analogie zwischen !!!!! und !!!!!! noch nicht sieht, oder die, zwischen !! und !!!!!.

und allgemein:
.


     



      Man könnte die Definition U sehen, ohne zu wissen,    warum   ich so definiere.| // so abkürze.//
     Man könnte die Definition sehen, ohne ihren Witz zu verstehen. — Aber dieser Witz ist eben etwas Neues, das in ihr als spezielle Ersetzungsregel noch nicht liegt.


     


     Auch ist ““I”” natürlich kein Gleichheitszeichen, in dem Sinn wie sie in u, v und w stehen.
     Aber man kann leicht zeigen, daß I gewisse formale Eigenschaften mit = gemeinsam hat.

     






     Es wäre — nach den angenommenen Regeln — falsch, das Gleichheitszeichen    so   zu gebrauchen:
D… /(a+b)² = a.(a+b) + b.(a+b) = … = a²+ 2ab + b²/. = ./(a+b)² = a² +2ab + b²/ wenn damit gemeint sein soll, daß die linke Seite der Beweis der rechten ist.
     Könnte man sich aber nicht diese Gleichung als Definition aufgefaßt denken? Wenn es z.B. immer Gebrauch gewesen wäre, statt der rechten Seite die ganze Kette anzuschreiben| // hinzuschreiben//, und man nun die Abkürzung einführte.


     


Freilich    kann   D als Definition aufgefaßt werden! Denn das linke Zeichen wird tatsächlich gebraucht, und warum sollte man es nicht nach dieser Übereinkunft abkürzen.| // …durch das rechte ersetzen.// Nur gebraucht man dann dieses oder jenes anders, als es jetzt üblich ist.//| // …und warum sollte man es dann nicht nach dieser Übereinkunft abkürzen. Nur gebraucht man dann das rechte oder linke Zeichen anders, als wir es jetzt gebrauchen.| als es jetzt üblich ist.//


     



     Es ist nie genügend hervorgehoben worden, daß    ganz verschiedene   Arten von Zeichenregeln in der Form der Gleichung geschrieben werden.


     


     Die ‘Definition’ x.x = x² kann| // könnte // so aufgefaßt werden, daß sie nur erlaubt, statt des Zeichens “x.x” das Zeichen “x²” zu setzen, also analog der Definition 1+1 = 2; aber auch so (und so wird sie tatsächlich aufgefaßt), daß sie erlaubt, a² statt a.a, und (a+b)² statt (a+b).(a+b) zu setzen; auch so, daß für das x jede beliebige Zahl eintreten kann.


     



     Wer entdeckt, daß ein Satz p aus einem von der Form qCp&q folgt, der konstruiert ein neues Zeichen, das Zeichen dieser Regel. (Ich nehme dabei an, ein Kalkül mit p, q, C, &, sei schon früher gebraucht worden, und nun träte diese Regel hinzu und schaffe damit einen neuen Kalkül.)



     



     In der Notation “ x²” verschwindet ja wirklich die Möglichkeit, das eine der x| // den einen der Faktoren x // durch eine andere Zahl zu ersetzen Ja, es wären zwei Stadien der Entdeckung (oder Konstruktion) von x² denkbar. Daß man etwa zuerst statt “x²” “x=” setzt, ehe es Einem nämlich auffällt, daß es das System x.x, x.x.x, etc. gibt, und daß man dann erst hierauf kommt. Ähnliches ist in der Mathematik unzählige Male vorgekommen. (Liebig bezeichnete ein Oxyd noch nicht so, daß der Sauerstoff darin| in der Notation als gleichwertes Element mit dem oxydierten| // …als Element wie das oxydierte // auftrat. Und, so seltsam das klingt, man könnte auch mit allen uns heute bekannten Daten dem Sauerstoff durch eine ungeheuer künstliche Interpretation — d.h. grammatische Konstruktion — eine solche Ausnahmestellung verschaffen; natürlich nur in der    Form der Darstellung  .)


     



     Mit den Definitionen x.x = x², x.x.x = x³ kommen nur die Zeichen “x²” und “x³” zur Welt (und so weit war es noch nicht nötig, Ziffern als Exponenten zu schreiben.)


     



     /Der Prozeß der Generalisation| // Verallgemeinerung // schafft ein neues Zeichensystem./

     






     Sheffers Entdeckung ist natürlich nicht die der Definition ~…p & ~…q = p|q. Diese Definition hätte Russell sehr wohl haben können, ohne doch damit das Sheffersche System zu besitzen, und anderseits hätte Sheffer auch ohne diese Definition sein System begründen können. Sein System ist ganz in dem Zeichen “ ~…p & ~…p” für “ ~…p” und “~( ~…p & ~…q ) & ~( ~…p & ~…q)” für “p⌵q” enthalten und “ p|q ” gestattet nur eine    Abkürzung  . Ja, man kann sagen, daß einer sehr wohl hätte das Zeichen “~( ~…p & ~…q) & ~( ~…p & ~…q)” für “p⌵q” kennen können, ohne das System p|q. |.p|q in ihm zu erkennen.


     



     Machen wir die Sache noch klarer durch die Annahme der beiden Fregeschen Urzeichen “~” und “&”, so bleibt hier die Entdeckung bestehen, wenn auch die Definitionen geschrieben werden, ~…p & ~…p = ~…p und ~( ~…p & ~…p ) & ~( ~…q & ~…q ) = p & q. Hier hat sich an den Urzeichen scheinbar gar nichts geändert.


     



     Man könnte sich auch denken, daß jemand die ganze Fregesche oder Russellsche Logik schon in diesem System hingeschrieben hätte und doch, wie Frege, “ ~” und “&” seine Urzeichen nennte, weil er das andere System in seinen Sätzen nicht sähe.


     



     Es ist klar, daß die Entdeckung des Shefferschen Systems in ~…p & ~…p = ~…p und ~( ~…p & ~…p ) & ~( ~…q & ~…q ) == p & q der Entdeckung entspricht, daß x²+ ax + a²/4 ein Spezialfall von a² + 2ab + b² ist.


     


     Daß etwas so angesehen werden kann, sieht man erst, wenn es so angesehen ist.
     Daß ein Aspekt möglich ist, sieht man erst, wenn er da ist.


     



     Das klingt, als könnte die Sheffersche Entdeckung gar nicht in Zeichen dargestellt werden… (periodische Division). Aber das liegt daran, daß man die    Anwendung  | // Verwendung// des Zeichens in seiner Einführung nicht voraus nehmen kann (die Regel ist und bleibt ein Zeichen und von ihrer Anwendung getrennt).


     





     


     Eine Untersuchung Schritt für Schritt dieser Beweise wäre sehr lehrreich. Der erste Übergang in I a+(b+(c+1)) = a+((b+c)+1) wenn er nach R vor sich gehen soll, zeigt daß die Variablen in R anders gemeint sind, als die in den Gleichungen von I, denn sonst erlaubte R nur a+(b+1) durch (a+b)+1 zu ersetzen, aber nicht b+(c+1) durch (b+c)+1. Dasselbe zeigen auch die anderen Übergänge dieses Beweises.      Wenn ich nun sagte,die beiden Zeilen des Beweises berechtigen mich| //der Vergleich der beiden Zeilen des Beweises berechtigt mich// die Regel a+(b+c) = (a+b)+c zu folgern, so hieße das gar nichts, es sei denn, ich hätte nach einer vorher aufgestellten Regel so geschlossen. Diese Regel aber könnte nur sein:

Aber diese Regel ist vage in bezug auf F1, F2 und f.

     


     An dieser Regel scheint aber eines merkwürdig: daß es nämlich möglich ist, sie als Vorschrift zu verstehen, auch ohne zu sehen, daß aus ihr die Reihe F1((1)+1) = F2((1)+1), F1(((1)+1)+1) = F2(((1)+1)+1), u.s.w. hervorgeht| daß sie die Reihe F1((1)+1) = F2((1)+1), F1(((1)+1)+1) = F2(((1)+1)+1), u.s.w. erzeugt.

     


     Die allgemeine Regel für den Induktionsbeweis kann ich na-

türlich nur dann anwenden, wenn ich die Substitution entdecke, durch die sie anwendbar wird. So wäre es möglich, daß einer die Gleichungen
(a+1)+1 = (a+1)+1
1+(a+1) = (1+a)+1 sähe, ohne auf die Substitution

zu kommen.


     


     Wenn ich übrigens sage, ich    verstehe   die Gleichungen als besondern Fall jener Regel, so muß doch das Verständnis das sein, was sich in der Erklärung der Beziehung zwischen der Regel und den Gleichungen zeigt, also, was wir durch die Substitutionen ausdrücken. Sehe ich diese nicht als einen Ausdruck dessen an, was ich verstehe, dann gibt es keinen; aber dann hat es auch keinen Sinn, von einem Verständnis zu reden, zu sagen, ich verstehe etwas Bestimmtes. Denn nur dort hat es Sinn, vom Verstehen zu reden, wo wir    eines   verstehen, im Gegensatz zu etwas anderem. Und dies| // diesen Gegensatz // drücken eben Zeichen aus.
     Ja, das Sehen der internen Beziehung kann nur wieder das Sehen von etwas sein, das sich beschreiben läßt, wovon man sagen kann, “ich sehe, daß es sich so verhält”, also wirklich etwas von der Natur der Zeichen der Zuordnung| // von der Natur der Zuordnungszeichen // (wie Verbindungsstriche, Klammern, Substitutionen, etc.). Und alles andere kann nur in der Anwendung des Zeichens der allgemeinen Regel in einem besonderen Fall liegen.


     


     Kann man nun sagen, wir haben I, II, und III aus R errechnet? Nein. — Aber aus R und r?

     


     Wir könnten nun die obigen Beweise auch anders hinschreiben,

     



     Es ist, als entdeckten wir an gewissen Körpern, die vor uns liegen, Flächen, mit denen sie aneinandergereiht werden können. Oder vielmehr, als entdeckten wir, daß sie mit den und den Flächen, die wir auch schon früher gekannt| // gesehen // hatten, aneinandergereiht werden können. Es ist das die Art der Lösung vieler Spiele oder Rätselfragen.


     


     Der, welcher| // der // die Periodizität entdeckt, erfindet einen neuen Kalkül. Die Frage ist, wie unterscheidet sich der Kalkül mit der periodischen Division von dem Kalkül, der die Periodizität nicht kennt?


     


     (Wir hätten einen Kalkül mit Würfeln betreiben können, ohne je auf die Idee zu kommen, sie zu Prismen aneinanderzureihen.)

     


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Der Induktionsbeweis, Arithmetik & Algebra.


     









     Wozu brauchen wir denn das kommutative Gesetz? Doch nicht, um die Gleichung, 4+6=6+4 anschreiben zu können, denn diese Gleichung wird durch ihren besonderen Beweis gerechtfertigt. Und es kann freilich auch der Beweis des kommutativen Gesetzes als ihr Beweis verwendet werden, aber dann ist er eben (hier| jetzt) ein spezieller (arithmetischer) Beweis. Ich brauche das Gesetz also, um danach mit Buchstaben zu operieren.
     Und diese Berechtigung kann mir der Induktionsbeweis nicht geben.


     


     Aber eines ist klar: Wenn uns der Rekursionsbeweis das Recht gibt, algebraisch zu rechnen, dann auch der arithmetische? Beweis L.| // dann gibt uns auch der arithmetische? Beweis L dieses Recht.//


     



     Auch so: Der Rekursionsbeweis hat es — offenbar| // natürlich // — wesentlich mit Zahlen zu tun. Aber was gehen mich die an, wenn ich rein algebraisch operieren will. Oder: Der Rekursionsbeweis ist nur dann zu gebrauchen?| // benützen?//, wenn ich mit ihm den| // durch ihn einen // Übergang in einer Zahlenrechnung rechtfertigen will.
     Man könnte nun aber fragen: Also brauchen wir (   beide:) sowohl   den Induktionsbeweis    als auch   das assoziative Gesetz, da ja dieses Übergänge der Zahlenrechnung nicht begründen kann, und jener nicht Transformationen in der Algebra?


     


     Ja, hat man (denn?) vor dem Skolemschen Beweisen das assoziative Gesetz — z.B. — hingenommen, ohne den entsprechenden Übergang in einer Zahlenrechnung durch Rechnung begründen| // ausführen // zu können? D.h.: konnte man vorher 5+(4+3) = (5+4)+3 nicht ausrechnen, sondern hat es als Axiom betrachtet?


     



     Wenn ich sage, die periodische Zahlenrechnung beweist den Satz, der mich zu jenen Übergängen berechtigt, wie hätte dieser Satz gelautet, wenn man ihn als Axiom angenommen und nicht bewiesen hätte?
     Wie hätte der Satz gelautet, nach welchem ich 5+(7+9) = (5+7)+9 gesetzt hätte, ohne es beweisen zu können? Es ist doch offenbar, daß es so einen Satz nie gegeben hat.


     



     Könnte man auch so sagen: In der Arithmetik wird das assoziative Gesetz überhaupt nicht gebraucht, sondern da arbeiten wir (nur?) mit besonderen Zahlenrechnungen.
     Und die Algebra, auch wenn sie sich der arithmetischen Notation bedient, ist ein ganz anderer Kalkül, und nicht aus dem arithmetischen abzuleiten.

     






     Auf die Frage “ist 5×4 = 20?” könnte man antworten: “sehen wir nach, ob es mit den Grundregeln der Arithmetik übereinstimmt”; und entsprechend könnte ich sagen: sehen wir nach, ob A mit den Grundregeln übereinstimmt. Aber mit welchen? Nun, wohl mit alpha.


     


     Aber zwischen u und A liegt eben die Notwendigkeit einer Festsetzung darüber, was wir hier “Übereinstimmung” nennen wollen.


     



     D.h. zwischen u und A liegt die Kluft von Arithmetik und| von der Arithmetik zur Algebra, und wenn B als Beweis von A gelten soll, so muß diese (Kluft?) durch eine Bestimmung überbrückt werden.


     


     Nun ist ganz klar, daß wir Gebrauch von so einer Idee der Übereinstimmung machen, wenn wir uns nur z.B. rasch ein Zahlenbeispiel ausrechnen, um dadurch die Richtigkeit eines algebraischen Satzes zu kontrollieren.
     Und in diesem Sinne könnte ich z.B. rechnen und sagen: “ja, ja, es stimmt, a×b ist gleich b×a” — wenn ich mir vorstelle, daß ich das vergessen hätte.


     



     A, als Regel für das algebraische Rechnen, kann nicht rekursiv bewiesen werden; das würde man besonders klar sehen, wenn man den “rekursiven Beweis” als eine Reihe arithmetischer Ausdrücke hinschriebe. Denkt man sie sich hingeschrieben (d.h. ein Reihenstück mit dem “u.s.w.”), aber ohne die Absicht irgend etwas zu “beweisen”, und nun fragte Einer: “beweist dies a+(b+c) = (a+b)+c?”, so würden wir erstaunt zurückfragen: “wie kann es denn so was beweisen? in der Reihe kommen doch nur Ziffern und keine Buchstaben vor!” — Wohl aber könnte man nun sagen: Wenn ich für das Buchstabenrechnen die Regel A einführe, so kommt dieser Kalkül dadurch in einem bestimmten Sinn in Einklang mit dem Kalkül der Kardinalzahlen, wie ich ihn durch das Gesetz der Additionsregeln (rekursive Definition a+(b+1) = (a+b)+1) festgelegt habe.

     


Das Unendliche in der Mathematik.
Extensive Auffassung.


     


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Allgemeinheit in der
Arithmetik


     









     “Welchen Sinn hat ein Satz der Art ‘ (∃n).3+n = 7’?” Man ist hier in einer seltsamen Schwierigkeit: einerseits empfindet man es als Problem, daß der Satz die Wahl zwischen unendlich vielen Werten von n hat, andrerseits scheint uns der Sinn des Satzes in sich gesichert und nur für uns (etwa) noch zu erforschen, da wir doch “wissen, was ‘(∃x).fx’ bedeutet”. Wenn Einer sagte, er wisse nicht, was “(∃n). 3+n = 7” bedeute,| // welchen Sinn “(∃n). 3+n = 7” habe,// so würde man ihm antworten: “aber Du weißt doch, was dieser Satz sagt: 3+0 = 7 .⌵. 3+1 = 7 .⌵. 3+2 = 7 und so weiter!” Aber darauf kann man antworten: “Ganz richtig — der Satz ist also keine logische Summe, denn die endet nicht mit ‘und so weiter’ und das, worüber ich nicht klar bin, ist eben diese Satzform ‘f(0) ⌵ f(1) ⌵ f(2) ⌵ u.s.w.’ — und Du hast mir nur statt der ersten unverständlichen Satzform| // Satzart // eine zweite gegeben und zwar mit dem Schein, als gäbest Du mir etwas altbekanntes, nämlich eine Disjunktion.”
     Wenn wir nämlich meinen, daß wir doch unbedingt “(∃n) etc.” verstehen, so denken wir zur Rechtfertigung an andre Fälle des Gebrauchs der Notation “ (∃…)…”, beziehungsweise der Ausdrucksform “es gibt…” unserer Wortsprache. Darauf kann man aber nur sagen: Du    vergleichst   also den Satz “(∃n)…” mit jenem Satz “es gibt ein Haus in dieser Stadt, welches …”, oder “es gibt zwei Fremdwörter auf dieser Seite”. Aber mit dem Vorkommen der Worte “es gibt” in diesen Sätzen ist ja die Grammatik dieser Allgemeinheit noch nicht bestimmt. Und dieses Vorkommen weist auf nichts andres hin, als eine gewisse Analogie in den Regeln. Wir werden also ruhig diese Regeln von vorne untersuchen können, ohne uns von der Bedeutung von “ (∃ …)…” in andern Fällen stören zu lassen.| // ohne uns von der Be-

deutung, die “(∃ …)…” in andern Fällen hat, stören zu lassen.//| // Wir werden also die Grammatik der Allgemeinheit “(∃n)etc.” ohne vorgefaßtes Urteil untersuchen können, d.h., ohne uns von der Bedeutung von “(∃ …)…” in andern Fällen|, die “(∃ …)…” in andern Fällen hat, stören zu lassen.//


     



     “Alle Zahlen haben vielleicht die Eigenschaft P”. Wieder ist die Frage: was ist die Grammatik dieses allgemeinen Satzes? Denn damit ist uns nicht gedient, daß wir die Verwendung des Ausdrucks “alle …” in andern grammatischen Systemen kennen. Sagt man: “Du weißt doch, was es heißt! es heißt: P(0) & P(1) & P(2) u.s.w.”, so ist damit wieder nichts erklärt; außer, daß der Satz    kein   logisches Produkt ist. Und man wird, um die Grammatik des Satzes verstehen zu lernen, fragen: Wie gebraucht man diesen Satz? Was sieht man als Kriterium seiner Wahrheit an? Was ist seine Verifikation? — Wenn keine Methode vorgesehen ist, um zu entscheiden, ob der Satz wahr oder falsch ist, ist er ja zwecklos und d.h. sinnlos. Aber hier kommen wir nun zur Illusion, daß allerdings eine solche Methode der Verifikation vorgesehen ist, die sich nur einer menschlichen Schwäche wegen nicht durchführen läßt. Diese Verifikation besteht darin, daß man alle (unendlich vielen) Glieder des Produktes P(O) & P(1) & P(2) … auf ihre Richtigkeit prüft. Hier wird logische mit physischer Möglichkeit verwechselt.| // Hier wird das, was man ‘logische Unmöglichkeit’ nennt, mit physischer Unmöglichkeit verwechselt.// Denn dem Ausdruck “alle Glieder des unendlichen Produktes auf ihre Richtigkeit prüfen” glaubt man Sinn gegeben zu haben, weil man das Wort “unendlich viele” für die Bezeichnung einer riesig

großen Zahl hält. Und bei der “Unmöglichkeit, die unendliche Zahl von Sätzen zu prüfen” schwebt uns die Unmöglichkeit vor, eine sehr große Anzahl von Sätzen zu prüfen, wenn wir etwa nicht die nötige Zeit haben.
     Erinnere Dich daran, daß, in dem Sinn, in welchem es unmöglich ist, eine unendliche Anzahl von Sätzen zu prüfen, es auch unmöglich ist, das| // es // zu versuchen. — Wenn wir uns mit den Worten “Du weißt doch, was ‘alle…’ heißt” auf die Fälle berufen, in welchen diese Redeweise gebraucht wird, so kann es uns doch nicht gleichgültig sein, wenn wir einen Unterschied zwischen diesen Fällen und dem Fall sehen, für welchen der Gebrauch der Worte gerechtfertigt| // erklärt // werden sollte. — (Gewiß), wir wissen, was heißt, “eine Anzahl von Sätzen auf ihre Richtigkeit prüfen” und gerade auf dieses Verständnis berufen wir uns ja, wenn wir verlangen, man solle nun auch den Ausdruck “unendlich viele Sätze…” verstehen. Aber ist denn der Sinn des ersten Ausdrucks von der Erfahrung, die mit ihm verknüpft ist| den Erfahrungen, die mit ihm verknüpft sind, unabhängig?| // Aber hängt denn der Sinn des ersten Ausdrucks nicht von den spezifischen Erfahrungen ab, die ihm entsprechen?// Und gerade diese Erfahrungen fehlen ja in der Verwendung (dem Kalkül) des zweiten Ausdrucks; es sei denn, daß ihm solche Erfahrungen zugeordnet werden, die von den ersten grundverschieden sind.

     



     Ramsey schlug einst vor, den Satz, daß unendlich viele Gegenstände eine Funktion f(x) befriedigen, durch die Verneinung sämtlicher Sätze
~(∃ x).fx
(∃ x).fx & ~(∃ x,y).fx & fy
(∃ x,y).fx & fy .&. ~(∃ x,y,z).fx & fy & fz
u.s.w. auszudrücken. — Aber diese Verneinung ergäbe die Reihe
(∃ x).fx
(∃ x,y).fx & fy
(∃ x,y,z) etc. etc..
Aber diese Reihe ist wieder ganz überflüssig: den erstens enthält ja der zuletzt angeschriebene Satz alle vorhergehenden und zweitens nützt uns die-

ser auch nichts, da er ja nicht von einer unendlichen Anzahl von Gegenständen handelt. Die Reihe kommt also in Wirklichkeit auf einen Satz hinaus:
“(∃ x,y,z… ad infinitum).fx & fz… ad infinitum”. Und mit diesem Zeichen können wir gar nichts anfangen, wenn wir nicht seine Grammatik kennen. Eines aber ist klar: wir haben es nicht mit einem Zeichen von der Form “(∃ x,y,z).fx & fy & fz” zu tun; wohl aber mit einem Zeichen, dessen Ähnlichkeit mit diesem dazu gemacht scheint, uns irrezuführen.


     



     “m größer als n” kann ich allerdings definieren als (∃x) . m-n = x, aber dadurch habe ich es in keiner Weise analysiert. Man denkt nämlich, daß durch die Verwendung des Symbolismus “(∃…)…” eine Verbindung hergestellt ist| // sei // zwischen “m größer als n” und andern Sätzen von der Form “es gibt …”, vergißt aber, daß damit zwar eine gewisse Analogie betont ist, aber nicht mehr; da das Zeichen “(∃…)…” in unzählig vielen verschiedenen ‘Spielen’ gebraucht wird. (Wie es eine ‘Dame’ im Schach- und im Damespiel gibt.) Wir müssen also erst die Regeln wissen, wie| // nach denen // es    hier   verwendet wird. Und da wird sofort klar, daß diese Regeln hier mit den Regeln für die Subtraktion zusammenhängen. Denn, wenn wir — wie gewöhnlich — fragen: “wie weiß ich — d.h. woraus geht es hervor —, daß es eine Zahl x gibt, die der Bedingung m-n = x genügt”, so kommen darauf die Regeln für die Subtraktion zur Antwort. Und nun sehen wir, daß wir mit unserer Definition nicht viel gewonnen haben. Ja, wir hätten gleich als Erklärung von ‘m größer als n’ die Regeln angeben können, nach welchen man so einen Satz — z.B. im Falle ‘32 größer als 17’ — überprüft.


     


     Wenn ich sage: “für jedes n gibt es ein d, das die Funktion kleiner macht als n”, so muß ich mich auf ein allgemeines arithmetisches Kriterium beziehen, das anzeigt, wann F(d) kleiner ist als n.


     


     Wenn ich wesentlich keine Zahl hinschreiben kann, ohne ein Zahlensystem, so muß sich das auch in der allgemeinen Behandlung der

Zahl wiederspiegeln. Das Zahlensystem ist nicht etwas Minderwertiges — wie eine Russische Rechenmaschine — das nur für Volksschüler Interesse hat, während die höhere, allgemeine Betrachtung davon absehen kann.


     


     Es geht auch nichts von der Allgemeinheit der Betrachtung verloren, wenn ich die Regeln, die die Richtigkeit und Falschheit von ‘m größer als n’ (also seinen Sinn) bestimmen, etwa im| // für das // Dezimalsystem gebe.    Ein   System brauche ich ja doch und die Allgemeinheit ist dadurch gewahrt, daß man die Regeln gibt, nach denen von einem System in ein anderes übersetzt wird.


     



     Ein Beweis in? der Mathematik ist allgemein, wenn er allgemein anwendbar ist. Eine andere Allgemeinheit kann nicht im Namen der Strenge gefordert werden.    Jeder   Beweis stützt sich auf    bestimmte   Zeichen, auf eine bestimmte Zeichengebung. Es kann nur die eine Art der Allgemeinheit eleganter erschienen, als die andere. ((Dazu die Verwendung des Dezimalsystems in Beweisen über δ
     
und η
     
.))


     



     “Streng” heißt: klar.


     



     “Den mathematischen Satz kann man sich vorstellen, als ein Lebewesen, das selbst weiß, ob es wahr oder falsch ist. (Zum Unterschied von den empirischen Sätzen| // Sätzen der Empirie//.
     Der mathematische Satz weiß selbst, daß er wahr, oder daß er falsch ist. Wenn er von allen Zahlen handelt, so muß er auch schon alle Zahlen übersehen.


     


Hier werde ich also nicht von einem Zufall reden. — Ist die Bedingung eine nicht-mathematische, so wird man dagegen vom Zufall reden können. Z.B. wenn ich sage: alle Zahlen, die ich heute auf den Omnibussen gelesen habe, waren zufällig Primzahlen. (Dagegen kann man natürlich nicht sagen: “die Zahlen 17, 3, 5, 31, sind zufällig Primzahlen”, ebensowenig wie: “die Zahl 3 ist zufällig eine Primzahl”.) “Zufällig” ist wohl der Gegensatz von “allgemein ableitbar”; aber man kann sagen: der Satz “17, 3, 5, 31 sind Primzahlen” ist allgemein ableitbar — so sonderbar das klingt —, wie auch der Satz 2 + 3 = 5.
     Sehen wir nun zu unserm ersten Satz zurück, so fragen wir wieder: Wie soll denn der Satz “alle Zahlen haben die Eigenschaft P” gemeint sein? wie soll man ihn denn wissen können? denn diese Festsetzung gehört ja zur Festsetzung seines Sinnes! Das Wort “zufällig” deutet doch auf eine Verifikation durch sukzessive Versuche und dem widerspricht, daß wir nicht von einer endlichen Zahlenreihe reden.


     


     In der Mathematik sind Beschreibung und Gegenstand äquivalent. “Die fünfte Zahl der Zahlenreihe hat diese Eigenschaften” sagt    dasselbe   wie “5 hat diese Eigenschaften”. Die Eigenschaften eines Hauses    folgen   nicht aus seiner Stellung in einer Häuserreihe; dagegen sind die Eigenschaften einer Zahl die Eigenschaften einer Stellung.


     



     Man kann sagen, daß die Eigenschaften einer bestimmten Zahl nicht vorauszusehen sind. Man sieht sie erst, wenn man zu ihr kommt.
     Das Allgemeine ist die Wiederholung einer Operation. Jedes Stadium dieser Wiederholung hat seine Individualität. Nun ist es nicht etwa so, daß ich durch die Operation von einer Individualität zur andern fortschreite. So daß die Operation das Mittel wäre, um von einer zur andern zu kommen. Gleichsam das Vehikel, das bei jeder Zahl anhält, die man nun betrachten kann. Sondern die dreimalige| // dreimal iterierte // Operation +1 erzeugt und    ist   die Zahl drei.
     (Im Kalkül sind Prozeß und Resultat einander äquivalent.)
     Ehe ich aber nun von “allen diesen Individualitäten”, oder “der Gesamtheit dieser Individualitäten” sprechen wollte, müßte, ich mir    gut   überlegen, welche Bestimmungen ich in diesem Falle für den Gebrauch der Worte “alle” und “Gesamtheit” gelten lassen will.


     



     Es ist schwer, sich von der extensiven Auffassung ganz frei zu machen: So denkt man: “Ja, aber es muß doch eine innere Beziehung zwischen x³ + y³ und z³ bestehen, da doch (zum mindesten) die Extensionen dieser Ausdrücke, wenn ich sie nur kennte, das Resultat einer solchen Beziehung darstellen müßten”. Etwa: “Es müssen doch entweder    wesentlich alle   Zahlen die Eigenschaft P haben, oder nicht; da doch    alle   Zahlen die Eigenschaften haben, oder nicht; wenn ich auch nicht wissen kann, welches der Fall ist.” |//; wenn ich das auch nicht wissen kann.”//


     



     “Wenn ich die Zahlenreihe durchlaufe, so komme ich entweder einmal zu einer Zahl von der Eigenschaft P, oder niemals.” Der Ausdruck “die Zahlenreihe durchlaufen” ist Unsinn; außer es wird ihm ein Sinn    gegeben  , der aber die vermutete Analogie mit dem “durchlaufen der Zahlen von 1 bis 100” aufhebt.


     



     Wenn Brouwer die Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik bekämpft, so hat er Recht, soweit er sich gegen ein Vorgehen richtet, das den Beweisen empirischer Sätze analog ist. Man kann in der Mathematik nie etwas auf    die   Art beweisen: Ich habe 2 Äpfel auf dem Tisch liegen gesehen; jetzt ist nur    einer   da; also hat A einen Apfel gegessen. — Man kann nämlich nicht durch … Ausschließung gewisser Möglichkeiten eine neue beweisen, die nicht, durch die von uns gegebenen Regeln, schon in jener Ausschließung liegt. Insofern gibt es in der Mathematik keine echten Alternativen. Wäre die Mathematik die Untersuchung von erfahrungsmäßig gegebenen Aggregaten, so könnte man durch die Aus-

schließung eines Teils das Nichtausgeschlossene beschreiben, und hier wäre der nicht ausgeschlossene Teil der Ausschließung des andern nicht äquivalent.


     


     Die Betrachtungsweise: daß ein logisches Gesetz, weil es für ein Gebiet der Mathematik gilt, nicht notwendig auch für ein anderes gelten müsse, ist in der Mathematik gar nicht am Platz, ihrem Wesen ganz entgegen. Obwohl manche Autoren gerade das für besonders subtil halten, und entgegen den Vorurteilen.


     



     Wie es sich nun mit derjenigen Allgemeinheit in der Mathematik verhält, deren Sätze nicht von “allen Kardinalzahlen”, sondern, z.B. von “allen reellen Zahlen” handeln|, die nicht von “allen Kardinalzahlen”, sondern, z.B. von “allen reellen Zahlen” spricht, kann man nur erkennen, wenn| // indem // man diese Sätze und ihre Beweise untersucht.| // Wie es sich nun mit derjenigen Allgemeinheit, mit den Sätzen der Mathematik verhält, die nicht von “allen Kardinalzahlen”, sondern, z.B. von “allen reellen Zahlen” handeln, kann man nur erkennen, wenn| indem man diese Sätze und ihre Beweise untersucht.//


     



     Wie ein Satz verifiziert wird, das sagt er. Vergleiche die Allgemeinheit in der Arithmetik mit der Allgemeinheit von nicht arithmetischen Sätzen. Sie wird anders verifiziert und ist darum eine andere. Die Verifikation ist nicht bloß ein| // nicht ein bloßes // Anzeichen der Wahrheit, sondern sie bestimmt den Sinn des Satzes. (Einstein: wie eine Größe gemessen wird, das ist sie.)

     


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Zur Mengenlehre


     









     /“Die rationalen Punkte liegen auf der Zahlengeraden nahe beisammen| // bei einander//”: irreführendes Bild./


     



     Ist ein Raum denkbar, der nur alle rationalen Punkte, aber nicht die irrationalen enthält? Wäre etwa diese Struktur für unsern Raum zu ungenau| // grob//? Weil wir zu den irrationalen Punkten dann (immer) nur näherungsweise

gelangen könnten?| // Weil wir die irrationalen Punkte dann nur annäherungsweise erreichen könnten?// Unser Netz wäre also nicht fein genug? Nein. Die Gesetze gingen uns ab, nicht die Extensionen.


     


     Ist ein Raum denkbar, der nur alle rationalen aber nicht die irrationalen Punkte enthält?
     Und das heißt nur: Sind die irrationalen Zahlen nicht in den rationalen präjudiziert?
     So wenig, wie das Schachspiel im Damespiel.
     Die irrationalen Zahlen füllen keine Lücke aus, die die rationalen offen lassen.


     



     Man wundert sich darüber, daß “zwischen den überall dicht liegenden rationalen Punkten” noch die irrationalen Platz haben. (Welche Verdummung!) Was zeigt eine Konstruktion, wie die des Punktes √2? Zeigt sie diesen Punkt, wie er doch noch zwischen den rationalen Punkten Platz hat? Sie zeigt, daß der durch die Konstruktion    erzeugte   Punkt, nämlich als Punkt    dieser   Konstruktion,    nicht rational   ist. — Und was entspricht dieser Konstruktion in der Arithmetik? Etwa eine Zahl, die sich    doch   noch zwischen die rationalen Zahlen hineinzwängt? Ein Gesetz, das nicht vom Wesen der rationalen Zahl ist.


     



     Der Schnittpunkt zweier Kurven ist nicht das gemeinsame Glied zweier Klassen von Punkten, sondern der Durchschnitt zweier Gesetze. Es sei denn, daß man die erste Ausdrucksweise, sehr irreführend, durch die zweite definiert.


     



     Es mag nach dem Vielen, was ich schon darüber gesagt habe, trivial klingen, wenn ich jetzt sage, daß der Fehler in der mengentheoretischen Betrachtungsweise immer wieder darin liegt, Gesetze und Aufzählungen (Listen) als wesentlich Eins zu betrachten und sie aneinander zu reihen; da, wo das eine nicht ausreicht, das Andere seinen Platz ausfüllt. (So macht es die Dirichlet…sche Auffassung der Funktionen.)


     



     Das Symbol für eine Klasse ist eine Liste.


     



     Die Schwierigkeit liegt auch hier wieder in der Bildung mathematischer Scheinbegriffe. Wenn man z.B. sagt: Man kann die Kardinalzahlen ihrer Größe nach in eine Folge ordnen, aber nicht die rationalen Zahlen, so ist darin unbewußt die Voraussetzung enthalten, als hätte

der Begriff des Ordnens der Größe nach für    die rationalen Zahlen   doch einen Sinn, und als erwiese sich dieses Ordnen nun beim Versuch als unmöglich (was voraussetzt, das der    Versuch   denkbar ist). — So denkt man, ist es möglich zu versuchen    die reellen Zahlen   (als wäre es ein Begriff wie etwa ‘Äpfel auf diesem Tisch’) in eine Reihe zu ordnen, und es erwiese sich nun als undurchführbar.


     


     Wenn der Mengenkalkül sich in seiner Ausdrucksweise soviel als möglich an die Ausdrucksweise des Kalküls der Kardinalzahlen anlehnt, so ist das wohl in mancher Hinsicht belehrend, weil es auf gewisse formale Ähnlichkeiten hinweist, aber auch irreführend, wenn er gleichsam noch etwas ein Messer nennt, das weder Griff noch Klinge mehr hat. (Lichtenberg.)


     



     (Die Eleganz eines mathematischen Beweises kann nur den einen Sinn haben, gewisse Analogien besonders stark zu Tage treten zu lassen, wenn das gerade erwünscht ist, sonst entspringt sie dem Stumpfsinn und hat nur die eine Wirkung, das zu verhüllen, was klar und offenbar sein sollte. Das stumpfsinnige Streben nach Eleganz ist eine Hauptursache, warum die Mathematiker ihre eigenen Operationen nicht verstehen, oder es entspringt die Verständnislosigkeit und jenes Streben einer gemeinsamen Quelle.)

     



     Die Menschen sind im Netz der Sprache gefangen| // verstrickt // und wissen es nicht.


     



     “Es gibt einen Punkt, in dem die beiden Kurven einander schneiden.” Wie weißt Du das? Wenn Du es mir sagst, werde ich wissen, was der Satz “es gibt …” für einen Sinn hat.


     



     Wenn man wissen will, was der Ausdruck “das Maximum einer Kurve” bedeutet, so frage man sich: wie findet man es? — Was anders gefunden wird, ist etwas anderes. Man definiert es als den Punkt der Kurve, der höher liegt als alle andern, und hat dabei wieder die Idee, daß es nur unsere menschliche Schwäche ist, die uns verhindert, alle Punkte der Kurve einzeln durchzugehen und den höchsten unter ihnen auszuwählen. Und dies führt zu der Meinung, daß der höchste Punkt unter einer endlichen Anzahl von Punkten wesentlich dasselbe ist, wie der höchste Punkt einer Kurve, und das man hier eben auf zwei verschiedene Methoden das Gleiche findet, wie man auf verschiedene Weise feststellt, daß jemand im Nebenzimmer ist: anders etwa, wenn die Tür geschlossen ist und wir zu schwach sind, sie zu öffnen, und anders, wenn wir hinein können. Aber, wie gesagt, menschliche Schwäche liegt dort nicht vor, wo die scheinbare Beschreibung der Handlung “die wir nicht ausführen können” sinnlos ist. Es würde freilich nichts schaden, ja sehr interessant sein, die Analogie zwischen dem Maximum einer Kurve und dem Maximum (in anderm Sinne) einer Klasse von Punkten zu sehen, so lange uns die Analogie nicht das Vorurteil eingibt, es liege im Grunde beide Male dasselbe vor.


     



     Die Definition gibt nämlich vor, daß aus dem Gelingen oder Mißlingen des Versuchs, eine wirkliche Teilklasse der ganzen Klasse zuzuordnen, hervorgeht, daß sie unendlich bzw. endlich ist. Während es einen solchen entscheidenden Versuch gar nicht gibt. — ‘Unendliche Klasse’ und ‘endliche Klasse’ sind verschiedene logische Kategorien; was von der einen Kategorie sinnvoll ausgesagt werden kann, kann es nicht von der andern.


     



     Der Satz, daß eine Klasse einer ihrer Subklassen nicht ähnlich ist, ist für endliche Klassen nicht wahr, sondern eine Tautologie. Die grammatischen Regeln über die Allgemeinheit der generellen Impli-

kation in dem Satz “k ist eine Subklasse von K” enthalten das, was der Satz, K sei eine endliche| unendliche Klasse, sagt.| // Die grammatischen Regeln über die Allgemeinheit der| // jener // generellen Implikation im Satz “k ist eine Subklasse von K” enthalten das, was der Satz, K sei eine endliche| unendliche Klasse, sagt.//


     



     /Ein Satz (wie?) “es gibt keine letzte Kardinalzahl” verletzt den naiven — und rechten — Sinn. Wenn ich frage “wer war der letzte Mann der Prozession” und die Antwort lautet “es gibt keinen letzten”? ja, wenn die Frage geheißen hätte “wer war der Fahnenträger”, so hätte ich die Antwort verstanden “es gibt keinen Fahnenträger”. Und nach einer solchen Antwort ist ja jene sinnlose| // verwirrende // gebildet. Wir fühlen nämlich mit Recht: wo von einem Letzten die Rede sein kann, da kann nicht ‘kein Letzter’ sein. Das heißt aber natürlich: Der Satz “es gibt keine letzte” müßte richtig lauten: es hat keinen Sinn, von einer “letzten Kardinalzahl” zu reden, dieser Ausdruck ist unrechtmäßig gebildet./


     



     /“Hat die Prozession ein Ende” könnte auch heißen: ist sie eine in sich geschlossene Prozession. Und nun könnte man sagen| // Und nun höre ich die Mathematiker? sagen // “da siehst Du ja, daß Du Dir sehr wohl einen solchen Fall vorstellen kannst, daß etwas kein Ende hat; warum soll es dann nicht auch andere solche Fälle| // ?—einen andern solchen Fall—?// geben können?” — Aber die Antwort ist: Die “Fälle” in diesem Sinn des Wortes sind grammatische Fälle und sie bestimmen erst den Sinn der Frage. Die Frage “warum soll es nicht auch andere Fälle geben können” ist    der   analog gebildet: “Warum soll es nicht noch andere Fälle von Mineralien| // andere Mineralien // geben können, die im Dunkeln leuchten”, aber hier handelt es sich um Fälle der Wahrheit einer Aussage, dort um ?—Fälle, die den Sinn eines Satzes bestimmen—?| // dort um Fälle, die den Sinn bestimmen//./


     



     Die Ausdrucksweise: m = 2n ordne eine Klasse einer ihrer echten Teilklassen| // Subklassen // zu, kleidet einen einfachen| // trivialen // Sinn durch Heranziehung einer irreführenden Analogie in eine paradoxe Form. (Und statt sich dieser paradoxen Form als etwas Lächerlichem zu schämen, brüstet man sich eines Sieges über alle Vorurteile des Verstandes.) Es ist genau so, als stieße man die Regeln des Schach um und sagte, es habe sich gezeigt, daß man Schach auch ganz anders spielen könne. So verwechselt man erst das Wort “Zahl” mit einem Begriffswort wie “Äpfel”, spricht dann von einer “Anzahl der Anzahlen” und sieht nicht, daß man in diesem Ausdruck nicht beidemal das gleiche Wort “Anzahl” gebrauchen sollte; und endlich hält man es für eine Entdeckung, daß die Anzahl der geraden Zahlen die gleiche ist wie die der geraden und ungeraden.


     


     Weniger irreführend ist es, zu sagen “ m = 2n gibt die Möglichkeit der Zuordnung jeder Zahl mit einer andern”, als “m = 2n ordnet alle Zahlen anderen zu”. Aber auch hier muß erst die Grammatik die Bedeutung des Ausdrucks “Möglichkeit der Zuordnung” lehren.


     



     (Es ist beinahe unglaublich, wie ein Problem durch die irreführenden Ausdrucksweisen, die Generation auf Generation rundherum

stellt, gänzlich, auf Meilen, blockiert wird, so daß es beinahe unmöglich wird, dazuzukommen.)


     



     Wenn 2| zwei Pfeile in derselben Richtung zeigen, ist es dann nicht absurd, diese Richtungen “gleich    lang  ” zu nennen, weil, was in der Richtung des einen Pfeiles liegt, auch in der des andern liegt? — Die Allgemeinheit von m = 2n ist ein Pfeil, der der Operationsreihe entlang weist. Und zwar kann man sagen, der Pfeil weist in's Unendliche; aber heißt das, daß es ein Etwas, das Unendliche, gibt, auf das er — wie auf ein Ding — hinweist? — Der Pfeil bezeichnet gleichsam die Möglichkeit der Lage von Dingen in seiner Richtung. Das Wort “Möglichkeit” ist aber irreführend, denn, was möglich ist, wird man sagen, soll eben nun wirklich werden. Auch denkt man dabei immer an zeitliche Prozesse und schließt

   daraus   daß die Mathematik nichts mit der Zeit zu tun hat, daß die Möglichkeit in ihr bereits Wirklichkeit ist.
     Die “unendliche Reihe der Kardinalzahlen” oder “der Begriff der Kardinalzahl” ist nur so eine Möglichkeit, — wie aus dem Symbol “/0, x, x+1/” klar hervorgeht. Dieses Symbol selbst ist ein Pfeil, dessen Feder die “0”, dessen Spitze “x+1” ist. Es ist möglich, von Dingen zu reden, die in der Richtung des Pfeils liegen, aber irreführend oder absurd, von allen möglichen Lagen der Dinge in der Pfeilrichtung als einem Äquivalent dieser Richtung selbst zu reden. Wenn ein Scheinwerfer Licht in den unendlichen Raum wirft, so beleuchtet er allerdings alles, was in der Richtung seiner Strahlen liegt, aber man soll nicht sagen, er beleuchtet die Unendlichkeit. …


     



     Es ist immer mit Recht höchst verdächtig, wenn Beweise in der Mathematik allgemeiner geführt werden, als es der bekannten Anwendung des Beweises entspricht. Es liegt hier immer der Fehler vor, der in der Mathematik allgemeine Begriffe und besondere Fälle sieht. In der Mengenlehre treffen wir auf Schritt und Tritt diese verdächtige Allgemeinheit.
     Man möchte immer sagen: “Kommen wir zur Sache!”
     Jene allgemeinen Betrachtungen haben stets nur Sinn, wenn man einen bestimmten Anwendungsbereich im Auge hat.
     Es gibt eben in der Mathematik keine Allgemeinheit, deren Anwendung auf spezielle Fälle sich noch nicht voraussehen ließe.
     Man empfindet darum die allgemeinen Betrachtungen der Mengen-

lehre (wenn man sie nicht als Kalkül ansieht) immer als Geschwätz und ist ganz erstaunt, wenn einem eine Anwendung dieser Betrachtungen gezeigt wird. Man empfindet, es geht da etwas nicht ganz mit rechten Dingen zu.


     



     Der Unterschied zwischen etwas Allgemeinem, das man wissen könne und dem Besonderen, das man aber nicht wisse; oder zwischen der Beschreibung des Gegenstandes, die man kenne, und dem Gegenstand, den man nicht gesehen hat, ist auch ein Stück, das man von der physikalischen Beschreibung der Welt in die Logik hinüber genommen hat. Daß unsere Vernunft Fragen erkennen kann, aber deren Antworten nicht, gehört auch hierher.


     



     Die Mengenlehre sucht das Unendliche auf eine allgemeinere Art zu fassen, als es die Untersuchung der Gesetze der reellen Zahlen kann. Sie sagt, daß das wirklich Unendliche mit dem mathematischen Symbolismus überhaupt nicht zu fassen ist, und daß es also nur beschrieben und nicht dargestellt werden kann. Die Beschreibung würde es etwa so erfassen, wie man eine Menge von Dingen, die man nicht alle in der Hand halten kann, in einer Kiste verpackt trägt. Sie sind dann unsichtbar, und doch wissen wir, daß wir sie tragen (gleichsam indirekt). Man könnte von dieser Theorie sagen, sie kaufe die Katze im Sack. Soll sich's das Unendliche in seine Kiste einrichten, wie es will.
     Darauf beruht auch die Idee, daß man logische Formen    beschreiben   kann. In so einer Beschreibung werden die Strukturen und etwa zuordnende Relationen in verpacktem Zustand präsentiert| gezeigt| // …werden uns die Strukturen in einer Verpackung gezeigt, die ihre Form unkenntlich macht // und so sieht es aus, als könne man von einer Struktur reden, ohne sie in der Sprache selber wiederzugeben. So verpackte Begriffe dürfen wir allerdings verwenden, aber unsere Zeichen haben ihre Bedeutung dann über

Definitionen, die eben die Begriffe| // Strukturen // so verhüllt haben; und gehen wir diesen Definitionen nach, so werden die Strukturen wieder enthüllt. (Vergl. Russells Definition von “Rx”.)


     


     Es geht, sozusagen, die Logik nichts an, wieviele Äpfel vorhanden sind, wenn von “allen Äpfeln” geredet wird; dagegen ist es anders mit den Zahlen: für die ist sie einzeln verantwortlich.


     



     Die Mathematik besteht aus Rechnungen.| // Die Mathematik besteht ganz aus Rechnungen.//


     



     In der Mathematik ist    alles   Algorithmus,    nichts   Bedeutung; auch dort, wo es so scheint, weil wir mit    Worten über   die mathematischen Dinge zu sprechen scheinen. Vielmehr bilden wir dann eben mit diesen Worten einen Algorithmus.


     



     In der Mengenlehre müßte man das, was Kalkül ist, trennen von dem, was    Lehre   sein will (und natürlich nicht sein kann). Man muß also die Spielregeln von unwesentlichen Aussagen über die Schachfiguren trennen.


     



     Wie Frege in Cantors angebliche Definition von “größer”, “kleiner”, “+”, “-”, etc. statt dieser Zeichen neue Wörter einsetzte, um zu zeigen, daß keine wirkliche Definition vorliege, ebenso könnte man in der ganzen Mathematik statt der geläufigen Wörter, insbesondere statt des Wortes “unendlich” und seiner Verwandten ganz neue, bisher bedeutungslose Ausdrücke setzen, um zu sehen, was der Kalkül mit diesen Zeichen wirklich leistet und was er nicht leistet. Wenn die Meinung verbreitet wäre, daß das Schachspiel uns einen Aufschluß über Könige und Türme gäbe, so würde ich vorschlagen, den Figuren neue Formen und andere Namen zu geben, um die Einsicht zu erleichtern| // um zu demonstrieren//, daß alles zum Schachspiel Gehörige in seinen| // den // Regeln liegen muß.


     



     Was ein geometrischer Satz bedeutet, welche| // was für eine Art der // Allgemeinheit er hat, das muß sich alles zeigen, wenn wir sehen, wie er angewendet wird. Denn, wenn Einer auch etwas Unfaßbares| // Unerreichbares // mit ihm    meinte  | // meinen könnte//, so hilft ihm das nicht, da er ihn ja doch nur ganz offenbar| // offen//, und jedem verständlich, anwenden kann.
     Wenn sich etwa jemand unter dem Schachkönig auch etwas Mystisches vorstellt, so kümmert uns das nicht, weil er ja doch mit ihm nur auf den 8×8 Feldern des Schachbretts ziehen kann.


     



     Es gibt ein Gefühl: “In der Mathematik kann es nicht Wirklichkeit und Möglichkeit geben. Alles ist auf    einer   Stufe. Und zwar in gewissem Sinne    wirklich  ”. — Und das ist richtig. Denn Mathematik ist ein Kalkül; und der Kalkül sagt von keinem Zeichen, daß es nur    möglich   wäre, sondern er hat es nur mit den Zeichen zu tun, mit denen er    wirklich   operiert. (Vergleiche die Begründung der Mengenlehre mit der Annahme eines möglichen Kalküls mit unendlichen Zeichen.)


     



     Die Mengenlehre, wenn sie sich auf die menschliche Unmöglichkeit eines direkten Symbolismus des Unendlichen beruft, führt dadurch die denkbar krasseste Mißdeutung ihres eigenen Kalküls ein. Es ist freilich eben diese Mißdeutung, die für die Erfindung dieses Kalküls verantwortlich ist. Aber der Kalkül an sich ist natürlich dadurch nicht als etwas Falsches erwiesen (höchstens als etwas Uninteressantes), und es ist sonderbar, zu glauben, daß dieser Teil der Mathematik durch irgend welche philosophische (oder mathematische) Untersuchungen gefährdet ist. (Ebenso könnte das Schachspiel durch die Entdeckung gefährdet werden, daß sich Kriege zwischen zwei Armeen nicht so abspielen, wie der Kampf auf dem Schachbrett.) Was der Mengenlehre verloren gehen muß, ist vielmehr die Atmosphäre von Gedankennebeln, die den bloßen Kalkül umgibt. Also die Hinweise auf einen, der Mengenlehre zugrunde liegenden, fiktiven Symbolismus, der nicht zu ihrem Kalkül verwendet wird, und dessen scheinbare Beschreibung in Wirklichkeit Unsinn ist. (In der Mathematik können| // dürfen // wir alles fingieren, nur nicht einen Teil unseres Kalküls.)


     


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Extensive Auffassung der reellen Zahlen.


     


⇒
     Ein Schnitt ist ein    Prinzip   der Teilung in größer und kleiner.


     









     /Das Rätselhafte am Kontinuum ist, wie das Rätselhafte der Zeit für Augustinus, dadurch bedingt, daß wir durch die Sprache verleitet werden, ein Bild auf sie anzuwenden, das nicht paßt. Die Mengenlehre behält das unpassende Bild des Diskontinuierlichen bei, aber sagt diesem Bilde Widersprechendes von ihm aus, mit der Idee, mit Vorurteilen zu brechen. Während in Wirklichkeit darauf hingewiesen werden sollte, daß dieses Bild eben nicht paßt und daß man es allerdings nicht strecken kann, ohne es zu zerbrechen| // zerreißen//, aber ein neues und in gewissem Sinne dem alten ähnliches brauchen kann./


     



     /Der Wirrwarr in der Auffassung des “wirklich Unendlichen” kommt von dem unklaren Begriff der irrationalen Zahl her. D.h. davon, daß die logisch verschiedensten Gebilde, ohne klare Begrenzung des Begriffs, “irrationale Zahl” genannt werden. Die Täuschung, als hätte man einen festen Begriff, rührt daher| // beruht darauf//, daß man in Zeichen von der Art “ 0, abc …ad infinitum” einen Standard| // Begriff| // Bild // zu haben glaubt, dem sie (die Irrationalzahlen) jedenfalls entsprechen müssen./


     



     “Angenommen, ich schneide eine Strecke dort, wo kein rationaler Punkt (keine rationale Zahl) ist”. Aber kann man denn das? von was für Strecken sprichst Du? — “Aber, wenn meine Meßinstrumente fein genug wären, so könnte ich mich doch durch fortgesetzte Bisektionen einem gewissen Punkt unbegrenzt nähern.” — Nein, denn ich könnte ja eben niemals

erfahren, ob mein Punkt ein solcher ist. Meine Erfahrung wird immer nur sein, daß ich ihn bis jetzt nicht erreicht habe. “Aber wenn ich nun mit einem absolut genauen Reißzeug die Konstruktion der √2 durchgeführt hätte und mich nun dem erhaltenen Punkt durch Bisektion nähere, dann    weiß   ich doch, daß dieser Prozeß den konstruierten Punkt niemals erreichen wird.” — Aber das wäre doch sonderbar, wenn so die eine Konstruktion der andern sozusagen etwas vorschreiben könnte! Und so ist es ja auch nicht. Es ist sehr leicht möglich, daß ich bei der ‘genauen’ Konstruktion der √2 zu einem Punkt komme, den die Bisektion, sagen wir nach 100 Stufen, erreicht; — aber dann werden wir sagen: unser Raum ist nicht euklidisch. —


     


     Der “Schnitt in einem irrationalen Punkt” ist ein Bild, und ein irreführendes Bild.
⇐

     


     Sind durch den Schnitt einer Strecke die Resultate aller Bisektionen, die sich dem Schnittpunkt nähern sollen, vorausbestimmt? Nein.


     


     In dem vorigen Beispiel, in dem ich mich bei der sukzessiven Einschränkung eines Intervalls durch Bisektionen einer Strecke von den Ergebnissen des Würfelns leiten ließ, hätte ich ebensowohl das Anschreiben eines Dezimalbruchs von Würfeln leiten lassen können. So bestimmt auch die Beschreibung “endloser Vorgang des Wählens zwischen 1 und 0” beim Anschreiben eines Dezimalbruches kein Gesetz. Man möchte etwa sagen: Die Vorschrift des endlosen Wählens zwischen 0 und 1 in diesem Fall könnte durch ein Symbol “0,
000
111
…ad inf.” wiedergegeben werden. Wenn ich aber ein Gesetz so andeute: “0,001001001…ad infinitum”, so ist es nicht das endliche Reihenstück als Spezimen der unendlichen Reihe, was ich zeigen will, sondern

die aus ihm entnehmbare Gesetzmäßigkeit. Aus “0,
000...
111...
ad inf.…ad infinitum” entnehme ich eben    kein   Gesetz, sondern gerade den Mangel eines Gesetzes.


     



     “Welches Kriterium gibt es dafür, daß die irrationalen Zahlen komplett sind? Sehen wir uns eine irrationale Zahl an: Sie läuft entlang einer Reihe rationaler Näherungswerte. Wann verläßt sie diese Reihe? Niemals. Aber sie kommt allerdings auch niemals zu einem Ende.
     Angenommen, wir hätten die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen. Wie würde uns diese abgehen? Und wie würde sie nun — wenn sie dazukäme, die Lücke füllen? — Angenommen, es wäre π. Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu    jedem   beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von π übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann beliebig weit “draußen” liegen, so daß ich zu jeder Reihe, die π begleitet, eine finden kann, die es weiter begleitet. Wenn ich also die Gesamtheit der irrationalen Zahlen habe, außer π, und nun π einsetze, so kann ich keinen Punkt angeben, an dem π nun wirklich nötig wird, es hat an    jedem   Punkt einen Begleiter, der es vom Anfang an begleitet.
     Auf die Frage “wie würde uns π abgehen”, müßte man antworten: π, wenn es eine Extension wäre, würde uns niemals abgehen. D.h., wir könnten niemals eine Lücke bemerken, die es füllt. Wenn man uns fragte: “aber hast Du auch einen unendlichen Dezimalbruch, der die Ziffer m an der r-ten Stelle hat und n an der s-ten, etc.?” — wir könnten ihm immer dienen.)


     



     (Die Vorschriften| Gesetze, die den irrationalen Zahlen entsprechen, gehören insofern alle der gleichen Type an, als sie alle schließlich Vorschriften zur sukzessiven Erzeugung von Dezimalbrüchen sein müssen. Die gemeinsame Dezimalnotation bedingt in gewissem Sinne, eine gemeinsame Type.)
     Man könnte das auch so sagen: Beim Approximieren durch fortgesetzte Zweiteilung kann man sich    jedem   Punkt der Strecke durch    rationale   Zahlen nähern. Es gibt keinen Punkt, dem man sich nur durch irrationale Schritte einer bestimmten Type nähern könnte. Dies ist natürlich nur, in andere Worte gekleidet, die Erklärung, daß wir unter irrationaler Zahl einen unendlichen Dezimalbruch verstehen. Und diese Erklärung wieder ist weiter nichts, als eine beiläufige Erklärung der Dezimalnotation, etwa mit einer Andeutung, daß wir Gesetze unterscheiden, die periodische Dezimalbrüche liefern und andere.


     



     Durch die falsche Auffassung des Wortes “unendlich” und der Rolle der “unendlichen Entwicklung” in der Arithmetik der reellen Zahlen, wird man zu der Meinung verführt, es gäbe eine einheitliche Notation der irrationalen Zahlen (nämlich eben die der unendlichen Extension, z.B. der unendlichen Dezimalbrüche).
     Dadurch, daß man bewiesen hat, daß für jedes Paar von Kardinalzahlen x und y (x/y)² ≠ 2 ist, ist doch nicht √2    einer   Zahlenart — genannt “die irrationalen Zahlen” — eingeordnet. Diese Zahlenart müßte ich doch erst aufbauen; oder: von der neuen Zahlenart ist mir doch nicht mehr bekannt, als    ich   bekannt mache.


     


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Arten irrationaler Zahlen
(π', P, F)


     







     π' ist eine Regel zur Erzeugung von Dezimalbrüchen, und zwar ist die Entwicklung von π' dieselbe, wie die von π, außer wenn in der Entwicklung von π eine Gruppe 777 vorkommt; in diesem Falle tritt statt dieser Gruppe die Gruppe 000. Unser Kalkül kennt keine Methode, um zu finden, wo wir in der Entwicklung von π auf so eine Gruppe stoßen.
     P ist eine Regel zur Erzeugung von Dualbrüchen. In der Entwicklung steht an der n-ten Stelle eine 1 oder eine 0, je nachdem n prim ist oder nicht.
     F ist eine Regel zur Erzeugung von Dualbrüchen. An der n-ten Stelle steht eine 0, außer dann, wenn ein Zahlentrippel x, y, z aus den ersten 100 Kardinalzahlen die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ löst.


     


     Man möchte sagen, die einzelnen Ziffern der Entwicklung (von π z.B.) sind immer nur die Resultate, die Rinde des fertigen Baumes. Das, worauf es ankommt, oder woraus noch etwas Neues wachsen kann, ist im Innern des Stammes, wo die Triebkräfte sind. Eine Änderung des Äußeren ändert den Baum überhaupt nicht. Um ihn zu ändern, muß man in den noch lebenden Stamm gehen.


     


Ich kann ja auch ein Intervall einen Punkt nennen; ja es kann einmal praktisch sein, das zu tun; aber wird es nun einem Punkt ähnlicher, wenn ich vergesse, daß ich hier das Wort “Punkt” in doppelter Bedeutung gebraucht habe?
     Es zeigt sich hier klar, daß die Möglichkeit der Dezimalentwicklung π' nicht zu einer Zahl im Sinne von π macht. Die Regel für diese Entwicklung ist natürlich eindeutig, so eindeutig, wie die für π oder √2, aber das ist kein Argument dafür, daß π' eine reelle Zahl ist; wenn man die Vergleichbarkeit mit andern reellen Zahlen| // mit rationalen Zahlen// für ein wesentliches Merkmal der reellen Zahl nimmt. Man kann ja auch von dem Unterschied zwischen den rationalen und den irrationalen Zahlen abstrahieren, aber der Unterschied verschwindet doch dadurch nicht. Daß π' eine eindeutige Regel zur Entwicklung von Dezimalbrüchen ist, bedeutet| // konstituiert // natürlich eine Ähnlichkeit zwischen π' und π oder √2; aber auch ein Intervall hat Ähnlichkeit mit einem Punkt, etc.. Allen Irrtümern, die in diesem Kapitel der Philosophie der Mathematik gemacht werden, liegt immer wieder die Verwechslung zu Grunde zwischen internen Eigenschaften einer Form (der Regel als Bestandteil des Regelverzeichnisses) und dem, was man im gewöhnlichen Leben “Eigenschaft” nennt (rot als Eigenschaft dieses Buches). Man könnte auch sagen; die ?—Widersprüche und Unklarheiten—? werden dadurch hervorgerufen, daß die Mathematiker| // Menschen // einmal unter einem Wort, z.B. “Zahl”, ein bestimmtes Regelverzeichnis verstehen, ein andermal ein variables Regelverzeichnis; so als nennte ich “Schach” einmal das bestimmte Spiel, wie wir es heute spielen, ein andermal das Substrat einer bestimmten historischen Entwicklung.


     



     “Wie weit muß ich π entwickeln, um es einigermaßen zu kennen?” — Das heißt natürlich nichts. Wir kennen es also schon, ohne es überhaupt zu entwickeln. Und, in diesem Sinne, könnte man sagen, kenne ich π' gar nicht. Hier zeigt sich nur ganz deutlich, daß π' einem anderen System angehört als π, und das erkennt man, wenn man, statt “die Entwicklungen” der beiden zu vergleichen, die Art der Gesetze allein ins Auge faßt.

     


Die änderung des Gesetzes ist von viel fundamentalerer Art, als es zuerst den Anschein haben könnte. Ja, wenn wir das falsche Bild von der unendlichen Extension vor uns haben, dann kann es allerdings scheinen, als ob ich durch die Hinzufügung der Ersetzungsregel 7 → 5 zur √2 diese viel weniger verändert hätte, als etwa durch Änderung der √2 in √2,1 denn die Entwicklungen von lauten denen von √2 sehr ähnlich, während die Entwicklung der √2,1 schon nach der zweiten Stelle gänzlich von der der √2 abweicht.


     



     Gebe ich eine Regel R zur Bildung von Extensionen an, aber so, daß mein Kalkül kein Mittel kennt, vorherzusagen, wie oft höchstens sich eine scheinbare Periode der Extension wiederholen kann, dann ist R von einer reellen Zahl insofern verschieden, als ich R-a in gewissen Fällen nicht mit einer Rationalzahl vergleichen kann, so daß der Ausdruck R-a = b unsinnig wird. Wäre z.B. die mir bekannte Entwicklung von R bis auf weiteres 3,141111…, so ließe es sich von der Differenz R-3,141∙ nicht sagen, sie sei größer, oder sie sei kleiner, als 0; sie läßt sich also in diesem Sinne nicht mit 0 vergleichen, also nicht mit einem Punkt

der Zahlenachse, und sie und R nicht in demselben Sinne Zahl nennen wie einen dieser Punkte.


     



     /Die Ausdehnung eines Begriffes der Zahl, des Begriffs ‘alle’, etc. erscheint uns (ganz) harmlos; aber sie ist es nicht, wenn| // sobald // wir vergessen, daß wir unsern Begriff tatsächlich geändert haben./


     



     /Was die irrationalen Zahlen betrifft, so sagt meine Untersuchung nur, daß es falsch (oder irreführend) ist, von Irrationalzahlen zu sprechen, indem man sie als Zahlenart den Kardinalzahlen und Rationalzahlen gegenüberstellt, weil man “Irrationalzahlen” in Wirklichkeit verschiedene Zahlen-
arten nennt, — voneinander so verschieden, wie die Rationalzahlen von jeder dieser Arten./


     



     Es wäre eine gute Frage für die Scholastiker gewesen: “Kann Gott alle Stellen von π kennen”.


     



     Es tritt uns bei diesen Überlegungen immer wieder etwas entgegen, was man “arithmetisches Experiment” nennen möchte. Was herauskommt ist zwar durch das Gegebene bestimmt, aber ich kann nicht erkennen,    wie   es dadurch bestimmt ist. So geht es mit dem Auftreten der 7 in der Entwicklung von π; so ergeben sich auch die Primzahlen als Resultate eines Experiments. Ich kann mich davon überzeugen, daß 31 eine Primzahl ist, aber ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen ihr (ihrer Lage in der Reihe der Kardinalzahlen) und der Bedingung, der sie entspricht. — Aber diese Perplexität ist nur die Folge eines falschen Ausdrucks. Der Zusammenhang, den ich nicht zu sehen glaube, existiert gar nicht. Ein — sozusagen unregelmäßiges — Auftreten der 7 in der Entwicklung von π gibt es gar nicht, denn es gibt ja keine Reihe, die “   die   Entwicklung von π” hieße. Es gibt Entwicklungen von π, nämlich die, die man entwickelt hat (vielleicht 1000) und in diesen kommt die 7 nicht “regellos” vor, denn ihr Auftreten in ihnen läßt sich beschreiben. — (Dasselbe für die “Verteilung der Primzahlen”. Wer uns ein Gesetz dieser Verteilung gibt, gibt uns eine    neue   Zahlenreihe,    neue   Zahlen.) (Ein Gesetz des Kalküls, das ich nicht kenne, ist kein Gesetz.) (Nur was ich    sehe  , ist ein Gesetz; nicht, was ich    beschreibe  . Nur das hindert mich, mehr in meinen Zeichen auszudrücken, als ich verstehen kann.)


     



     Hat es keinen Sinn, — auch dann, wenn der Fermatsche Satz bewiesen ist, — zu sagen F = 0,11? (Wenn ich etwa in der Zeitung davon läse.) Ja, ich werde dann sagen: “nun können wir also schreiben ‘F = 0,11’”. D.h. es liegt nahe, das Zeichen “F” aus dem früheren Kalkül, in dem es keine Rationalzahl bezeichnete, in den neuen hinüberzunehmen und nun 0,11 damit zu bezeichnen.


     


     F wäre ja eine Zahl, von der wir nicht wüßten, ob sie rational oder irrational ist.

     



     Man könnte was ich meine auch in den Worten ausdrücken: Man kann keine Verbindung von Teilen der Mathematik oder Logik herausfinden, die schon vorhanden war, ohne daß man es wußte.


     



     In der Mathematik gibt es kein “noch nicht” und kein “bis auf weiteres” (außer in dem Sinne, in welchem man sagen kann, man habe noch nicht 1000-stellige Zahlen miteinander multipliziert).


     



     “Ergibt die Operation, z.B. eine rationale Zahl?” — wie kann das gefragt werden, wenn man keine Methode zur Entscheidung der Frage hat? denn die Operation    ergibt   doch nur im festgesetzten Kalkül. Ich meine: “ergibt” ist doch wesentlich Präsens| // zeitlos//. Es heißt doch nicht: “ergibt mit der Zeit”! — sondern: ergibt nach der gegenwärtigen Regel.| // …nach der jetzt bekannten, festgesetzten, Regel.//


     



     “Die Lage aller Primzahlen muß doch irgendwie vorausbestimmt sein. Wir rechnen sie nur sukzessive aus, aber sie sind alle schon bestimmt. Gott kennt sie sozusagen alle. Und dabei scheint es doch möglich, daß sie nicht durch ein Gesetz bestimmt sind.—” Immer wieder das Bild von der Bedeutung eines Wortes, als einer vollen Kiste, deren Inhalt uns mit ihr und in ihr verpackt gebracht wird, und den wir nur zu untersuchen haben. — Was wissen wir denn von den Primzahlen? Wie ist uns denn dieser Begriff überhaupt gegeben? Treffen wir nicht selbst die Bestimmungen über ihn? Und wie seltsam, daß wir dann annehmen, es müssen Bestimmungen über ihn getroffen sein, die wir nicht getroffen haben. Aber der Fehler ist begreiflich. Denn wir gebrauchen das Wort “Primzahlen” und es lautet ähnlich wie “Kardinalzahlen’, “Quadratzahlen”, “gerade Zahlen”, etc.. So denken wir, es wird sich ähnlich gebrauchen lassen, vergessen aber, daß wir ganz andere —    andersartige   — Regeln für das Wort “Primzahl” gegeben haben, und kommen nun mit uns selbst in einen seltsamen Konflikt. — Aber wie ist das möglich? die Primzahlen sind doch die uns wohlbekannten Kardinalzahlen, — wie kann man dann sagen, der Begriff der Primzahl sei in anderem Sinne ein Zahlbegriff, als der der Kardinalzahl? Aber hier spielt uns wieder die Vorstellung einer “unendlichen Extension” als einem Analogon| eines Analogons zu den uns bekannten “endlichen” Extensionen einen Streich. Der Begriff ‘Primzahl’ ist freilich mit Hilfe des Begriffes

‘Kardinalzahl’ erklärt, aber nicht “die Primzahlen” mit Hilfe der “Kardinalzahlen”; und den Begriff ‘Primzahl’    haben wir   in wesentlich anderer Weise aus dem Begriff ‘Kardinalzahl’ abgeleitet, als, etwa, den Begriff ‘Quadratzahl’. (Wir können uns also nicht wundern, wenn er sich anders benimmt.) Man könnte sich sehr wohl eine Arithmetik denken, die — sozusagen — beim Begriff ‘Kardinalzahl’ sich nicht aufhält, sondern gleich zu dem der Quadratzahl übergeht (diese Arithmetik wäre natürlich nicht so anzuwenden, wie die unsere). Aber der Begriff ‘Quadratzahl’ hätte dann nicht den Charakter, den er in unserer Arithmetik hat; daß er nämlich wesentlich ein Teilbegriff sei, daß die Quadratzahlen wesentlich ein Teil der Kardinalzahlen seien; sondern sie wären eine komplette Reihe mit einer kompletten Arithmetik. Und nun denken wir uns dasselbe für die Primzahlen gemacht! Da würde es klar, daß diese nun in einem andern Sinne “Zahlen” seien, als z.B. die Quadratzahlen; und als die Kardinalzahlen.


     



     Könnten die Berechnungen eines Ingenieurs ergeben, daß die Stärke| // daß eine Dimension // eines Maschinenteils bei gleichmäßig wachsender Belastung in der Reihe der Primzahlen fortschreiten müsse? |//, daß die Stärken eines Maschinenteils bei gleichmäßig wachsender Belastung in der Reihe der Primzahlen fortschreiten müssen? //

     


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Regellose unendliche Dezimalzahl


     









     “Regellose unendliche Dezimalzahl”. Die Auffassung ist immer die, als ob wir nur Wörter unserer Umgangssprache zusammenstellen brauchten, und die Zusammenstellung hätte damit einen Sinn, den wir jetzt eben erforschen müßten — wenn er uns nicht gleich ganz klar sein sollte. Es ist, als wären die Wörter Ingredienzien einer chemischen Verbindung, die wir zusammenschütten, sich miteinander verbinden lassen, und nun müßten wir eben die Eigenschaften der (betreffenden) Verbindung untersuchen. Wer sagte, er verstünde den Ausdruck “regellose unendliche Dezimalzahl” nicht, dem würde geantwortet: “das ist nicht wahr, Du verstehst ihn sehr gut! weist Du nicht, was die Worte “regellos”, “unendlich” und “Dezimalzahl” bedeuten?! — Nun, dann verstehst Du auch ihre Verbindung”. Und mit dem ‘Verständnis’ ist hier gemeint, daß er diese Wörter in gewissen Fällen anzuwenden weiß und etwa eine    Vorstellung mit ihnen verbindet  . In Wirklichkeit tut der, welcher diese Worte zusammenstellt und fragt “was bedeutet das” etwas ähnliches, wie die kleinen Kinder, die ein Papier mit regellosen Strichen bekritzeln, es dem Erwachsenen zeigen und fragen: “was ist das?”


     



     “Unendlich kompliziertes Gesetz”, “unendlich komplizierte Konstruktion”. (“Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hört, es müsse sich dabei auch etwas denken lassen”.)


     



     Wie unterscheidet sich ein unendlich kompliziertes Gesetz vom Fehlen eines Gesetzes?


     


     (Vergessen wir nicht: Die Überlegungen der Mathematiker über das Unendliche sind doch lauter endliche Überlegungen. Womit ich nur meine, daß sie ein Ende haben.)


     



     “Eine regellose unendliche Dezimalzahl kann man sich z.B. dadurch erzeugt denken, daß endlos gewürfelt wird und die Zahl der Augen jedesmal eine Dezimalstelle ist”. Aber, wenn endlos gewürfelt wird, kommt ja eben kein endgültiges Resultat heraus.


     



     “Nur der menschliche Intellekt kann das nicht erfassen, ein höherer könnte es!” Gut, dann beschreibe mir die Grammatik des Ausdrucks “höherer Intellekt”; was kann ein solcher erfassen und was nicht, und unter welchen Umständen| // in welchem Falle (der Erfahrung) // sage ich, daß ein Intellekt etwas erfaßt? Du wirst dann sehen, daß die Beschreibung des Erfassens das Erfassen selbst ist. (Vergleiche: Lösung eines mathematischen Problems.)


     


     Nehmen wir an, wir würfen mit einer Münze “Kopf und Adler” und teilen nun eine Strecke AB nach folgender Regel: “Kopf” sagt:
     
nimm die linke Hälfte und teile sie, wie der nächste Wurf vorschreibt. “Adler” sagt: nimm die rechte Hälfte etc. Durch fortgesetztes Würfeln erzeuge ich dann Schnittpunkte, die sich in einem immer kleineren Intervall bewegen. Beschreibt es nun die Lage eines Punktes, wenn ich sage, es solle der sein, dem sich bei fortgesetztem Würfeln die Schnitte unendlich nähern? Hier glaubt man etwa einen Punkt bestimmt zu haben, der einer regellosen unendlichen Dezimalzahl entspricht. Aber die

Beschreibung bestimmt doch    ausdrücklich: keinen   Punkt; es sei denn, daß man sagt, daß die Worte “Punkt auf dieser Strecke” auch “einen Punkt bestimmen”. Wir verwechseln hier die Vorschrift des Würfelns mit der mathematischen Vorschrift, etwa Dezimalstellen der √2 zu erzeugen. Diese mathematischen Vorschriften    sind   die Punkte. D.h., es lassen sich zwischen diesen Vorschriften Beziehungen finden, die in ihrer Grammatik den Beziehungen “größer” und “kleiner” zwischen zwei Strecken analog sind und daher mit diesen Worten bezeichnet werden. Die Vorschrift, Stellen der √2 auszurechnen, ist das Zahlzeichen der irrationalen Zahl selbst; und ich rede hier von einer “Zahl”, weil ich mit diesen Zeichen (gewissen Vorschriften zur Bildung von Rationalzahlen) ähnlich rechnen kann, wie mit den Rationalzahlen selbst. Will ich also analog sagen, die Vorschrift des endlosen Halbierens nach Kopf und Adler bestimme einen Punkt, eine Zahl, so müßte das heißen, daß diese Vorschrift als Zahlzeichen, d.h. analog andern Zahlzeichen, gebraucht werden kann. Das ist aber natürlich nicht der Fall. Sollte diese Vorschrift einem Zahlzeichen entsprechen, so höchstens (sehr entfernt) dem unbestimmten Zahlwort “einige”, denn sie tut nichts, als eine Zahl offen zu lassen. Mit einem Wort, ihr entspricht nichts anderes, als das ursprüngliche Intervall AB.


     


Komplex und Tatsache


     

























     Der Gebrauch des Wortes “Tatsache” und “Tat”. — “Das war eine edle Tat”. — “Aber das ist ja nie geschehen.” —
     Es liegt nahe, das Wort “Tat” so gebrauchen zu wollen, daß es nur dem    wahren   Satz entspricht. Man redet dann also nicht von einer Tat, die nie| // nicht// getan wurde. Aber der Satz “das war ein edle Tat” muß doch seinen Sinn behalten, auch wenn ich mich darin irre, daß geschehen ist,

was ich die Tat nenne. Und darin liegt bereits alles Wichtige und ich kann nur die Bestimmung treffen, daß ich die Wörter “Tat”, “Tatsache”, (etwa auch “Ereignis”) nur in einem Satz verwenden werde, der komplett, das Bestehen dieser behauptet.


     


      Es wäre besser, die Einschränkung in dem Gebrauch dieser Wörter fallen zu lassen, da sie nur irreführend wirkt, und ruhig zu sagen “diese Tat ist nicht begangen worden”, “diese Tatsache besteht nicht”, “dieses Ereignis ist nicht eingetreten”.


     



     Komplex ist nicht gleich Tatsache. Denn von einem Komplex sage ich z.B., er bewege sich von einem Ort zum andern, aber nicht von einer Tatsache.
     Daß aber dieser Komplex sich jetzt dort befindet, ist eine Tatsache.


     


Konstellation besteht ganz aus Gegenständen| // Bestandteilen//, die ich schon kenne; aber man kann nicht ‘auf eine falsche Tatsache zeigen’ und dies sagen.


     


     Der Ausdruck “eine Tatsache beschreiben” oder “die Beschreibung einer Tatsache” für die Aussage, die das Bestehen der Tatsache behauptet, ist auch irreführend, weil es so klingt, wie “das Tier beschreiben, das ich gesehen habe”.


     


     Man sagt freilich auch “auf die Tatsache hinweisen”, aber das heißt immer “auf die Tatsache hinweisen, daß…”. Dagegen heißt “auf eine Blume zeigen” (oder “hinweisen”) nicht, darauf hinweisen, daß diese Blüte auf diesem Stengel sitzt; denn von dieser Blüte und diesem Stengel braucht da gar nicht die Rede zu sein.


     


     Ebensowenig kann es heißen, auf die Tatsache hinweisen, daß dort diese Blume steht.


     


     Auf eine Tatsache hinweisen heißt, etwas behaupten, aussagen. ‘Auf eine Blume hinweisen’ heißt das nicht.


     


     Auch die Kette besteht (nur?) aus ihren Gliedern, nicht aus ihnen und ihren| // deren// räumlichen Beziehungen.


     


     Die Tatsache, daß diese Glieder so zusammenhängen, ‘   besteht  ’

aus gar nichts.


     


     Die Wurzel dieser Verwechslung ist der verwirrende Gebrauch des Wortes “Gegenstand”.

     


     Der Teil kleiner als der Ganze. Das gäbe auf Tatsache und Konstituent angewandt eine Absurdität.


     



     Das Schema: Ding-Eigenschaft. Man sagt: eine Handlung habe eine Eigenschaft! etwa die der Schnelligkeit; oder die? der Güte.

     


Begriff & Gegenstand
Eigenschaft & Substrat


     

























     Begriff und Gegenstand: das ist bei Russell und Frege eigentlich Eigenschaft und Ding; und zwar denke ich hier an einen räumlichen Körper und seine Farbe. Man kann auch sagen: Begriff und Gegenstand, — das ist Prädikat und Subjekt. Und die Subjekt-Prädikat-Form ist eine Ausdrucksform menschlicher Sprachen. Es ist die Form “x ist y” (“x y”): “mein Bruder ist groß”, “das Gewitter ist nahe”, “dieser Kreis ist rot”, “August ist stark”, “2 ist eine Zahl”, “dieses Ding ist ein Stück Kohle”.
     Wie nun die Physik von Körpern der Erfahrung den Begriff

     



     Ich möchte sagen: die alte Logik hat viel mehr Konvention und Physik in sich als man geglaubt hat. Wenn das Substantiv der Name eines    Körpers   ist, das Verbum etwa zur Bezeichnung einer Bewegung, das Adjektiv der Eigenschaft eines Körpers dient, dann sieht man wohl, wie voraussetzungsvoll diese Logik ist und kann annehmen, daß diese ursprünglichen Voraussetzungen (auch) noch tiefer in die Anwendung dieser Worte, in die Logik der Sätze reicht.


     



     (Es wäre unsere Aufgabe, Figuren verschiedener Gestalt, die sich in einer Ebene I befänden in eine Ebene II zu projizieren. Wir könnten dann eine Projektionsmethode bestimmen (etwa die der orthogonalen Projektion) und nach ihr die Abbildung führen. Wir könnten dann auch leicht von den Bildern auf der Ebene II auch die Figuren in I schließen.| // Schlüsse ziehen.// Wir können aber auch diesen Weg einschlagen: Wir bestimmen etwa (vielleicht weil uns diese Darstellung am bequemsten ist), daß die Bilder in der zweiten Ebene sämtlich Kreise sein sollen, — was immer die abgebildeten Figuren in der ersten Ebene sein mögen. D.h., verschiedene Figuren der ersten Ebene werden durch verschie-

dene Projektionsmethode in die zweite abgebildet. Um dann die Kreise in II als Bilder der Figuren in I zu verstehen| // deuten//, werde ich zu jedem Kreis die Projektionsmethode angeben müssen; die (bloße) Tatsache aber, daß sich eine Figur in II als ein Kreis in I darstellt, sagt nun (allein noch) nichts über die Gestalt der abgebildeten| abgebildete Figur (aus?). Daß das Bild in II ein Kreis ist, ist ja die festgesetzte Norm der| // unserer// Abbildung. Dasselbe geschieht nun, wenn wir die Wirklichkeit nach der Subjekt-Prädikat-Norm in unsere Sprache abbilden. Das Subjekt-Prädikat Schema dient als Projektion unzähliger verschiedener logischer Formen.


     



     “Begriff und Gegenstand” Freges, das ist nichts anderes als Subjekt und Prädikat.


     


     Man kann sagen “miß nach, ob    das   ein Kreis ist” oder “sieh nach, ob    das  , was dort liegt ein Hut ist”. Man kann auch sagen “miß nach, ob    das   ein Kreis ist oder eine Ellipse”, aber nicht “…ob das ein Kreis ist oder ein Hut” auch nicht “sieh nach, ob das ein Hut ist oder rot”.


     


     Wenn ich auf eine Linie zeige und sage “das ist ein Kreis” so kann man einwenden, daß, wenn es kein Kreis wäre, es nicht mehr    das   wäre. D.h.: was ich mit dem Wort “das” meine, muß unabhängig von dem sein, was davon ausgesagt wird.
     (“War    das   Donner, oder ein Schuß”. Man kann aber in diesem Falle nicht fragen “war das ein Lärm”.)


     


     Worin unterschieden sich 2 gleichgroße rote Kreise? Diese Frage klingt so, als wäre sie ja doch ungefähr Eines und nur durch eine Kleinigkeit unterschieden.
     In der Darstellungsart durch Gleichungen drückt sich das Gemeinsame durch die Form der Gleichung aus und die Verschiedenheit durch die Verschiedenheit der Mittelpunktskoordinaten.
     So ist es, als ob hier die Mittelpunktskoordinaten das wäre, was den unter den Begriff fallenden Gegenständen entspräche. …
     Könnte man denn nicht statt “dies ist ein Kreis” sagen, “dieser Punkt ist Mittelpunkt eines Kreises”? Denn, Mittelpunkt eines Kreises zu sein, ist eine externe Eigenschaft des Punktes.


     



     Wenn ein Tisch braun angestrichen ist, so ist es leicht, sich das Holz als den Träger der Eigenschaft Braun zu denken und man kann sich das vorstellen, was gleichbleibt, wenn die Farbe wechselt. Ja, auch im Falle    eines   bestimmten Kreises, der einmal rot, einmal blau erscheint. Es ist also leicht, sich vorzustellen,    was   rot ist, aber schwer, was kreisförmig ist. Was    bleibt   hier, wenn Form und Farbe wechseln? Denn die Lage ist ein Teil der Form und es ist willkürlich, wenn ich festsetze, der Mittelpunkt soll fest bleiben und die Form sich nur durch den Radius ändern.
     Wir werden uns an die gewöhnliche Sprache halten müssen, und die sagt, daß ein    Fleck   kreisförmig ist.
     Es ist klar, daß hier das Wort “Träger der Eigenschaft” eine ganz falsche — unmögliche — Vorstellung gibt. — Wenn ich einen Klumpen Ton habe, so kann ich mir den als Träger einer Form denken und daher, ungefähr, kommt auch diese Vorstellung.
     Der Fleck ändert seine Form” und “der Tonklumpen ändert seine Form” sind eben verschiedene Satzformen.


     



     Was braucht es zu einer Beschreibung, daß — sagen wir — ein Buch an einer bestimmten Stelle ist? Die interne Beschreibung des Buches, d.i. des Begriffes und die Beschreibung seiner Lage, und die wäre durch Angabe der Koordinaten dreier Punkte möglich. Der Satz “ein solches Buch ist    hier  ” würde dann heißen, es hat    diese   3 Trippel von Bestimmungskoordinaten Denn die Angabe des Hier darf eben nicht präjudizieren    was   hier ist.
     Ist es nun aber nicht dasselbe, ob ich sage “   dies   ist ein Buch” und “hier ist ein Buch”? Der Satz würde dann etwa darauf hinauskommen, zu sagen “das sind 3 (bestimmte) Eckpunkte eines solchen Buches”.
     Man kann ähnlich auch sagen “dieser Kreis ist die Projektion einer Kugel” oder “dies ist die Erscheinung eines Menschen”.
     Alles was ich sage kommt darauf hinaus, daß F(x) eine    externe   Beschreibung von x sein muß.
     Wenn ich nun in diesem Sinne im dreidimensionalen Raum sage “hier ist ein Kreis” und ein andermal “hier ist ein Kugel” sind die beiden    Hier   von gleicher Art? Ich will fragen: Kann man von demselben ‘Gegenstand’ sinnvoll sagen: er sei ein Kreis und: er sei ein Kugel? Ist das Subjekt dieser Prädikate von der gleichen Type? Beide könnten doch die 3 Koordinaten des betreffenden Mittelpunkts sein. Aber die Lage des Kreises im dreidimensionalen Raum ist ja durch seine Mittelpunktskoordinaten nicht bestimmt.


     



     Anderseits kann man freilich sagen: “Was mich nervös macht, ist nicht der Lärm, sondern die Farbe” und hier könnte es scheinen, als ob eine Variable eine Farbe und einen Lärm als Werte annähme. (“Laute und Farben können als sprachliche Ausdrucksmittel dienen”.) Es ist klar, daß jener Satz von der Art ist: “Wenn Du einen Schuß hörst, oder mich winken siehst, laufe davon”. Denn dieser Art ist die Vereinbarung auf der die Funktion der gehörten oder gesehenen Sprache beruht.


     



     “Ist es denkbar, daß zwei Dinge alle Eigenschaften miteinander gemein haben?” — Wenn es nicht denkbar ist, so ist auch das Gegenteil nicht denkbar.


     



     Ja, wir sprechen vom Kreis, seinem Durchmesser, etc., etc. wie von einem Begriff, dessen Eigenschaften wir beschreiben, gleichgültig, welche Gegenstände unter diesen Begriff fallen. — Dabei ist aber ‘Kreis’ gar kein Prädikat im ursprünglichen Sinn. Und überhaupt ist die Geometrie der Ort, wo die Begriffe der verschiedensten Gebiete miteinander vermischt werden.

     







     
Gegenstand


     


























     “Ein Gegenstand läßt sich, in gewissem Sinne, nicht beschreiben” (auch bei Plato: “er kann nicht beschrieben| / erklärt/ werden, sondern nur benannt”). Mit “Gegenstand” meint man hier “Bedeutung eines nicht weiter definierbaren Wortes” und mit “Beschreibung” oder “Erklärung” eigentlich: Definition. Denn, daß der Gegenstand ‘von außen beschrieben werden’ kann, daß ihm etwa Eigenschaften beigelegt| //zugeschrieben// werden können, wird natürlich nicht geleugnet.


     


     Wir denken also bei einem Satz, wie dem oberen, an einen Kalkül mit undefinierbaren — aber richtig gesagt, undefinierten — Zeichen, den Namen, und sagen von ihnen, daß sie nicht erklärt werden können.


     



     “Was ein Wort bedeutet, kann man| //ein Satz// nicht sagen”.


     



     Wie unterscheidet sich denn blau von rot?
     Wir meinen doch nicht, daß das eine die, das andere jene Eigenschaften hat. Übrigens sind Eigenschaften von Blau und Rot, daß dieser

Körper (oder Ort) blau, jener rot ist.


     


     Auf die Frage “welcher Unterschied ist denn zwischen blau und rot” möchte man antworten: das eine ist blau, das andere rot. Aber das heißt natürlich nichts und man denkt hier in Wirklichkeit an den Unterschied der Flächen oder Örter, die diese Farben haben. Sonst nämlich hat die Frage überhaupt keinen Sinn.


     


     Vergleiche dagegen: Wie unterscheidet sich Orange von Rosa? Das eine ist eine Mischung von Gelb und Rot, das andre von Weiß und Rot. Und man kann dem entsprechend sagen: Blau entsteht aus Purpur, indem dieses immer bläulicher wird, Rot, wenn es immer rötlicher wird.


     


     Was ich sage heißt also: Rot kann man nicht beschreiben. Aber kann man es denn nicht malerisch darstellen, indem man etwas rot malt?


     


     Nein, das ist keine malerische Darstellung der Bedeutung des Wortes ‘rot’ (die gibt es nicht).
     Das Porträt von Rot.


     


     Aber jedenfalls ist es doch nicht Zufall, daß man zur Erklärung der Bedeutung des Wortes ‘rot’ naturgemäß auf einen roten Gegenstand zeigt!


     


     (Was daran natürlich ist, ist in diesem Satze dargestellt durch das zweimalige Vorkommen| //Auftreten// des Wortes ‘rot’.)


     



     Und zu sagen Blau liege auf der bläulichen Seite von Blaurot und Rot auf der rötlichen, ist ein Satz der Grammatik und ist also einer Definition verwandt. Und man kann ja auch sagen: bläulicher = dem Blau ähnlicher.

     



     “Wer die Farbe Grün einen Gegenstand nennt, muß sagen, daß dieser Gegenstand im Symbolismus vorkommt. Denn sonst wäre der Sinn des Symbolismus also daß es ein Symbolismus ist, nicht gewährleistet.”
     Aber was ist damit von Grün oder dem Wort “Grün” ausgesagt? ((Dieser Satz bezieht sich auf eine bestimmte Auffassung der Beziehung des Bedeutens und auf eine bestimmte Fragestellung, diese Beziehung betreffend.))

     





Unendlich lang


     

























     Wenn man vom Begriff ‘Unendlichkeit’ redet, muß man sich daran erinnern, daß dieses Wort viele verschiedene Bedeutungen hat, und daran, von welcher wir jetzt gerade reden. Ob z.B. von der Unendlichkeit einer Zahlenreihe und der Kardinalzahlen insbesondere. Wenn ich z.B. sage: ‘unendlich’ sei eine Charakteristik einer Regel, so beziehe ich mich auf    eine   bestimmte Bedeutung des Worts. Wir könnten aber sehr wohl sagen, ein kontinuierlicher Farbenübergang sei ein Übergang “durch unendlich viele Stufen, wenn wir nur nicht vergessen, daß wir hier die Bedeutung des Ausdrucks “unendlich viele Stufen” durch die Erfahrung des Farbenübergangs    neu   definieren. (Wenn auch nach Analogie mit anderen Gebrauchsweisen des Wortes “unendlich”.)


     



     Sehen wir einen kontinuierlichen Farbenübergang, eine kontinuierliche Bewegung, dann sehen wir    keine   Teile,    keine   Sprünge (nicht “unendlich viele”; außer, ich    gebe   diesem Ausdruck jetzt diese Bedeutung).


     



     (Wenn man sagt, daß dieses Gebiet unseres Gegenstands außerordentlich schwer ist, so ist das insofern| //insoweit// nicht

wahr, als nicht etwa von außerordentlich schwer vorstellbaren oder komplizierten Dingen die Rede ist, sondern nur insofern, als es außerordentlich schwer ist, an den unzähligen Fallen, die hier in der Sprache für uns aufgestellt sind, vorbeizukommen.)


     



     ““Ich sagte einmal, es gäbe keine extensive Unendlichkeit. Ramsey sagte darauf: “Kann man sich nicht vorstellen, daß ein Mensch ewig lebt, d.h. einfach, nie stirbt, und ist das nicht extensive Unendlichkeit?” — Ich kann mir doch gewiß denken, daß ein Rad sich dreht und    nie   stehen bleibt.”” Welches seltsame Argument: “ich kann es mir denken”! Überlegen wir (uns?), welche Erfahrung wir als Bestätigung oder Beweis dafür betrachten würden, daß das Rad nie aufhören wird sich zu drehen. Vergleichen wir diese Erfahrung mit der, welche uns lehrt, daß das Rad einen Tag, ein Jahr, 10 Jahre lang, sich dreht und wir werden einfach den Unterschied der Grammatik der Aussagen “…bleibt nie stehn” und “…bleibt in 100 Jahren stehn” erkennen. Denken wir an die Art der Evidenz, welche man für die Behauptung anführen könnte, daß zwei Himmelskörper sich ohne aufzuhören um einander drehen. Denken wir an das Gesetz der Trägheit, und daran, wie es bestätigt wird.


     


     ““Angenommen wir wanderten auf einer Geraden in den euklidischen Raum hinaus und begegneten alle 10m eine eiserne Kugel ad infinitum.”” Wieder: Welcherlei Erfahrung würde ich als Bestätigung hiefür ansehen und welche anderseits dafür, daß 10000 Kugeln in einer Reihe vorhanden sind? — Eine Bestätigung der ersten Art wäre etwa folgende: Ich beobachte die schwingende Bewegung eines Körpers. Experimente haben mich gelehrt, daß dieser Körper durch eiserne Kugeln nach einem bestimmten Gesetz angezogen wird; die Annahme von 100 solchen Kugeln in einer Reihe in bestimmter Lage zum Testkörper erklärt, unter der Annahme jenes Anzie-

hungsgesetzes, das beobachtete (oder angenommene) Verhalten annähernd; je mehr Kugeln wir aber in der Reihe annehmen, um so genauer entspricht das errechnete Resultat dem beobachteten. Es hat dann Sinn zu sagen, die Erfahrung bestätige die Annahme einer unendlichen Reihe von Kugeln. Aber so verschieden diese Erfahrung vom Sehen einer Anzahl von Kugeln ist, so verschieden ist der Sinn der Zahlenangabe von der, einer “unendlichen Zahl”.


     


     ““Die bloß negative Beschreibung des    Nicht-Aufhörens   kann keine positive Unendlichkeit liefern.”” Bei dem Ausdruck “positive Unendlichkeit” dachte ich natürlich an eine zählbare (= endliche) Menge von Dingen (Stühle in diesem Zimmer) und wollte sagen, das Vorhandensein der kolossalen Anzahl solcher Dinge könne aus dem, was uns das Nicht-Aufhören anzeigt, nicht geschlossen werden. Ich mache also hier den seltsamen Fehler in der Form meiner Aussage, eine Tatsache zu leugnen, statt zu leugnen, daß ein bestimmter Satz Sinn hat, oder richtiger, zu zeigen, daß zwei ähnlich klingende Angaben verschiedene Grammatik haben.


     



     Welche seltsame Frage: “kann man sich eine endlose Baumreihe denken?”! Wenn man von einer ‘endlosen Baumreihe’ spricht, so wird doch, was man meint, mit den Erfahrungen zusammenhängen, die man “das Sehen einer Baumreihe”, “das Zählen einer Baumreihe”, “das Messen einer Baumreihe”, etc. nennt. “Können wir uns eine unendliche Baumreihe denken”! Gewiß, wenn wir festgesetzt haben, was darunter zu verstehen ist;

     


um eine Vorhersage, kein Ereignis wird prophezeit, sondern wir sagen etwa: daß es Sinn hat, in Bezug auf jeden Sonnenauf- und Untergang von einem nächsten zu sprechen. Denn die Bedeutung der Bezeichnung eines Zeitmaßes ist ja an ein Geschehnis gebunden: den Umlauf eines Zeigers, die Bewegung der Erde, etc. etc.; sagen wir aber “auf jede Stunde folgt eine nächste”, und haben wir die Stunde etwa durch den Umlauf eines bestimmten Zeigers (als Paradigma) definiert, so wollen wir mit jeder Aussage dennoch (doch) nicht prophezeien, daß sich dieser Zeiger in alle Ewigkeit so weiter drehen wird; — wir wollen aber sagen: daß er sich “immer so weiter drehen    kann  ”; und das ist eben eine Aussage über die Grammatik unserer Zeitbestimmungen.


     



     Stellen wir uns vor, daß ein Mann, der unendlich lange Zeit gelebt hat, weil er nie geboren wurde, sagt: “Jetzt schreibe ich die letzte Ziffer von π hin, nämlich die 3 Einer”. Er hatte an jedem Tag seines Lebens eine Ziffer hingeschrieben und niemals damit angefangen; jetzt ist er fertig geworden.


     



     Man denkt, eine große Zahl sei dem Unendlichen doch näher als eine kleine. Das unendliche konkurriert mit dem Endlichen nicht. ?—Es ist das, was wesentlich kein Endliches ausschließt—?.
     Der Raum hat keine Ausdehnung, nur die räumlichen Gegenstände sind ausgedehnt. Die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft des Raumes. (Und das zeigt, daß sie keine unendliche Ausdehnung ist.)


     



     “A ist mein Ahne” das heißt: “A ist mein Vater, oder der Vater meines Vaters, oder der Vater des Vaters meines Vaters, oder u.s.w.”. Wohl, aber dadurch haben wir nur    ein   Satzzeichen für ein anderes gesetzt, den Sinn aber noch nicht bestimmt, denn wir haben ihn ja nicht — wie es leicht scheint — auf den uns bekannten Sinn einer logischen

Summe zurückgeführt. — Ich werde also weiter fragen: “Wie weiß man das, daß A ein Ahne des B ist?” denn das heißt: “in welchen Fällen will ich sagen, A sei ein Ahne des B”, oder auch: “was verstehe ich unter einem ‘Ahnen des B’”. Nenne ich so Jeden der eine bestimmte Eigenschaft hat, die unserer Erfahrung nach in der Familie des B erblich ist? Wenn das die Definition ist, so kann ich etwa von einem Menschen feststellen, daß er    kein   Ahne des B ist. Oder aber, ist der Satz so aufzufassen, daß es eine| //die// Feststellung, daß Einer    kein   Ahne des B ist, nicht gibt (daß diese Feststellung also in unserer Grammatik nicht vorgesehen wurde), sondern nur die, daß jemand Ahne des B ist: dann aber haben wir es mit einer ganz andern Satzart zu tun, als im ersten Fall. (Erinnere Dich übrigens daran, daß unter den Eigenschaften, die in der Familie des B erblich sind, natürlich nicht die sein darf, ‘ein Ahne des B, oder B, zu sein’ und vergleiche Russells Definition von “Rx ”.)


     



     Damit, daß gesagt wird, daß aus der unendlichen Hypothese “(n) :(∃nx).fx” (wie ich sie, der Kürze wegen, jetzt schreiben will) jeder beliebige Satz (∃nx).fx folgt und sie selbst aus keinem logischen Produkt dieser Sätze, ist natürlich noch gar nichts über den weiteren Gebrauch dieses Spiels gesagt.


     


     Vergleichen wir die Sätze: “ich richte meine Handlungsweise darauf ein, daß dieser Zustand noch 2 Jahre dauern wird” und “ich richte meine Handlungsweise| //mich// darauf ein, daß dieser Zustand ewig dauern wird”. — Hat der Satz Sinn:; “ich glaube (oder erwarte, oder hoffe), daß es die unendliche Zeit hindurch so bleiben wird”? —
     Man kann sagen: “ich mache| //treffe// Vorbereitungen für die nächsten 3 Tage”, oder 10 Jahre, etc., und auch “ich mache| //treffe// Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit”; — aber auch: “auf unendliche Zeit”? Wenn ich “Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit treffe”, dann läßt sich gewiß ein Zeitraum angeben, für den ich jedenfalls keine Vorbereitungen mehr mache| //treffe//. D.h., aus dem Satz “ich mache| //treffe// Vorbereitungen für unbestimmte Zeit” folgt nicht jeder beliebige Satz von der Form: “ich mache| //treffe// Vorbereitungen für n Jahre”.
     Denken wir gar an den Satz: “ich    vermute  , daß dieser Zustand ohne Ende andauern| //so weitergehen// wird”!
     Oder an den komischen Klang der Widerlegung: “Du hast gesagt, dieses Uhrwerk werde immer so weitergehen, — nun, es steht    jetzt   schon”. Wir fühlen, daß ja doch auch jede endliche Vorhersage einer zu langen Gangdauer durch die Tatsache widerlegt wäre, und die Widerlegung daher in ir-
gend

     


Die Unendlichkeit der Hypothese besteht nicht in ihrer    Größe  , sondern in ihrer Unabgeschlossenheit.


     



     “Einmal wird die Welt untergehen”: eine unendliche Hypothese.


     



     Der Satz: daß einmal — in der unendlichen Zukunft — ein Ereignis (z.B. der Weltuntergang) eintreten werde, hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit dem, was wir Tautologie nennen.


     


Unendliche Möglichkeit.


     
























von verschiedener Art sind, sieht man sehr klar, wenn man an den unsinnigen Befehl “würfle unendlich oft” oder “würfle ad infinitum” denkt, im Gegensatz zum sinnvollen: “würfle 3mal”. Denn für den Befehl ist die Kontrolle seiner Ausführung wesentlich.


     



     Wenn wir sagen möchten, die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft der Möglichkeit, nicht der Wirklichkeit, oder: das Wort “unendlich” gehöre immer zum Wort “möglich”, und dergleichen, — so kommt das darauf hinaus, zu sagen: das Wort “unendlich” sei immer ein Teil einer    Regel  .
     Wir wehren uns gegen die Auffassung des Unendlichen, als einer ungeheuern Größe. (Die wir merkwürdigerweise ohne Schwierigkeit erfassen, während eine große endliche Zahl zu groß sein kann, um von uns hingeschrie-

ben zu werden. Gleichsam, als könnten wir uns zwar durch die Reihe der endlichen Zahlen nicht durcharbeiten, aber wohl von außen herum zum Unendlichen gelangen.)
     Denken wir uns, wir erzählten jemandem: “gestern kaufte ich mir ein Lineal mit unendlichen Krümmungsradius”. Aber hier kommt doch das Wort “unendlich” in einer Beschreibung der Wirklichkeit vor. — Aber ich kann doch nie die Erfahrung haben, die mich berechtigte zu sagen, daß das Lineal wirklich den Radius unendlich hat, da der Radius 100100km es gewiß auch schon tut. — Wohl, aber dann kann ich eben auch nicht die Erfahrung haben, die mich berechtigt, zu sagen, das Lineal sei    gerade  . Und die Worte “gerade” (oder ein andermal “parallel”) und “unendlich” sind im    gleichen   Fall. Ich meine: Wenn das Wort “gerade”, oder “parallel”, oder “längengleich”, etc. etc. in einem Erfahrungssatz| //in einer Beschreibung der Wirklichkeit// stehn darf, dann auch das Wort “unendlich”.
     “Unendlich ist nur die Möglichkeit” heißt “‘unendlich’ ist ein Zusatz zu ‘u.s.w.’”. Und soweit es dies ist, gehört es in eine Regel, ein Gesetz. In die Beschreibung der Erfahrung gehört es nur soweit nicht, als man unter “Erfahrung, die einem Gesetz entspricht” eine endlose Reihe von Erfahrungen meint. — Das Wort “unendlich ist nur die Möglichkeit, nicht die Wirklichkeit” ist irreleitend. Man kann sagen: “unendlich ist    hier   nur die Möglichkeit”. — Und man fragt mit Recht: Was ist denn an dieser Hypothese (vom Lauf des Kometen z.B.) unendlich? ist an dieser Annahme, an diesem Gedanken, etwas ungeheuer groß?!
     Denken wir uns, die Fee im Märchen sagte: “Du wirst so viel Goldstücke erhalten, als Du Dir wünscht, aber Du darfst nur einmal wünschen”. — Ist ihr Versprechen nicht erfüllt, wenn ich kriege, was ich mir wünsche? Und war meine Wahl nicht unbeschränkt? Wäre der Fall nicht eine anderer gewesen, wenn sie dem Betrag eine Grenze gesetzt hätte, — wie weit immer sie sie auch gezogen hätte?| //…sie die Grenze auch gezogen hätte?//
     Kann ich nun nicht sagen: die Freiheit, die mir die Fee gelassen

hat, war unendlich? Und ist damit eine Wirklichkeit beschrieben? — Wenn nun Einer sagt: “Nein, die Freiheit der Wahl ist nur eine Möglichkeit”, so vermengt er die Aussage: daß mir die Fee eine unendliche Freiheit gelassen hat, — welche| //welches// keine Regel der Grammatik ist —, mit der Regel, die mir erlaubt, in Übereinstimmung mit dem Versprechen der Fee eine beliebige Zahl von Goldstücken zu nennen.
     Man könnte das auch so sagen: Wenn der Begriff der Unendlichkeit in der Beschreibung der Realität angewendet wird, so ist in solchen Beschreibungen nicht von ‘unendlichen Linealen’ die Rede, sondern etwa von Linealen mit unendlichem Krümmungsradius; und nicht von ‘unendlich vielen Goldstücken’, sondern etwa von der unendlichen Freiheit, die mir Einer läßt, mir Goldstücke zu wünschen.
     Wenn wir sagen: “die Möglichkeit der Bildung von Dezimalstellen in der Division 1 : 3 ist unendlich”, so stellen wir damit keine Naturtatsache fest, sondern geben eine Regel des Kalküls. Sage ich aber: “ich lasse Dir die unendliche Freiheit, so viele Stellen zu bilden, als Du willst, ich werde Dich nicht hindern”, so stelle ich damit nicht die Regel eines Kalküls auf, sondern mache eine Vorhersage. Ja, aber doch nur als Beschreibung einer Möglichkeit”. — Nein, einer Wirklichkeit! aber    natürlich   nicht der von “unendlich vielen Stellen”; das wäre doch gerade der grammatische Fehler| //der Unsinn//, den wir vermeiden müssen.
     Und es bleibt natürlich in diesen Erfahrungssätzen “unendlich” die Eigenschaft einer Regel, wenn man es so ausdrücken will, und das heißt nichts anderes, als daß es auch hier durch “u.s.w. ad infinitum” wiedergegeben werden kann; und zugleich ist das auch alles, was damit gemeint ist, wenn man sagt: die Unendlichkeit sei ein Prädikat der Möglichkeit.


     



     Angenommen, in einem Spiel lautete eine Spielre-

gel: “Man schreibe einen Bruch auf, der zwischen 0 und 1 liegt”; — ist diese Regel nicht ganz verständlich? braucht hier eine Einschränkung gegeben zu werden? (oder die Regel: “Man schreibe eine Zahl auf, die größer als 100 ist”.)

     



     Die unendliche Teilbarkeit besteht darin, daß jede beliebige endliche Anzahl von Teilen denkbar ist (aber keine unendliche).


     


     Wenn man sagt: “der Raum ist unendlich teilbar”, so heißt das eigentlich: der Raum besteht nicht aus einzelnen Dingen (Teilen). Die unendliche Teilbarkeit bedeutet in gewissem Sinne, daß der Raum nicht teilbar ist, daß eine Teilung    ihn   nicht tangiert. Daß er damit nichts zu tun hat:    Er   besteht nicht aus Teilen. Er sagt gleichsam zur Realität: Du kannst in mir machen, was Du willst. (Du kannst in mir so oft geteilt sein, als Du willst.)
     Der Raum gibt der Wirklichkeit eine unendliche Gelegenheit der Teilung.


     



     (Und darum steht in der ersten Klammer vom “(n):(∃nx).fx” nur    ein   Buchstabe. Offenbar nur eine Gelegenheit, nichts anderes. — Wir denken zu wenig daran, daß das Zeichen wirklich nicht mehr bedeuten kann, als es ist.| //als wir es bedeuten lassen.//)


     



     ““Die Zeit erscheint uns essentiell als    unendliche   Möglichkeit. Und zwar, offenbar, unendlich nach dem, was wir über ihre Struktur wissen.”” D.h. unendlich, nach ihrer Grammatik.


     



     Die Grammatik ist nicht unendlich kompliziert, weil sie die endlose Bildung von Zahlzeichen zuläßt.


     



     Es muß, um die unendliche Möglichkeit zu erklären, genug sein, auf die Züge des Zeichens hinzuweisen, die uns eben zur Annahme dieser unendlichen Möglichkeit führen, besser: aus denen wir diese unendliche Möglichkeit ersehen. Das heißt (nur), das Tatsächliche des Zeichens muß genügen, und nicht die Möglichkeiten des Zeichens in Betracht kommen, die sich nur wieder in einer Beschreibung von Zeichen zeigen könnten. Es muß also in dem Zeichen “/1, x, x+1/” — dem Ausdruck der Bildungsregel — schon alles enthalten sein. Ich darf mit der unendlichen Möglichkeit nicht wieder ein mythisches Element in die Logik| //Grammatik// einführen. Beschreibt man den Vorgang der Division , der zu dem Quotienten 0,3 und dem Rest 1 führt, so muß in dieser Beschreibung schon die unendliche Möglichkeit der Fortsetzung mit immer dem gleichen Erfolg liegen, denn etwas Anderes ist uns ja nicht gegeben, wenn wir sehen, “daß es immer so weiter gehen muß”.
     Und wenn wir die “unendliche Möglichkeit der Fortsetzung sehen”, so können wir doch nichts sehen, was nicht beschrieben ist, wenn wir eben das Zeichen beschreiben, was wir sehen.


     


Einen Satz im Ernst oder Spaß meinen, etc..
























     



     Man wird sagen: der Maler der “Malheurs de Chasse” hat    nicht gemeint  , daß es wirklich so zugeht; hätte er aber seine Bilder lehrhaft (um zu zeigen, wie es zugeht) gemeint, so wäre er im Unrecht gewesen.


     



     “Hast Du das im Ernst oder im Spaß gemeint?” — Das “im Ernst Meinen” besteht nicht darin, daß zu dem ausgesprochenen Satz im Stillen noch etwas hinzugesetzt wird, etwa die Worte “ich meine das im Ernst”. Von dem    ganzen   Satz, dem ausgesprochenen mit den dazugedachten Worten, könnte man wieder fragen: wie war er gemeint? Von Ernst oder Spaß kann man das aber nicht fragen. Also ist die Meinung (Auffassung) in diesem Sinne ein bestimmtes Erlebnis, das mit den Zeichen| // dem Aussprechen // des Satzes Hand in Hand geht, aber an dem Sinn des Satzes nichts ändert, ob es nun so oder anders ist.


     



     Wie geht das vor sich, wenn man einen Satz ausspricht und dabei den anderen nur aufsitzen lassen will? Man spricht, lächelt, beobachtet den andern| // sieht zu, was der Andere macht //, fühlt eine Spannung.
     Aber nirgends ist die amorphe Meinung. Diese| der amorphe Sinn. Diesen stellt man sich gleichsam vor, wie den Inhalt eines Tiegels dessen Aufschrift der Satz ist.


     



     “Ich habe gesagt ‘sie ist nicht zu Hause’, habe aber    dabei   gewußt, daß sie zu Hause war”. Wie geht dieses Wissen zeitlich mit dem Sagen des Satzes zusammen? Wie eine kontinuierliche Begleitung, ein Orgelpunkt, zu einem Thema?
     Hast Du es in jeden Augenblick gewußt, und braucht das Wissen keine Zeit?
     Ein falsches Bild verführt uns.


     


Gleichungen & Ungleichungen
sind Festsetzungen oder die Folgen von Festsetzungen.

     

























     Eine Ungleichung, wie eine Gleichung muß entweder das Resultat einer Ausrechnung, oder eine Festsetzung sein.


     


     So wie die Gleichungen als Zeichenregeln, im Gegensatz zu Sätzen, aufgefaßt werden können, so muß es auch bei den Ungleichungen geschehen können.


     


     Die Verneinung der Gleichung ist so ähnlich der Verneinung eines Satzes und so verschieden von ihr, wie die Bejahung der Gleichung und die Bejahung eines Satzes.


     



     Eine mathematischer    Satz   kann nur eine Festsetzung sein, oder ein nach einer bestimmten Methode aus Festsetzungen errechnetes Resultat. Und das muß für “9 ist durch 3 teilbar” oder “9 ist durch 3 nicht teilbar” gelten.


     


     Wie errechnet man 2×2 = 5?


     



     Wesentlich ist vielleicht nur, daß man einsieht, daß, was sich durch Ungleichungen ausdrückt,    wesentlich  , d.h. formell verschieden ist von dem durch Gleichungen Ausgedrückten. Und so kann man ein Gesetz, das die Stellen eines Dezimalbruchs liefert und mit Ungleichungen arbeitet, gar nicht unmittelbar mit einem vergleichen, welches mit Gleichungen arbeitet. Wir haben hier ganz verschiedene Methoden vor uns, und daher verschiedene Arten arithmetischer Gebilde.


     



     D.h. man kann nicht in der Arithmetik Gleichungen und etwas Anderes (etwa Ungleichungen) ohne weiteres auf    eine   Stufe stellen, als wären es etwa verschiedene Tiergattungen. Sondern die beiden Methoden werden dann kategorisch verschieden sein und miteinander unvergleichbare Gebilde bestimmen (definieren).

     






     Welche Gleichung, etwa, von der Form
abc… mal cde… = ghi…

ist richtig, welche falsch?


     


     Ja, kann man von dem Schriftzeichen (überhaupt) sagen, es sei richtig (oder falsch)?
     Das nämlich hängt mit dem Sinn der Antwort zusammen: “richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugen kann” im Gegensatz zu

   der  : “richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugt hat”.
     Was ist das Kriterium dafür, daß man die Gleichung nach den Regeln erzeugen    kann  ?
     Das ist klar, daß die Position (Gleichung) nur im System, worin sie erzeugt werden kann, richtig oder falsch ist.


     



     Dasjenige, was 2+2 = 4 bedeutungsvoll macht, das also, was

macht, daß 2+2 = 4 richtig und 2+2 = 5 falsch ist und nicht zwei gleichberechtigte Festsetzungen, ist die Beweisbarkeit von 2+2 = 4, und nur sie. Daß also ((1)+1)+((1)+1) = (((1)+1)+1)+1 zu dem allgemeinen System a+(b+1) + (a+b)+1 gehört.


     


     Ohne diese Beweisbarkeit wäre 2+2 = 4 eine willkürliche Zeichenregel und von richtig oder falsch bei ihr nicht die Rede. Die Demonstrabilität macht die Gleichung zu etwas, was sich mit einem Satz vergleichen läßt.


     


     “a+(b+1) + (a+b)+1” eine Definition zu nennen, ist eigentlich schon ein Fehler, denn es ist eine Zeichenregel ganz anderer Art als z.B. (1)+1 = 2.


     


     Man könnte nun fragen: Welche Bedeutung hat 2+2 = 4? ist es nicht eine Zeichenregel? Wenn ja, so ist es willkürlich. Die Antwort ist, daß die Bedeutung von 2+2 = 4 nicht in ihm selbst, sondern in seiner Beweisbarkeit, das heißt in seiner Beziehung zu anderen Zeichenregeln liegt, also in seiner| //der// Zugehörigkeit zu einem System. D.h. also, daß jener Beweis (ebenso) interne Beziehungen zwischen 2 und 4 aufzeigt, wie der Beweis, daß pCq & p .C. q eine Tautologie ist, interne Beziehungen zwischen pCq & p und q zeigt.


     



     Eine Gleichung gewinnt erst in einem Kalkül mathematische Bedeutung.
     So ist “lim (n=inf)1/n = 0” eine willkürliche Ersetzungsregel, solange der Ausdruck “lim etc.” nicht in einem Limes-Kalkül steht.


     



     Eine Ungleichung ist so gut eine syntaktische Regel wie eine Gleichung. Die Analogie der Wahrheitsfunktionen in Verbindung mit Gleichungen mit den Wahrheitsfunktionen der Sätze ist eine vollständige — d.h. die geltenden Regeln sind in beiden Fällen dieselben — nur das eben die Gleichung keine Sätze sind.
     (Wir haben ja in den Wahrheitsfunktionen auf Hypothesen angewendet ein weiteres Beispiel solcher Analogien.)


     



     Ist es nicht klar: die Sätze der reinen Mathematik können nur als Zeichenregeln    angewendet   werden.| //können in ihrer Anwendung nur Zeichenregeln sein.// (Nur Bedingungen des Sinns.)


     


     Auch “3+4 kl 9” ist keine Mitteilung — wie etwa, daß eine gewisse Strecke länger ist als 9 Meter (ein Haus höher als 9m). Es ist

nach dem, was wir unter “3”, “4” und “9” verstehen,    selbstverständlich   (d.h. beweisbar). Wir sehen es aber damit immer noch so wie den Fall des Hauses an, nur daß es sich etwa dort um etwas weniger Selbstverständliches handelt. Aber es ist überhaupt mit dem Satze… unvergleichbar. — Wenn ich zuerst sagte “es ist selbstverständlich”, so heißt das, es ist hier nicht von einem Satz die Rede, sondern von einer Zeichenregel, die übrigens aus einer allgemeinen Regel folgt.
     Immer wieder drängt es uns zum Vergleich von “3+4 kl 9” mit einem Satz “wenn man diese beiden Stäbe aneinanderlegt, so reichen sie noch nicht bis dahinauf”. Und das ist selbst auf den Fall der Strecken a, b, c anzuwenden. Aber dieser Satz über die Strecken a, b, c ist eben nicht der arithmetische. Dieser ist vielmehr entweder der Ausdruck einer bloßen| //reinen// Willkür, — daß wir das Zeichen “9” in der oberen Reihe erst an eine so späte Stelle gesetzt haben, oder, wenn dies so angenommen ist, selbstverständlich. Wäre “3+4 kl 9” nicht ein willkürliche Festsetzung oder die Folge aus einer Festsetzung, so ginge es die Arithmetik nichts an. — Warum man es manchmal gern eine Tautologie nennen möchte (die es in meinen Sinne nicht ist) ist eben, weil man sagen möchte “ja, wenn Du das festsetzt, dann ist es ja selbstverständlich”. ((Ich schreibe Paraphrasen über logische Erkenntnisse.))


     


Allgemeinheit einer Demonstration


     









     Es ist, als gäbe es eine allgemeine    Auffassung   des Zeichens (etwa eines Dreiecks in der geometrischen Konstruktion etc.).


     



     Von dem Gebrauch des allgemeinen Dreiecks gelten dann andere Regeln als von dem, des speziellen. Man sagt: “auf die Größe dieses Dreiecks kommt es hier nicht an”.)


     



     Allgemeinheit der euklidischen Beweise. Man sagt, die Demonstration wird an    einem   Dreieck durchgeführt, der Beweis gilt aber für alle Dreiecke — oder für jedes beliebige Dreieck. Erstens ist es sonderbar, daß, was für ein Dreieck gilt, darum für alle andern gelten sollte. Es wäre doch nicht möglich, daß ein Arzt    einen   Menschen untersucht und nun schließt, daß, was er bei diesem konstatiert, auch für alle andern

wahr sein muß. Und wenn ich nun die Winkel in einem Dreieck messe und addiere, so kann ich auch wirklich nicht schließen, daß die Winkelsumme nun bei jedem andern Dreieck eben so groß sein wird. Es ist ja klar, daß der euklidische Beweis nichts über eine Gesamtheit von Dreiecken aussagen kann. Ein Beweis kann nicht über sich selbst hinausgehen.
     Die Konstruktion des Beweises ist aber wieder kein Experiment, und wäre sie es, so könnte das Resultat nichts für andere Fälle beweisen. Es ist darum auch gar nicht nötig, die Konstruktion mit Papier und Bleistift wirklich auszuführen, sondern die Beschreibung der Konstruktion muß genügen, um aus ihr alles Wesentliche zu ersehen. (Die Beschreibung eines Experiments genügt nicht, um aus ihr das Resultat des Experiments zu entnehmen, sondern das Experiment muß wirklich ausgeführt werden.) Die Konstruktion im euklidischen Beweis ist genau analog dem Beweis, daß 2 + 2 = 4 mittels der Russischen Rechenmaschine.


     



     Die Figur ist ein Zeichen, und nicht das Bezeichnete oder ein ungenaues Bild des Bezeichneten.


     



     Wenn wir einen geometrischen Beweis mit Zirkel und Lineal führen, so bedienen wir uns eines Symbolismus mit kontinuierlichen Symbolen.


     



     Wenn Einer gegen eine Euklidische Demonstration mit Lineal und Zirkel einwenden würde “ja, das sehe ich schon, daß es in diesem Falle stimmt, aber die Frage ist, ob es in allen andern Fällen stimmt”, so müßten wir ihm antworten: “es stimmt ja gar nicht in    diesem   Fall”. — Und es wäre, wie schon gesagt, dasselbe, als wollte Einer zu der Demonstration, daß pCq∙p.C.q tautologisch ist, sagen “ja, für die Buchstaben p und q stimmt es allerdings, aber gilt es allgemein?”


     



     Man könnte glauben, daß sich die Allgemeingültigkeit der Figur durch Sätze rechtfertigen läßt, wie: Jedes solche Dreieck muß gleiche Seiten haben, weil es die Radien in einem Kreis sind und darum müssen bei jedem diese Winkel gleich sein, etc., etc.. Aber das ist wirklich    keine   Rechtfertigung. Denn was bedeuten hier Worte wie “   jedes  ”, etc.? Wir haben es hier nur scheinbar mit logischen Schlüssen zu tun.
     (Dann folgt immer wieder der Gedanke — den ich freilich nie für eine Lösung, sondern immer nur für einen Schein gehalten habe — daß der Beweis da gar nicht von einem Zentriwinkel, einem Kreis, etc. handelt, sondern von Kreisförmigkeit, dem Begriff Zentriwinkel, etc. Freilich ist auch an diesem Schein etwas Wahres.)


     



     Die Allgemeinheit der Variablen in der Logik ist die Allgemeinheit der Demonstration. Sie besteht darin, daß die Tatsache, daß pCq.&.C.q eine Tautologie ist, an einem beliebigen    speziellen   Fall    allgemeingültig demonstriert   wird. D.h., aus der Demonstration des besonderen Falles ersehe ich tatsächlich (wie immer sie gemeint war) alles, was ich in der Logik brauche. D.h., die Demonstration erhält nicht dadurch ihre Allgemeinheit, daß sie so gemeint ist, sondern indem sie tatsächlich allgemein (d.h. allgemein gültig) demonstriert. D.h., die Allgemeinheit besteht hier in der Allgemeinheit der Anwendung. Und diese ist da, sozusagen ob man es will oder nicht, einfach durch die innere Relation des Einzelfalles zum Paradigma. — Man könnte dann sagen, eine Demonstration demonstriert so allgemein, als sie anwendbar ist. D.h., sie demonstriert allgemein durch den Raum in dem sie ist.


     



     Es ist nichts Allgemeines in der Demonstration, sie ist durchaus besonders; aber ihre Anwendungsmöglichkeit enthält die Allgemeinheit.|//. Ihre Anwendungsmöglichkeit ist allgemein.//


     



     Die Anwendungsmöglichkeit strahlt durch den Raum und trifft den Körper, den man in diesen Raum bringt. Man könnte die Lichtstrahlen allgemein nennen, weil sie jeden beliebigen Körper beleuchten, der sich ihnen in den Weg stellt. Aber die Lichtquelle allgemein zu nennen, wäre absurd.


     



     Eine Demonstration demonstriert alles, was sie demonstriert. Ihr Bereich hängt nicht davon ab, wie sie    gemeint   ist, sondern nur von ihr. Wie ein Scheinwerfer sein Licht soweit schickt, als er es schickt, wieweit immer wir es zu schicken meinen.
     Das ist der Unterschied zwischen einer Demonstration und einem Satz. In der Demonstration wird ja nichts gesagt, sondern etwas gezeigt. Und was der Bereich ihrer Anwendung ist, hängt also von ihr und ihrem Raum ab, aber nicht von uns.
     Man könnte nämlich sagen: die Demonstration ist doch gar nicht

allgemein, sondern durchaus besonders. Aber sie demonstriert ja eben etwas und das gilt so allgemein, als es gilt. (Das ist ja das Gute, daß, wo immer auch Anspielungen und Andeutungen etwas gelten mögen, in der Demonstration nur das zählt, was da ist. Sie ist in der Beziehung wie ein Experiment.)
     Es gibt z.B., Euklid die Anweisung zur Halbierung einer Strecke, indem er die Methode (an einem Beispiel) demonstriert. Nun, diese Anweisung gilt, soweit man sie anwenden kann.
     Und könnte man sie in einem Fall nicht anwenden, so nützte es ihr nichts, daß sie für diesen Fall gemeint war.


     


     Die Allgemeinheit der Demonstration ist nur der Raum um diese Demonstration. Die Anwendung auf einen besonderen Fall ist ein neuer Körper in diesem Raum.


     



     Zu sagen “ja, die Demonstration dieses euklidischen Satzes mit Zirkel und Lineal überzeugt mich schon in diesem Fall, aber wie weiß ich, daß er auch in allen anderen Fällen stimmt”, ist ganz ebenso, als wollte man sagen “ja, jetzt um 4 Uhr stimmt der Satz, aber wie weiß ich, ob er zu jeder andern Zeit stimmt”. Wer das sagte, zeigte damit, daß er die Demonstration, ihr Wesen, ganz falsch verstanden hat.
     Er hat sie etwa als Experiment verstanden| //aufgefaßt// und dann ist allerdings der zweite Einwand (so?) gültig, wie der erste.


     


Wie kann uns ein allgemeiner Beweis den besondern Beweis schenken?
























     



     Weil es sich in dem einen Fall so verhält — wie kann ich wissen, daß es sich in dem    andern   so verhält? Und ein ‘Sich so verhalten müssen’ gibt es nicht. Ist es nicht so, so kann man auch nichts machen. Nur was von uns abhängt, können wir im Voraus    bestimmen  .
     Man möchte wohl sagen: Die selbe Konstruktion ist ein Beweis des geometrischen Satzes für das bestimmte Dreieck; wir können sie aber auch

allgemein meinen| //auffassen//; oder: wir können an ihr auch einsehen, daß das, was für dieses Dreieck gilt, für jedes andre auch gelten muß. — Aber worin besteht dieses “meinen”| //“auffassen”// und das? “einsehen”? Die psychologischen Prozesse kümmern uns ja nicht. “Das Dreieck steht eben hier für    irgend   ein Dreieck”. Aber worin besteht dieses “für etwas stehen”? Es handelt sich für uns eben wieder nur um den    Ausdruck   jener ‘Auffassung’, d.h. den Ausdruck dessen,    was   wir auffassen oder einsehen und den Ausdruck dafür, daß das Dreieck nur für sich selbst oder für alle Dreiecke steht. Der Kalkül muß (wieder?) fest-
gestellt werden.
     Nicht seelische Vorgänge interessieren uns, sondern symbolische.


     


     Der Beweis kann also nichts prophezeien.


     


     Ist der Beweis, für A ausgeführt, auch der Beweis für B? so daß es ganz gleichgültig ist, im welchem Dreieck er gezeichnet ist. Und, wenn er also in beiden Dreiecken gezeichnet wäre, nur    derselbe   Beweis wiederholt wäre. Daß also das Zeichen des Beweises — der Beweis als Zeichen//Symbol// — ebensogut aus der Konstruktion in AA und dem Dreieck B bestehen könnte, wie aus diesem Dreieck und einer Konstruktion in ihm.


     



        Wie   macht mich der allgemeine Induktionsbeweis| //Beweis// sicher| //gewiß//, daß der besondere das ergeben wird?


     


     (Verachte nur nicht die simplen Kalküle, wie sie jedes Kind und jede Kaufmannsfrau benützt.)


     


     
Dies muß auch ein vollkommen strenger Beweis des assoziativen Gesetzes sein.


     


     Und hier kann man die beiden Fälle deutlich unterscheiden, von denen wir im geometrischen Beweis sprachen.
     Denn die Figur kann allgemeiner Beweis gelten, und auch nur als Beweis von 6+(4+3) = (6+4)+3, und ich kann den beweis von 3+(7+2) = (3+7)+2 so hinschreiben:
Ich habe den Beweis nur oben ausgeführt (die Konstruktion gezeichnet).


     



     
Ich    könnte   oben die gleiche Konstruktion zeichnen| //machen// wie unten.
     Genügt aber das als Beweis?! Ja, denn der Beweis besteht nun in der Beschreibung dessen, was ich zeichnen könnte. Und die Beschreibung eines Beweises ist ja (auch?) der Beweis. — Und nun muß ich ja das Zeichen “” Schritt für Schritt| //Stufe für Stufe// durchgehen, um mich zu vergewissern, daß es nach diesem Plan gebaut ist. Dem Plan, für welchen| //den// der allgemeine Beweis gilt.


     



     “Wie kommt es, daß ich diesen Satz (der Geometrie oder Arithmetik) nicht eigens beweisen muß, sondern, daß er durch den allgemeinen Beweis schon bewiesen ist?” Aber Du mußt ihn ja beweisen, — indem Du nämlich den besondern Satz hinschreibst, denn das Übrige ist nur, was allen Beweisen solcher Sätze gemeinsam ist. Du mußt diesen euklidischen Satz für jedes Dreieck von neuem beweisen; nur besteht allerdings das Besondere dieses Beweises nur in der Zeichnung dieses Dreiecks, da das Übrige durch die allgemeine Form (den euklidischen Beweis) schon vorgesehen ist.)